matan1 (Хорошие лекции в ворде), страница 2
Описание файла
Файл "matan1" внутри архива находится в папке "Хорошие лекции в ворде". Документ из архива "Хорошие лекции в ворде", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "matan1"
Текст 2 страницы из документа "matan1"
Дано:
n- бесконечно малое ε>0 N1:n>N1 n<ε
n- бесконечно малое ε>0 N2:n>N2 n<ε
Положим N=max{N1,N2}, тогда для любого n>N одновременно выполняется оба неравенства:
n<ε n+nn+n<ε+ε=2ε=ε1n>N
n<ε
Зададим ε1>0, положим ε=ε1/2. Тогда для любого ε1>0 N=maxN1N2 : n>N n+n<ε1 lim(n+n)=0, то
n
есть n+n – бесконечно малое.
Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.
n,n – бесконечно малое nn – бесконечно малое.
Докозательство:
Зададим ε1>0, положим ε=ε1, так как n и n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N1: n>N n<ε
N2: n>N2 n<ε
Возьмем N=max {N1;N2}, тогда n>N = n<ε
n<ε
nn=nn<ε2=ε1
ε1>0 N:n>N nn<ε2=ε1
lim nn=0 nn – бесконечно малое, что и требовалось доказать.
n
Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность
аn – ограниченная последовательность
n –бесконечно малая последовательность ann – бесконечно малая последовательность.
Доказательство: Так как аn – ограниченная С>0: nN anC
Зададим ε1>0; положим ε=ε1/C; так как n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N n<ε ann=ann<Cε=Cε1/C=ε1
ε1>0 N: n>N ann=Cε=ε1 lim ann=0 ann – бесконечно малое
n
Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const произведение постоянно.
Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.
lim an=a an=a+n
n+
Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде an=a+n
где n – бесконечно малая.
Доказательство:
lim an ε>0 N:n>N an-a<ε. Положим an-a=n n<ε, n>N, то есть n - бесконечно малая
n+
an=a+n что и требовалось доказать
Доказательство (обратное): пусть an=a+n, n – бесконечно малая, то есть n=an-a ε>0 N: n>N
n=an-a<ε, то есть lim an-а
n+
Теоремы о пределах числовых последовательностей.
-
Теорема о пределе суммы:
Пусть lim an=a lim bn=b lim an+n=a+b
n+ n+ n+
Докозательство: an=a+n bn=b+n Сложим an+bn=a+b+n+n=a+b+n lim an+bn=a+b
n+
2) Теорема о произведение пределов:
Пусть lim an=a lim bn=b lim anbn=ab
n+ n+ n+
Доказательство: an=a+n bn=b+n anbn=(a+n)(b+n) anbn=ab+an+bn+nn=ab+n lim anbn=ab что и
n+
требовалось доказать.
-
Теорема о пределе частного
Пусть lim an=a lim bn=b b0 lim an/bn=a/b
n+ n+ n+
Доказательство: an=a+n bn=b+n так как b0, то N1: n>N1bn0
bn
0 (////////b/////////) x
an/bn=an/bn-a/b+a/b=a/b+(ban-abn)/bbn=a/b+[b(a+n)-a(b+n)]/b(b+n)=a/b+n/b(1+bn/b)
lim an/bn=a/b
n+
Лекция №4
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: понедельник, 19 сентября 2000 г.
Тема: Бесконечно большие последовательности .
аn=(-1)n – не имеет предел.
{bn}={1,1…}
{an}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.
Бесконечно большие последовательности.
an=2n
N:n>N an>ε
bn=(-1)n2n
N:n>N bn>ε
cn=-2n
N:n>N cn<-ε
Определение (бесконечно большие последовательности)
1) lim an=+, если ε>0N:n>N an>ε где ε- сколь угодно малое.
n
2)lim an=-, если ε>0 N:n>N an<-ε
n+
3) lim an= ε>0 N:n>N an>ε
n+
Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.
Доказательство:
an=2n
Берём ε>0; хотим 2n>ε
n>log2ε
N=[log2ε]+1
Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки и , а знак неравенства на дополнительный.
Пример:
Утверждение lim an=a< aR ε>0 NN:n>N an-a<ε
n
Обратное утверждение aR ε>0 NN: n>N an-a<ε
Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно.
bn{2;0;2n;0;23;0….}
Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)
Пусть lim an=a< an - ограниченная
n+
Доказательство:
Дано:
ε>0N:n>N an-a<ε
Раз ε>0 возьмем ε=1 N:n>N an-a<1
a-1<an<1+a, n>N
Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.
N1=max{a1;a2;…an;1+a;a-1}
anc, n>N
Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).
Если lim an=a <, то а- единственное.
n+
Доказательство:(от противного)
Предположим, что b: lim an=b и ba ε=b-a/2>0 для определенности пусть b>a N1:n>N1 an-a<ε
n+
N2:n>N2 an-b<ε N=max{N1;N2}, тогда оба неравенства выполняются одновременно
-(b-a)/2<an-a<(b-a)/2
-(b-a)/2<an-b<(b-a)/2
an-a<(b-a)/2
-
an-b>-(b-a)/2
b-a<b-a
0<0 – противоречие предположение, что b>a неверно. Аналогично доказывается, что b<a, то же неверно ε=(a-b)/2
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.
Теорема:
1)an- бесконечно большая 1/an – бесконечно малая
2)т – бесконечно малая, n0 (n>N0) 1/n – бесконечно большая
Доказательство:
1)an- бесконечно большая lim an= для достаточно больших номеров n an0. Зададим любое сколько
n+
угодно малое ε>0, положим ε=1/ε>0
Для ε N1:n>N1 an>ε, то есть an>1/ε N=max{N1;N0}
Тогда n>N 1/an<ε, то есть lim 1/an=0, то есть 1/an – бесконечно малое
n+
2)n – бесконечно малое lim n=0
n+
Дано: n0, n>N0 зададим ε>0 положим ε=1/ε>0
N1:n>N1 n<ε=1/ε
N=max{N0;N1}: n>N 1/n=, то есть 1/n – бесконечно большая.
Основные теоремы о существование предела последовательности.
Теорема Вейрштрасса:
Пусть an- ограниченная и моннатонна. Тогда lim an=а<
n+
Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.