Линейные Операторы (Задачи для подготовки к экзамену - Решение), страница 2
Описание файла
Файл "Линейные Операторы" внутри архива находится в папке "Прорешанные задачи для подготовки к экзамену". Документ из архива "Задачи для подготовки к экзамену - Решение", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "алгебра и геометрия" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Линейные Операторы"
Текст 2 страницы из документа "Линейные Операторы"
Решение:
Линейность оператора следует из линейности матричных операций умножения на скаляр, транспонирования и умножения на матрицу.
Если в каноническом базисе пространства М22
то
т.е. матрица данного оператора в каноническом базисе имеет вид:
Находим ядро данного оператора:
Для получения базиса образа данного линейного оператора находим:
Полученные векторы линейно независимы:
и могут быть выбраны в качестве базиса образа данного оператора, т.е. 
Данный оператор имеет ненулевое ядро, следовательно, он необратим.
3.17. Оператор А действует на матрицы второго порядка по правилу 
, где 
. Показать, что А – линейный оператор. Составить его матрицу в каноническом базисе. Найти ядро и образ оператора. Существует ли обратный оператор?
Решение:
Линейность оператора следует из линейности матричных операций умножения на скаляр, транспонирования и умножения на матрицу.
Если в каноническом базисе пространства М22
то
т.е. матрица данного оператора в каноническом базисе имеет вид:
Поскольку detA=-34≠0, то KerA=0, ImA=M22.
Данный оператор имеет нулевое ядро, следовательно, он обратим.
3.18. В пространстве Р2 многочленов степени не выше 2 оператор А действует по правилу 
. Показать линейность оператора. Найти его матрицу в каноническом базисе. Найти образ многочлена 
. Найти ядро и образ оператора. Существует ли обратный оператор?
Решение:
Проверяем линейность оператора:
Свойства линейности выполнены – оператор линеен.
Если в базисе 
пространства P2
то
т.е. матрица данного оператора в базисе имеет вид:
Для данного многочлена 
получаем:
Находим ядро оператора:
Образ оператора находим как дополнение ядра до всего пространства L, для этого выбираем базисные векторы с нулями в тех координатах, которые отличны от нуля в уже выбранном векторе (1;0;0): 
.
Данный оператор имеет ненулевое ядро, следовательно, он необратим.
3.19. В пространстве Р3 многочленов степени не выше 3 оператор А действует по правилу 
. Показать линейность оператора. Найти его матрицу в каноническом базисе. Найти ядро и образ оператора. Существует ли обратный оператор?
Решение:
Проверяем линейность оператора:
Свойства линейности выполнены – оператор линеен.
Если в базисе 
пространства P3
то
т.е. матрица данного оператора в базисе имеет вид:
Находим ядро оператора:
Образ оператора находим как дополнение ядра до всего пространства L, для этого выбираем базисные векторы с нулями в тех координатах, которые отличны от нуля в уже выбранном векторе (0;0;0;1): 
.
Данный оператор имеет ненулевое ядро, следовательно, он необратим.
3.20. В пространстве Р2 многочленов степени не выше 2 оператор А действует по правилу 
. Показать линейность оператора. Найти его матрицу в каноническом базисе и в базисе 
.
Решение:
Проверяем линейность оператора:
Свойства линейности выполнены – оператор линеен.
Если в базисе пространства P2
то
т.е. матрица данного оператора в каноническом базисе имеет вид:
Матрица перехода от базиса к базису имеет вид:
следовательно, матрица данного оператора в базисе S имеет вид:
3.21. Показать, что оператор А, действующий на функции f(t) по правилу 
, является линейным оператором в пространстве функций 
. Найти матрицу оператора в каком-нибудь базисе пространства. Обратим ли оператор? Найти ядро и образ оператора.
Решение:
Проверяем линейность оператора:
Свойства линейности выполнены – оператор линеен.
Если в базисе 
пространства L
то
т.е. матрица данного оператора в базисе имеет вид:
При этом detA=0, следовательно, данный оператор необратим.
Находим ядро оператора:
Образ оператора находим как дополнение ядра до всего пространства L, для этого выбираем базисные векторы с нулями в тех координатах, которые отличны от нуля в уже выбранном векторе (-1;1;0): 
3.22. Показать, что оператор дифференцирования является линейным оператором в пространстве функций 
. Найти матрицу оператора в каком-нибудь базисе пространства. Существует ли обратный оператор? Найти ядро и образ оператора.
Решение:
Если 
то
т.е. 
и матрица оператора в базисе 
имеет вид:
Поскольку detA=0, то данный оператор не имеет обратного.
Находим ядро данного оператора:
т.е. KerA = L{(0;0;1)} = 
Отсюда получаем образ данного оператора как дополнения ядра до полного пространства L, для этого выбираем базисные векторы с нулями в тех координатах, которые отличны от нуля в уже выбранном векторе (0;0;1):
ImA = L{(1;0;0).(0;1;0)} = 
3.23. Показать, что оператор сдвига 
является линейным оператором в пространстве функций 
. Найти матрицу оператора в каком-нибудь базисе пространства. Существует ли обратный оператор? Найти ядро и образ оператора.
Решение:
Данный оператор линеен, поскольку выполнены свойства
Если 
, то
т.е. 
и матрица оператора в базисе 
имеет вид:
Поскольку detA≠0, то данный оператор имеет обратный.
Находим ядро данного оператора:
т.е. KerA = 0 и поэтому ImA = L.
3.24. Линейный оператор А в пространстве V3 имеет в базисе 
матрицу 
. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А, показать, что это оператор простого типа.
Решение:
Матрица линейного оператора из задачи 3.24 в базисе 
имеет вид:
Находим собственные значения и собственные векторы матрицы:
Для 
Для 
Т.е. собственному значению соответствуют два собственных вектора 
собственному значению - один собственный вектор 
.
По определению, линейный оператор называется оператором простого типа (или простым оператором), если из собственных векторов этого оператора можно составить базис линейного пространства. Собственные векторы 
данного оператора образуют базис пространства V3, следовательно, это оператор простого типа.
3.25. В пространстве V3 оператор линейный оператор А – зеркальное отражение относительно плоскости YOZ. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.
Решение:
Зеркальное отражение относительно плоскости YOZ в пространстве V3 переводит точку с координатами (a;b;c) в точку с координатами (-a;b;c), т.е. матрица данного оператора имеет вид:
Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:
Для 
Для 
Получаем два собственных значения , первому соответствует один собственный вектор 
, второму - два собственных вектора: 
.
3.26. В пространстве V3 оператор линейный оператор А – проекция на ось OY. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.
Решение:
Проекция на ось OY в пространстве V3 переводит точку с координатами (a;b;c) в точку с координатами (0;b;0), т.е. матрица данного оператора имеет вид:
Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:
Для 
Для
Получаем два собственных значения , первому соответствуют два собственных вектора: 
, второму – один собственный вектор 
.
3.27. Линейный оператор А – проекция на ось 
. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.
Решение:
Проекция на ось переводит точку с координатами (a;b) в точку с координатами (a-b;b-a):
т.е. матрица данного оператора имеет вид:
Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:
Для
Получаем единственное собственное значение , которому соответствует один собственный вектор: 
.
3.28. В пространстве V3 оператор действует по правилу 
, где 
. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.
Решение:
Если 
, то
т.е. матрица данного оператора имеет вид:
Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:
Для
Для
Получаем два собственных значения , первому соответствуют два собственных вектора: 
, второму – один собственный вектор 
.
3.29. В каноническом базисе пространства R3 оператор А действует по правилу 
. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.
Решение:
Матрица данного оператора в каноническом базисе имеет вид:
Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:
Для 
Для 
Получаем два собственных значения 
, которым соответствуют собственные вектора: 
.
3.30. Найти 
Решение:
Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:
Для
Для
Отсюда получаем представление данной матрицы в виде
Тогда
=
3.31. Линейный оператор А в каноническом базисе пространства Р2 многочленов степени не выше 2 имеет матрицу 
. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А. Является ли оператор оператором простого типа?
Решение:
Находим собственные значения и собственные векторы матрицы оператора:
Для 
Получаем единственное собственное значение , которому соответствуют два собственных вектора: 
.
По определению, линейный оператор называется оператором простого типа (или простым оператором), если из собственных векторов этого оператора можно составить базис линейного пространства. Данный оператор имеет всего два собственных вектора, размерность пространства Р2 равна 3, следовательно, данный оператор не является оператором простого типа.
