шпорка (Шпаргалка), страница 3

- л.о. в L 0<>x L, - число. (x)= x. I) =L_A – оператор левого умножения. L=Rⁿ, A- nxn; L Э x, L_A(x)=Ax; L_A(x)=Ax= x; Ax= x; Ax- Ex=0; (1) (A- E)X²=0 однородная система уравнений. Согласно следствию 1 из ответа на спец вопрос №2 (Произвольная однородная система уравнений имеет ненулевое решение  когда ранг матрицы коэффициентов строго меньше количества неизвестных (r_A<n)(при этом ранг матрицы коэффициентов остается неизменным.) Док-во: Приведем систему к примитивному виду. Очевидно система имеет ненулевое решение, когда есть хотя бы одна свободная неизвестная n>k. Следствие №1: Если в однородной системе количество уравнений строго меньше количества неизвестных, то она автоматически имеет ненулевое решение. Количество неизвестных = n; количество уравнений = m (m<n) Но тогда k<=m<n. Следствие №2: Квадратная однородная система (m=n) имеет ненулевое решение  когда det A =0. Док-во: Не равное 0 решение  k=r_A < n  det A=0; ) однородная система (1) имеет <>0 решение <> (2) det(A- E)=0 – алгебраическое уравнение n-ого порядка относительно неизвестной (характеристическое уравнение) Таким образом примененное рассуждение является док-вом следующего утверждения. Все собственные значения оператора L_A являются корнями характеристического уравнения (2), а соответствующие собственные векторы являются ненулевыми решениями однородной системы (1). Развернутая запись Рис 1. II) Произвольный оператор(не левого умножения) L, dim L =n; e₁,…, e_n – базис в L; x= x^=(x₁/…/x_n); ^ - матрица оператора в заданном базисе; (x)= x; ( (x))^= ( x)^; ^x^= x^; L _^(x^)= x^, далее как раньше: det ( ^- E)=0; ( ^- E)=x^; x^=0^=(0/…/0).

Билет №17. Диагонализация матрицы, критерий диагонализируемости.

Пусть А – квадратная матрица. Она называется диагонализируемой, если она подобна некоторой диагональной матрице, т.е. T (detT<>0): T^-1AT=B – диагональная форма. Утверждение №1) Достаточное условие диагонализации: А имеет собственный базис. Пусть Т – матрица в столбцах корой стоят векторы указанного собственного базиса, тогда B=T^-1AT – диагонализируема. L_A в Rⁿ, A – nxn; Б₁ – канонический базис в Rⁿ, L_A^=A; Б₂ – собственный базис для А L_A’=B – Диагонализируема. В=L_A’ = T^-1L_AT= T^-1AT, где Т=Т_Б1->Б2, то что в условии. Замечание: Обратное утверждение (1) справедливо: если матрица диагонализируема, то она имеет собственный базис. Утверждение №2) Квадратная матрица диагонализируема  когда имеет собственный базис (критерий диагонализируемости).

Билет №18 Билинейные формы, матрица Грамма, координатное выражение билинейной формы.

1) Линейная форма. Определение L, f(x) – x L; f: ->множество чисел; 1) f (x₁+x₂) =f(x₁)+ f(x₂) & 2) f( x)= f(x) } условие линейности x₁, x₂ L и чисел . Координатное выражение L, dim L =n, f – линейная форма на L e₁,…, e_n – базис в L. L=Rⁿ Э x =(x₁/x₂/…/x_n) a = ( a₁/…/a_n) Rⁿ фикс вектор. f(x)=a₁x₁+…+a_nx_n= a^tx . L Э x = ; x^=(x₁/…/x_n); f(x) = f( )= = =x^^ta; Теорема обратная f(x) =x^^ta где a=(f(e₁)/…/f(e_n)); Билинейные формы. Определение L, (x,y) x,y L; Условия билинейности 1) (x₁+x₂,y) = (x₁,y₁) (x₂,y₂); 2) ( x,y) = (x,y); 3) (x,y₁+y₂)= (x,y₁)+ (x,y₂); 4) (x, y)= (x,y) x, y, x₁,y₁, x₂, y₂ L чисел и . Замечание: Об условии билинейности)1) y фиксированный (x_,y)= _y(x) – зависит только от одной переменной. _y(x) – зависит линейно от x. 2) x - фикс (x_,y)= _x(y) – зависит только от одной переменной. _x(y) – зависит линейно от y. Таким образом билинейная форма – числовое функция, зависящая от 2-х переменных и линейная по каждой из них при фиксированной другой. L = Rⁿ Э x,y; x=(x₁/…/x₂), y=(y₁/…/y₂); A = ; (x,y) = _A(x,y)= =a₁₁x₁y₁+a₁₂x₁y₂+…+a₃₇x₃y₇+…=x^tAy; - Называется билинейной формой от 2х переменных с заданной матрицей коэффициентов. Проверка условий линейности 1) _A(x₁+x₁, y)= (x₁+x₂)^tAy = (x₁^t+x₂^t)Ay=x₁^tAy+x₂^tAy= _A(x₁,y)+ (x₂,y); 2),3),4) самост. Координатное выражение для абстрактной линейной формы. L, dim L=n, e₁,…, e_n – базис в L - билинейная форма из L. x = , x^= (x₁/…/x_n); y = , y^=(y₁/…/y_n); (x,y)= ( ,y)= = = =^{замечание о повторном суммировании}

Замечание о повторном суммировании: А=( ) S= - сумма всех ее матричных элементов; 1) -сумма всех сумм в столбцах; 2) - сумма всех сумм по строкам. (1) и (2) – повторные суммы; = =S При повторном суммировании результат не зависит от порядка.

= =(g_ik= (e_i,e_k)) =x^^tGy^= _G(x^,y^); G=( ) – Матрица Грамма билинейной формы в заданном базисе. Преобразование матрицы Грамма лин. формы при изменении базиса. L, - б.ф. на L dimL =n; Б₁: e₁,…, e_n – 1й базис; G=G - матрица Грамма билинейной формы в 1м базисе. Б₂: f₁,…, f_n – 2й базис; G’=G’ - матрица Грамма билинейной формы в 2м базисе. Какова связь между G и G’? G’=T^tGT, где T=T_Б1->Б2 матрица перехода Б₁ к Б₂ (состоит из коэф. разлож. 2 базиса по 1) В столбцах матр T стоят коэф. разложения 2 базиса по 1.

Билет №19 Квадратичная форма, существование порождающей ее единственной симметричной билинейной формы.

Определение: L, f(x) x L. Квадратичная форма на L функция 1 переменной и принимающая числовое значение билинейная форма на L, т.е. f(x) = (x,x) x L - порождает f; L = Rⁿ Э x = (x₁/…/x_n); A = - nxn f_A(x) = ; _A= порождает f_A; f_А – называется квадратичной формой от n переменных с заданной матрицей коэффициентов. Замечание: в частности заменив в произведении матрицы А все симметрично расположенные матричные элементы a_ij и a_ji на (a_ij +a_ji)/2 получаем симметричную матрицу А^t =A, дающую туже квадратичную матрицу f_A. Определение: L, - билинейная форма на L симметрична (x,y) = (y,x) x,y L; Билинейная форма симметрична  ее матрица Грамма G симметрична при любом выборе базиса. f_A(x) = =x^tAx Для всякой абстрактной квадратичной формы единственная порождающая ее билинейная форма. Док-во: f – квадратичная форма - порождающая ее билинейная форма, т.е. f(x) = (x,x). Ф(x,y)=0,5 ( (x,y)+ (y,x)) Тогда 1) Ф – билинейная форма на L; 2) Ф – симметрична; 3) Ф(x,x)= (x,x)=f(x). Единственность Ф симметричной билинейной формы на L: Ф(x,y)=0,5[Ф(x+y,x+y)-Ф(x,x) – Ф(y,y)]; Ф (x+y, x+y)=Ф(x,x) +Ф (x,y)+Ф(y,x)+Ф(y,y). Ф₁ и Ф₂ – две билинейные формы порождают квадратичную форму Ф_f Ф₁(x,x)=f(x) =Ф₂(x,x); Ф₁(x,y)=0,5[Ф₁(x+y,x+y)-Ф(x,x) – Ф₁(y,y)]= Ф₂(x,y)=0,5[Ф₂(x+y,x+y)-Ф₂(x,x) – Ф₂(y,y)] x, y, L Ф₁=Ф₂; Матрица Грамма с указанным базисом называется единственная порождающая симметричная билинейная форма в заданном базисе. Определение: f(x) – квадратная форма; G_t=^detG , где - симметричная билинейная форма порождающая f;

Билет №20 Канонический вид квадратичной формы, существование канонического базиса.

Определение: L, dim L = n; f – квадратичная форма на L; e₁,…, e_n базис L; x= ; x^=(x₁/…/x₂); f(x) = =x^^tGx^, где G – матрица Грамма квадратичной формы f Канонический базис ^det G = ( ₁,0,…,0/0, ₂,0,…,0/0,…, 0, _n) – диагональная матрица. f(x) = ₁x₁²+…+ _nx_n² канонический вид квадратичной формы f; ₁… _n – канонические коэффициенты.

Билет №21 Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью невырожденного преобразования координат.

Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Для всякой квадратичной формы на конечномерном пространстве канонический базис, т.е. такой базис в котором она приводится к каноническому виду. Замечание: L, dim L = n; f – квадратичная форма на L; Два базиса Б₁: e₁,…, e_n f(x)= ; Б₂: f₁,…, f_n f(x)= ; G₁ и G₂ матриц Грамма квадратичной формы f в Б₁ и Б₂ соответственно; x^=(x₁/…/x_n) и x^’=(x’₁/…/x’_n) – столбцы координат векторов x в базисах Б₁ и Б₂ соответственно; Координаты вектора x в разных базисах (Б₁ и Б₂ ) связаны соотношением x^’=T^-1x^ = Sx^, где S=T^-1; T=T_Б1->Б2; В развернутом виде x₁’=S₁₁x₁+…+S_1nx_n; x_n’ = S_n1x₁+…+S_nnx_n; det S<>0; Следовательно f_A(x)= - квадратичная форма от n переменных с заданной симметричной матрицей коэффициентов А, тогда невырожденное преобразование координат, приводящее данную квадратичную форму к каноническому виду. Б₁ –канонический базис в Rⁿ; Б₂ –канонический базис в f_A;

Билет №22 Закон инерции квадратичных форм.

количество положительных,отрицательных и нулевых коэф. в каноническом виде квадр. формы не зависит от способа приведения к канонич. Виду

Билет №23 Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

Определение: r₊ количество положительных канонических коэффициентов в каноническом виде данной квадратичной формы (положительный ранг); r_- ---“---- отрицательный (отрицательный ранг); r₀ ----“---- нулевых (нулевой ранг); r₊+r_-+r₀ =n =dimL. f(x)= ₁x₁²+…+ _nx_n²; y_i = {sqrt(x_i), если _I >0; sqrt(-x_i), если _I <0; x_i, если x_i =0; f(x)= , где ={1; -1; 0 - Нормальный вид квадратичной формы. Определение: L, dim L = n; f – квадратичная форма на L, положительно определена (f>0)  f(x)>0 x L, x<>0; отрицательна и определена f(x) <0; положительна + отрицательна – знакоопределенная форма. Замечание: f>0  r₊ =n =dimL; <0 r_-=n; 2) L=Rⁿ; f_A(x)= , где А – симметричная матрица коэффициентов главного минора. А = A = ;

₁=а₁₁; ₂=/ /; ₃=/ /; f_A>0  все _i >0; f_A<0  ₁<0; ₂>0…;

Билет № 24 Аксиомы евклидова пространства, примеры евклидовых пространств.