Выпуклость и вогнутость графиков функций (Много всякого и полезного по матану)

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графиков функций:

К ривая y=f(x) обращена в точке x₀ выпуклостью кверху (книзу), если существует окрестность x₀ такая, что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точке x₀ (т.е. в точке, имеющей абсциссу х₀) расположена выше (ниже) самой кривой (на рис. в точ­ке х₁ кривая обращена выпуклостью книзу, в точке х₂ – кверху). Вместо слов "выпукла кверху (книзу)" употреб­ляются слова "вогнута книзу (кверху)". Говорят, что точка х₀ есть точка перегиба кривой y=f(x), если при переходе х через x₀ точка кривой (имеющая абсциссу х) переходит с одной стороны касательной на другую (на рис. точка х₃ – точка перегиба). Иначе говоря, существует достаточно малое >0 такое, что для всех х(х₀–,х₀) кри­вая находится с одной стороны касательной в х₀, а для всех х(х₀,х₀+) – с другой. Указанные определения вы­деляют возможные расположе­ния кривой относительно касательной к ней в доста­точно малой окрестности точки касания. Но не нужно думать, что эти определения исчерпывают все возможные случаи такого расположения. Для функции ось х пересекает и касается графика функции в точке x=0 и х=0 не есть точка перегиба. Теорема №1: Если функция f имеет в точке x₀ вто­рую непрерывную производную и f'(x₀)>0 (<0), то кри­вая y=f(x) обращена в x₀ выпуклостью книзу (кверху). Доказательство: Разлагаем f в окрестности х=х₀ по формуле Тейлора

f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x–x₀)+r₁(x),

r₁(x)=((x–x₀)²/2)f''(x₀+(x– x₀)) (при 0<<1). Запишем уравнение касательной к нашей кривой в точке, имеющей абсциссу x₀: Y=f(x₀)+f'(x₀)(x–x₀). Тогда превышение кривой f над касательной к ней в точ­ке x₀ равно f(x)–Y=r₁(x). Таким образом, остаток r₁(х) равен величине превышения кривой f над касательной к ней в точке x₀, В силу непрерывности f'' если f"(x₀)>0, то и f"(x₀+(x– x₀))>0 для х, принадлежащих достаточно малой окрестности точки x₀, а потому, очевидно, и r₁(х)>0 для любого отличного от x₀ значения х, принадлежащего к указанной окрестности. Значит, график функции лежит выше касательной и кривая обращена в точке x₀ выпуклостью книзу. Аналогично, если f''(x₀)<0, то r₁(х)<0 для любого отличного от x₀ значения х, принадлежащего к некоторой окрестности точки x₀, т.е. график функции лежит ниже касательной и кривая обращена в x₀ выпуклостью кверху. Следствие: Если x₀ есть точка перегиба кривой y=f(x) и в ней существует вторая производная f"(x₀), то последняя необходимо равна нулю (f"( x₀)=0). Этим пользуются на практике: при нахождении точек перегиба дважды дифференцируемой кривой у=f(х) ищут их среди корней уравнения f"(x)=0. Достаточное условие для существования точки перегиба у кривой дается следующей теоремой. Теорема №2: Если функция f такова, что производ­ная, f'^" непрерывна в x₀, a f"(x₀)=0 и f'^"(x₀)0, то кривая у=f(х) имеет в x₀ точку перегиба. Доказательство: В этом случае f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x–x₀)+r₂(x),

r₂(x)=((x–x₀)³/3!)f'^''(x+(x–x₀)). В силу непрерывности f'^''(x₀) и того факта, что f'^"(x₀)0, следует, что f'^''(x₀+(x–x₀)) сохраняет знак в некото­рой окрестности точки х₀; он один и тот же справа и слева от точки x₀. С другой стороны, множитель (х– x₀)³ меняет знак при переходе х через x₀, а вместе с ним и величина r₂(х) (равная превышению точки кривой над касательной в x₀) меняет знак при переходе х через x₀. Это доказывает теорему. Сформулируем более общую теорему: Теорема №3: Пусть функция f обладает следующими свойствами: f''(x₀)=...=f⁽ⁿ⁾(x₀)=0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) непрерывна в x₀ и f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)0. Тогда, если n – нечетное число, то кривая у=f(х) обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)<0 или f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)>0, а если n –четное, то x₀ есть точка перегиба кривой. Доказательство основано на том, что при указанных условиях имеет место разложение по формуле Тейлора f(x)=f(x₀)+(x–x₀)f'(x₀)+(((x–x₀)ⁿ⁺¹)/(n+1)!)f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀+(x–x₀)). В заключение заметим, что говорят также, что кри­вая y=f(x) имеет точку перегиба в точке х, где произ­водная f равна + или–.

П о определению кривая y=f(x) наз. выпуклой кверху (книзу) на отрезке [а,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках с абсциссами х₁, х₂(аx₁<х₂b) расположена не ниже (не выше) стягивающей её хорды (рис-ки). Замечание: Если f дифференцируема на [а,b], то приведенное определение выпуклости на отрезке эквива­лентно следующему: кривая y=f(x) наз. выпуклой кверху (книзу) на отрезке [а,b], если она выпукла кверху (книзу) в каждой точке х интервала (а,b). Теорема №4: Пусть функция f непрерывна на [а,b] и имеет вторую производную на (а,b). Для того чтобы кривая y=f(x) была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы вы­полнялось неравенство f''(x)0 (f''(x)0) для всех х(а,b).