Геометрический смысл производной (Комплект шпор по теории и формулам)
Описание файла
Файл "Геометрический смысл производной" внутри архива находится в следующих папках: Комплект шпор по теории и формулам, Shpori_matan. Документ из архива "Комплект шпор по теории и формулам", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Геометрический смысл производной"
Текст из документа "Геометрический смысл производной"
Геометрический смысл производной:
П усть на интервале (а,b) задана непрерывная функция у=f(x). Её график наз. непрерывной кривой. Обозначим его через Г. Зададим на Г точку А=(х,f(х)) (рис) и поставим целью определить касательную к Г в этой точке. Для этого введем на Г другую точку B=(x+x,f(x+x)), где x0 (рис. 1 изображён случай x>0, а на рис. 2 – случай x<0). Прямую, проходящую через точки А и В, направленную в сторону возрастания х (отмеченную стрелкой), наз. секущей и обозначим через S. Угол, который S образует с положительным направлением оси х, обозначим через . Мы считаем, что –/2<< /2. При >0 угол отсчитывается от оси x против часовой стрелки, а при <0 по часовой стрелке. На данных рисунках >0. На рис. 1 x=AC, y=СВ, а на рис. 2 x=–AC, y=–СВ, В обоих случаях y/x=tg.
Если x0, то y0 и точка В, двигаясь по Г, стремится к A. Если при этом угол стремится к некоторому значению , отличному от /2 и –/2, то существует предел limx0y/x=limtg=tg [1], равный производной (конечной) от f в точке x: f'(x)=tg [2]. Обратно, если существует (конечная) производная f'(x), то =arctg f'(x). При стремлении к секущая S стремится занять положение направленной прямой Т, проходящей через точку А и образующей угол с положительным направлением оси х. Направленная прямая Т наз. касательной к кривой Т в её точке А. Определение: Касательной к кривой Г (y=f(x)) в её точке А=(х,f(х)) наз. направленная прямая Т, к которой стремится секущая S (направленная в сторону возрастания х прямая), проходящая через А и точку В=(x+x,f(x+x))Г, когда x>0. Мы доказали, что если непрерывная, функция у=f(х) имеет конечную производную f'(х) в точке х, то её график Г в соответствующей точке имеет касательную с угловым коэффициентом tg=f'(х) (–/2<</2). Обратно, существование предела lim=(–/2<</2)
влечет за собой существование конечной производной f'(х) и справедливость равенств (1), (2). Может случиться, что f имеет в точке х правую и левую производные, отличные между собой: f'(x)f'пр(x).
Т
огда А есть угловая точка Г. В этом случае касательная к Г в A не существует, но можно говорить, что существуют правая и левая касательные с разными угловыми коэффициентами:
Л евая и правая касательные направлены || оси y, первая вверх, вторая вниз (рис. 43). рис. 41, 42, 43
Примчание: Обычное определение касательной к кривой Г следующее: касательная Т к кривой Г в её точке А есть прямая, к которой стремится секущая S, проходящая через точку А и другую точку ВГ, когда последняя, двигаясь по Г, стремится к А. В этом определении не предполагается, что S и Т –направленные прямые. Это определение вполне корректно в случае касательной не параллельной оси у. Однако если применить его, например, к случаю 4) (см. рис. 43, где А – угловая точка), то получим, что данная кривая имеет в точке А единственную касательную. Это не вяжется с нашим представлением о гладкости кривой, имеющей касательную. Приведенное нами определение дает в точке А две касательные (сливающиеся), имеющие противоположные направления. Угол между ними равен . Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой (в плоскости), проходящей через точку (x0,y0) под углом к положительному направлению оси х (–/2 << /2), имеет вид у–у0=m(х–х0) (m=tg). Отсюда уравнение касательной к кривой y=f(х) в точке (x0,у0) имеет вид y–y0=y'0(x–x0) [3]. Прямая, проходящая через точку АГ перпендикулярно к касательной к Г в этой точке, наз.
нормалью к Г в точке A. Её уравнение, очевидно, имеет вид y–y0=–(1/y'0)(x–x0) [4].