matan3 (Хорошие лекции в ворде)
Описание файла
Файл "matan3" внутри архива находится в папке "Хорошие лекции в ворде". Документ из архива "Хорошие лекции в ворде", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "matan3"
Текст из документа "matan3"
Л
По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик
van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:
8-901-7271056 спросить Ваню
екция №10Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: вторник, 17 октября 2000 г.
Тема: «Коши, производные»
Теорема: (Коши о промежуточных значениях)
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимает значение разные значения.
f(a)=A f(b)=B AB. Тогда С лежащею между А и В, х0(a,b): f(x0)=C. Другими словами нет точек которые не являются значением отрезка.
Д оказательство: A<B, C(A,B) (x)=f(x)-C.
Эта функция непрерывна на отрезке [a,b]
(a)=f(a)-c=A-C<0 по теореме Коши №11 x0(a,b):(x0), то естьf(x0)-C=0 f(x0)=c
(b)=f(b)-c=B-C>0
Замечание: Условие непрерывности нельзя отбросить
[c,d][A,B]
[c,d)E(f)
Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»
П усть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.
Производная функции. ∆Х
П усть y=f(x) определена в O(x0)
∆ x=x-x0 – называется приращением аргумента в т х0 Х
Х Х
Разность значений функций.
∆y=∆f(x0)=f(x)-f(x0)=f(x0+∆x)-f(x0) – называется приращением функции в точки х0. Через эти обозначения можно определить непрерывность функций:
f(x) – неопределенна в точки х0, если она определена в O(x0) и lim ∆y=0
∆ x0
lim[f(x)-f(x0)]=lim[f(x)-f(x0)]0 lim[f(x)]=f(x0)]
x-x0 xx xx
Определение непрерывной функции в точки приращения:
f(x) – неопределенна в точки х0, если она определена в O(x0) и lim ∆y=0
∆ x0
Определение: (производной функции)
Пусть y=f(x) определена в О(х0) и lim[∆y/∆x]<, тогда этот предел называется производной функции f(x) в
∆х0
точке х0.
Обозначения:
f’(x0), y’(x0), dy/dx, df(x0)/dx=df(x)/d(x)
То есть f’(x0) по определению = lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)lim∆y/∆xdy/dx
∆x0 ∆x0
Физический смысл производной.
Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки:
S
x
x0 x
t0 t
s(t)x(t); ∆s=∆x(t)=x(t)-x(t0)
∆ s/∆t=[x(t)-x(t0)]/[t-t0]=vcp. Если ∆t0
тогда vcpvмнг
lim ∆s/∆t=lim[x(t)-x(t0)]/[t-t0]=vмнг
∆t0 tt
Геометрический смысл производной.
y’(x0)=lim∆y/∆x – производная функции у(х) и в точке х0.
∆х0
∆y=y(x0+∆x)-y(x0)
y’(x0)=tgкас где кас – угол наклона в точке (х0;y(x0)) к оси
Основные теоремы о производной.
Теорема: Пусть f’(x) и g’(x), тогда [f(x)+g(x)]’= f’(x)+g’(x)
Доказательство: следует непосредственно из определения производной и свойств предела суммы.
Теорема: (связи между непрерывностью функции и существование производной)
Пусть f’(x) функция f(x) – непрерывна.
Доказательство: Пусть f(x) определена в О(х0) и lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f’(x0)< [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f(x0)+(x-x0)2
∆xx
[f(x)-f(x0)]=f’(x0)(x-x0)+(x-x0)(x-x0) при хх0
lin[f(x)-f(x0)]=limf’(x0)(x-x0)+lim(x-x0)(x-x0)=0+0=0linf(x)=f(x0) то есть f(x) непрерывна в точки х0
xx xx xx xx
Замечание: обратное утверждение неверно, из-за непрерывности функции в точке х0 не следует существование функции в этой точки.
Н епрерывна в точки х0=0
limx, x0
x+0
lim|x|= =0
lim(-x), x<0
x-0
y(0)=0
limy(x)=limy(x)=y(0)=0 limy(x)=y(0)=0 функция непрерывна
x+0 x-0 x0
lim∆y/∆x-не существует, действительно х+0y(x)=x
x0
lim[y(x)-y(0)]/x=lim(x-0)/x=1
x+0 x+0
x-0y(x)=-x
lim[y(0)-y(x)]/x=lim(0-x)/x=-1 то есть lim∆y/∆x – не существует
x-0 x-0 х0
Теорема: Пусть u’(x) и v’(x), тогда (uv)’=u’v+v’u
Доказательство: Зададим приращение ∆х в точки х. Рассмотрим: lim[∆(uv)]/∆x=
∆x0
lim[1/∆x][u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x)]=lim[1/∆x][ u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x+∆x)+u(x)v(x+∆x)-u(x)v(x)=
∆x0 ∆x0
lim[(v(x+∆x))(u(x+∆x)-u(x))]/∆x+lim[(u(x))(v(x+∆x)-v(x))]/∆x=v(x)u’(x)+u(x)v’(x)
∆x0 ∆x0
Теорема: (о произведение частного)
Пусть u’(x) и v’(x), v’(x)0 в О(х), тогда (u/v)’=[u’v-v’u]/v2
Доказательство: (u/v)’=[u(1/v)]’=[u’(1/v)]+[(1/v)’u]. Функция u(x) и v(x) –непрерывны в точки х0.
lim[∆(1/v)/∆x]=lim[1/∆x][1/(v(x+∆x))-1/v(x)]=lim[[v(x)-v(x-∆x)]/[∆xv(x)x(x+∆x)]]-[v’(x)/v2(x)]
∆x0 ∆x0 ∆x0
(u/v)’=u’(1/v)-(uv)’/v2=[u’v-uv’]/v2 что и требовалось доказать
Таблица производных
y=sinx
(sinx)’=lim[sin(x+∆x)-sinx]/∆x=lim[2sin(∆x/2)cos((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[2(∆x/2)cos(x+(∆x/2))]/∆x=cosx
∆x0 ∆x0
(sinx)’=cosx
г де sin(x)
(sin(x))’=cos(x)
y=cos(x)
(cos(x))’=lim[cos(x+∆x)-cos(x)]/∆x=lim[-2sin(∆x/2)sin((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[-2(∆x/2)sin(x+(∆x/2))]/∆x=-sinx
∆x0 ∆x0 ∆x0
(cos(x))’=-sinx
г де cosx
(cos(x))’=-sin(x)
y=tg(x)
(tg(x))’=(sin(x)/cos(x))’=[(sin(x))’cos(x)-(cos(x))’sin(x)]/cos2x=[cos2x+sin2x]/cos2x=1/cos2x
(tg(x))’=1/cos2x
г де tg(x)
(tg(x))’=1/cos2x
Лекция №11
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: вторник, 24 октября 2000 г.
Тема: «Производные, дифференциал»
y=xn
y’(x)=lim[(x+∆x)n-xn]/∆x=1=lim[xn(1+(∆x/x))-1]/∆x=/∆x/x0,∆x0\=lim[xn(∆x/x)n]/∆x=nxn-1
∆x0 ∆x0 ∆x0
y=x^3
y’=3x^2
Рассмотрим когда х=0 y’(0)=lim(∆x)n/∆x=lim(∆x)n-1=/n>1\=0 если n=1/0,n>1;1,n=1\
∆x0 ∆x0
Дифференциал функции.
Определение: Пусть y=f(x) определена в некоторой О(х0) – она называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение в этой точки представимо в виде:
∆y=∆f(x0)=A∆x+(∆x)∆x)1
(0)=0 A=const
Определение: линейная ∆х часть приращение дифференцируемой функции называется дифференциалом функции в точке х0:
dy=df(x0)A∆x
Теорема: Если функция дифференцируема в точке х0 то A=f’(x0), то она имеет производную в этой точке, то A=f’(x0); наоборот если функция имеет производную в этой точке, то она дифференцируема в этой точке – называется дифференциалом.
Доказательство: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х0, то есть в некоторой О(х0) справедливо равенство ∆f(x0)=A∆x+(∆x)∆x1; (0)=0. Поделим обе части этого равенства на ∆х и приведём к пределу при ∆х0:
lim(∆f(x0))/∆x=lim(A+(x))=A. Этот предел существует, меньше , тогда по определению этот предел есть
∆x0 ∆x0
производная.
Доказательство: (в обратную сторону) Пусть в точке х0 f’(x0)(<) – это означает, что f(x) определена в некоторой О(х0) и lim(∆f(x0))/∆x=f’(x0) по определению предела следует, что в некоторой О(х0)
∆x0
(∆f(x0))/∆x=(∆х)+f’(x0) при ∆х0 ∆f(x0)=f’(x0)+(∆x)∆x, так как lim(∆x)=0, то в точке х0 y (∆x) может
∆х0
быть лишь устранимым разрывом . Устраним его, определим и доопределим:
(0)=0, тогда ∆f(x0)=f’(x0)∆x+(∆x)∆x A=f’(x0) из установленного соответствия получим выражения для дифференцируемой функции df(x0)=f’(x0)∆x
Следствие: по определению полагают дифференциал независимой переменной равной её приращению
dx=∆x (х - независимая переменная)
df(x)=f’(x)dx
f(x)=x – вычислим дифференциал f’(x)=1 df(x)=dx=f(x)∆x=1∆x
Замечание: дифференциал функции зависит от двух переменных – от самой точки х и от ей приращения
y=cosx x0=/2 ∆x=/180
y’=-sinx y’(/2)=-sin(/2)=-1
dy(/2)=-1∆x=-1/180=-/180
Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х0, а z=g(y) дифференцируема в точке у0=f(x0), тогда сложная функция z=g(f(x) - дифференцируема в точке х0 и z’(x0)=g’(f)f’(x)
Доказательство: (1) ∆z=g’(y0)∆y+(∆y)∆y
(2) ∆y=f(x0)∆x+(∆x)∆x (0)=0 (0)=0
Подставим в первое равенство второе:
∆z=g’(y0)f(x0)∆x+g’(y0)(∆x)∆x+[f’(x0)+(∆x)∆x][f’(x0)∆x+(∆x0∆x]
lim∆z/∆x=limg’(x0)f’(x0)+limg’(x0)(∆x)+lim (f’(x0)+(∆x)∆x)[f’(x0)+∆x] z’(x0)=g’(y0)f’(x0) что и требовалось
∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0
доказать.
Теорема: Пусть функция y=f(x) возрастает (убывает) в О(х0) и дифференцируема в точке х0. Тогда обратная у ней функция x=g(y) дифференцируема в точки y0=f(x0), причём g’(y0)=1/f(x0)
Д оказательство: из дифференцируемой функции f(x) в точке х0 и из монотонности следует существование обратной функции в точке х0 и её непрерывность lim[∆y(y0)]/∆y= ∆y0, то ∆у0 в силу строгой
∆у0 монотонности функции и обратной =
к ней следует ∆х0
=lim∆x/∆y=lim1 /(∆y/∆x)= в силу непрерывности следует =1/[lim∆y/∆x]=1/[lim∆f(x0)/∆x]=1/f(x0) f(x0)0
∆y0 ∆y0 ∆у0, то ∆х0 и наоборот ∆x0 ∆x0
y=ax
y’(x)=lim[ax+∆x-ax]/∆x=lim[ax(a∆x-1)]/∆x=lim[ax(e∆xlna-1)]/∆x=/∆x0, то ∆xlna0\=lim[ax∆xlna]/∆x=axlna
∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0
y ’=axlna, частный случай y=ex (ex)’=ex
y=x^2
y’=x^2 lnx
y=lnx
y’=lim[ln(x+∆x)-lnx]/∆x=lim[ln((x+∆x)/x)]/∆x=lim[ln(1+∆x/x)]/∆x=/∆x/x0 при ∆x0\=lim(∆x/x)/∆x=1/x
∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0
y=lnx