Линейные Пространства (Задачи для подготовки к экзамену - Решение), страница 3

(все матрицы образуют динейно независимую систему).

2.21. Доказать, что матрицы вида образуют линейное подпространство в пространстве матриц М₂₃. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Решение:

Линейность данного множества матриц следует из линейности операций умножения матриц на число и сложения матриц, например:

При этом каждая матрица данного подпространства может быть представлена в виде:

Отсюда следует, что размерность подпространства L равна 2 и вкачестве его базиса можно взять матрицы .

Для дополнения этого базиса до базиса всего пространства М₂₃ можно выбрать матрицы

(все матрицы образуют динейно независимую систему).

2.22. Найти общий вид матрицы, антиперестановочной (AX=-XA) с данной матрицей . Доказать, что множество матриц Х образует линейное подпространство в пространстве М₂₂ матриц 2-го порядка. Найти его базис и размерность.

Решение:

Проверяем линейность данного множества L матриц:

Все условия выполнены – L является линейным пространством.

Если матрица антиперестановочная с данной матрицей , то:

т.е. матрица Х может быть представлена в виде:

Отсюда следует, что размерность подпространства L равна 2 и вкачестве его базиса можно взять матрицы .

2.23. Образуют ли матрицы базис в пространстве матриц М₂₂?

Решение:

Запишем данные матрицы в каноническом базисе, получим векторы

найдем ранг этой системы векторов:

Ранг системы векторов равен 3, следовательно, данные матрицы не образуют базис в пространстве матриц М₂₂

2.24. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки системы матриц

Решение:

Запишем данные матрицы в каноническом базисе, получим векторы

найдем ранг этой системы векторов:

Ранг системы векторов равен 3, следовательно:

1) размерность данной системы матриц равна 3,

2) в качестве базиса их линейной оболочки можно взять первые три матрицы, т.е. (Е₁, Е₂, Е₃).

2.25. Установить, являются ли заданные множества подпространствами пространства M_nn. В случае положительного ответа найти базис и размерность подпространства.

1) множество всех симметрических квадратных матриц порядка n (A^T = A).

2) множество всех кососимметрических квадратных матриц порядка n (A^T = -A).

3) множество всех квадратных вырожденных матриц порядка n (detA = 0).

Решение:

1) При умножении любой симметрической квадратной матрицы порядка n (A^T = A) на любое число получается также симметрическая квадратная матрица порядка n , сумма двух симметрических квадратных матриц порядка n также является симметрической квадратной матрицей порядка n. Следовательно, множество всех симметрических квадратных матриц порядка n является подпространством пространства M_nn.

2) При умножении любой кососимметрической квадратной матрицы порядка n (A^T=-A) на любое число получается также симметрическая квадратная матрица порядка n , сумма двух кососимметрических квадратных матриц порядка n также является кососимметрической квадратной матрицей порядка n. Следовательно, множество всех кососимметрических квадратных матриц порядка n является подпространством пространства M_nn.

3) Определитель суммы двух матриц, определители которых равны нулю, может быть отличен от нуля, например:

Следовательно, множество всех квадратных матриц порядка n, определитель которых равен нулю, не является подпространством пространства M_nn.

2.26. Доказать, что множество функций образует линейное пространство. Найти его размерность и базис.

Решение:

Проверяем линейность заданного множества функций:

Все условия выполнены – L является линейным пространством.

В системе функций только любые две функции линейно независимы, поскольку они связаны соотношением , и любой вектор пространства L может быть представлен в виде линейной комбинации, например, первых двух функций системы, следовательно, эти две функции образуют базис пространства L, размерность которого поэтому равна 2.

2.27. Доказать, что множество функций образует линейное пространство. Найти его размерность и базис.

Решение:

Проверяем линейность заданного множества функций:

Все условия выполнены – L является линейным пространством.

Функции линейно независимы: если , то, записывая это равенство для t=-1, t=0 и t=1, получим:

и любой вектор пространства L может быть представлен в виде линейной комбинации этих функций (по определению L), следовательно, эти функции образуют базис пространства L, размерность которого поэтому равна 3.

2.28. Исследовать на линейную независимость систему функций {sint, cost, sin2t}

Решение:

Предположим, что входящие в данную систему функции линейно зависимы, т.е. найдутся такие , не все равные нулю, для которых выполняется равенство . Тогда, записывая это равенство для получим:

Получили противоречие, из чего следует, что данная система функций является линейно независимой.

2.29. Исследовать на линейную независимость систему функций {1, lnt, ln2t}

Решение:

Для доказательства того, что данная система функций является линейно зависимой, достаточно указать такие , не все равные нулю, для которых выполняется равенство .

Рассмотрим , для которых для имеем:

Следовательно, данная система функций является линейно зависимой.

2.30. Исследовать на линейную независимость систему функций {1, cost, cos2t}

.

Решение:

Предположим, что входящие в данную систему функции линейно зависимы, т.е. найдутся такие , не все равные нулю, для которых выполняется равенство . Тогда, записывая это равенство для получим:

Получили противоречие, из чего следует, что данная система функций является линейно независимой.

30