Линейные Операторы (Задачи для подготовки к экзамену - Решение)

Задачи для подготовки к экзамену и контрольной работе по теме №3

«Линейные операторы». (2 семестр)

3.1. В базисе линейный оператор А имеет матрицу . Найти его матрицу в базисе .

Решение:

Матрица данного линейного оператора имеет вид:

,

матрица перехода от базиса к базису имеет вид:

.

Следовательно, матрица данного линейного оператора в базисе имеет вид:

3.2. В пространстве V₃ линейный оператор А – проекция на ось OY. Найти матрицу оператора А в базисе . Найти образ вектора . Найти ядро и образ оператора А. Существует ли обратный оператор?

Решение:

Проекция на ось OY в пространстве V₃ переводит точку с координатами (a;b;c) в точку с координатами (0;b;0), т.е. матрица данного оператора имеет вид:

Находим образ данного вектора:

Находим ядро данного оператора:

Для получения базиса образа данного линейного оператора находим:

Полученный вектор может быть выбран в качестве базиса образа данного оператора, т.е. .

Данный оператор имеет ненулевое ядро, следовательно, он не имеет обратного.

3.3. В пространстве V₃ линейный оператор А – зеркальное отражение относительно плоскости YOZ. Найти матрицу оператора А в базисе . Найти образ вектора . Найти ядро и образ оператора А. Существует ли обратный оператор? Если да, то описать его действие.

Решение:

Зеркальное отражение относительно плоскости YOZ в пространстве V₃ переводит точку с координатами (a;b;c) в точку с координатами (-a;b;c), т.е. матрица данного оператора имеет вид:

Находим образ данного вектора:

Находим ядро данного оператора: detA = -1 ≠1, следовательно, KerA=0, ImA= V₃.

Поскольку данный оператор имеет нулевое ядро, он обратим, т.е. имеет обратный оператор A^-1. В пространстве V₃ оператор А^-1 = А, т.е совпадает с исходным оператором.

3.4. Пусть А – матрица линейного оператора из задачи 3.3. Найти Аⁿ. Объяснить геометрический смысл полученного результата.

Решение:

Матрица линейного оператора из задачи 3.3 имеет вид:

и тогда

При четном n Аⁿ = E, поскольку четное число отражений соответствует тождественному оператору Е, не меняющему вектора.

При нечетном n Аⁿ = А, поскольку нечетное число отражений дает тот же результат, что и единственное отражение.

3.5. Линейный оператор А – проекция на ось . Найти матрицу оператора А в базисе . Найти ядро и образ оператора А. Существует ли обратный оператор?

Решение:

Проекция на ось переводит точку с координатами (a;b) в точку с координатами (a-b;b-a):

т.е. матрица данного оператора имеет вид:

Находим ядро данного оператора:

Для получения базиса образа данного линейного оператора находим:

Полученный вектор может быть выбран в качестве базиса образа данного оператора, т.е. .

Данный оператор имеет ненулевое ядро, следовательно, он не имеет обратного.

3.6. Линейный оператор А – поворот на плоскости вокруг начала координат на угол по часовой стрелке. Найти матрицу оператора А в базисе и образ вектора . Найти ядро и образ оператора А. Существует ли обратный оператор? Если да, то описать его действие.

Решение:

В пространстве V₂ оператор с матрицей – оператор поворота плоскости вокруг начала координат на угол α против часовой стрелки. Тогда данный оператор имеет матрицу

Находим образ данного вектора:

Находим ядро данного оператора: detA = 1 ≠1, следовательно, KerA=0, ImA= V₂.

Поскольку данный оператор имеет нулевое ядро, он обратим, т.е. имеет обратный оператор A^-1. В пространстве V₂ оператор А^-1 – поворот на угол вокруг начала координат против часовой стрелки.

3.7. Найти

Решение:

В пространстве V₂ оператор с матрицей – оператор поворота плоскости вокруг начала координат на угол α против часовой стрелки. Тогда оператор - n-кратное повторение оператора А – соответствует повороту плоскости вокруг начала координат на угол nα и такой оператор имеет матрицу

Отсюда получаем:

3.8. В пространстве V₃ оператор А – поворот на угол вокруг оси OY по часовой стрелке. Найти матрицу оператора А в базисе . Найти образ вектора . Найти ядро и образ оператора А. Существует ли обратный оператор? Если да, то описать его действие.

Решение:

Матрица данного оператора в базисе имеет вид:

Находим образ вектора :

Находим ядро данного оператора: detA = 1 ≠1, следовательно, KerA=0, ImA= V₃.

Поскольку данный оператор имеет нулевое ядро, он обратим, т.е. имеет обратный оператор A^-1. В пространстве V₃ оператор А^-1 – поворот на угол вокруг оси OY против часовой стрелки.

3.9. В пространстве V₃ оператор действует по правилу где . Показать линейность оператора, найти его матрицу в каноническом базисе. Найти ядро и образ оператора. Существует ли обратный оператор?

Решение:

Проверяем линейность данного оператора:

Свойства линейности выполнены – оператор линеен.

Если , то

т.е. матрица данного оператора имеет вид:

Находим ядро данного оператора:

Для получения базиса образа данного линейного оператора находим:

Полученный вектор (или любой коллинеарный ему) может быть выбран в качестве базиса образа данного оператора, т.е. .

Данный оператор имеет ненулевое ядро, следовательно, он не имеет обратного.

3.10. В пространстве V₃ оператор действует по правилу .

Показать линейность оператора, найти его матрицу в каноническом базисе. Найти ядро и образ оператора. Существует ли обратный оператор?

Решение:

Проверяем линейность данного оператора:

Свойства линейности выполнены – оператор линеен.

Если , то

т.е. матрица оператора в каноническом базисе имеет вид:

Находим ядро данного оператора:

Для получения базиса образа данного линейного оператора находим:

Полученные векторы линейно независимы и могут быть выбраны в качестве базиса образа данного оператора, т.е. .

Данный оператор имеет ненулевое ядро, следовательно, он не имеет обратного.

3.11. В пространстве V₃ оператор действует по правилу .

Показать линейность оператора, найти его матрицу в каноническом базисе и в базисе . Сделать проверку с помощью матрицы перехода.

Решение:

Проверяем линейность данного оператора:

Свойства линейности выполнены – оператор линеен.

Если , то

т.е. матрица оператора в каноническом базисе имеет вид:

Матрица перехода от канонического базиса к базису имеет вид:

следовательно, матрица данного оператора в базисе S имеет вид:

3.12. В каноническом базисе пространства R³ операторы А и В действуют по правилу ,

. Показать линейность операторов А и В. Как действует в этом базисе оператор ?

Решение:

Линейность операторов следует из линейности арифметических операций сложения и умножения на число, например, для оператора А:

Матрицы операторов А и В имеют вид:

,

поэтому оператор будет иметь в том же базисе матрицу

т.е. будет действовать по правилу

3.13. В каноническом базисе пространства R³ операторы А и В действуют по правилу ,

. Показать линейность операторов А и В. Как действует в этом базисе оператор ?

Решение:

Линейность операторов следует из линейности арифметических операций сложения и умножения на число, например, для оператора А:

Матрицы операторов А и В имеют вид:

,

поэтому оператор будет иметь в том же базисе матрицу

т.е. будет действовать по правилу

3.14. В каноническом базисе пространства R³ оператор А действует по правилу . Является ли оператор А невырожденным? Если да, то найти явный вид обратного оператора.

Решение:

Матрица данного оператора имеет вид:

Поскольку detA=2≠0,k то данный оператор – невырожденный и имеет обратный. Матрица обратного оператора имеет вид:

т.е. обратный оператор действует по правилу:

3.15. В каноническом базисе пространства R⁴ оператор А действует по правилу . Показать линейность оператора. Обратим ли оператор? Найти ядро и образ оператора.

Решение:

Линейность оператора следует из линейности арифметических операций сложения и умножения на число, например::

Матрица данного оператора имеет вид:

Находим ядро данного оператора:

Для получения базиса образа данного линейного оператора находим:

Полученные векторы линейно независимы:

и могут быть выбраны в качестве базиса образа данного оператора, т.е.

Данный оператор имеет ненулевое ядро, следовательно, он необратим.

3.16. Оператор А действует на матрицы второго порядка по правилу , где . Показать, что А – линейный оператор. Составить его матрицу в каноническом базисе. Найти ядро и образ оператора. Существует ли обратный оператор?