Нов_40_42 (Методичка по линейной алгебре)

42

Тогда уравнение примет вид . Полученное уравнение приводится к простейшему уравнению параболы.

(Замечание. В случае =0, , полагая , , уравнение приводится к виду .)

Задача 4. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка , определить ее тип и сделать схематический рисунок.

В данном уравнении А=2, 2В= , С=0, D=0, E=0, F=-3.

Уравнение для определения угла поворота системы координат имеет вид . Решая квадратное уравнение, получаем , . Выбирая первое значение, имеем . Тогда , .

В системе координат повернутой на угол уравнение линии примет вид . Разделив правую и левую части уравнения на 3, получим . Данное уравнение является каноническим уравнением гиперболы.

Задача 5. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка , определить ее тип и сделать схематический рисунок.

В данном уравнении А=1, 2В=1, С=1, D=0, E=0, F=-3.

Уравнение для определения угла поворота системы координат имеет вид . Решая квадратное уравнение, получаем , . Выбирая первое значение, имеем . Тогда , . В системе координат повернутой на угол уравнение линии примет вид . Разделив правую и левую части уравнения на 3, получим . Данное уравнение является простейшим уравнением эллипса.

Задача 6. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка , определить ее тип и сделать схематический рисунок.

В данном уравнении А=4, 2В=0, С=1, D=-8, Е=-4, F=-8. Поскольку коэффициент В равен нулю, то нет необходимости делать поворот осей координат. Как было уже указано, при переносе начала системы координат в точку с координатами имеем следующие соотношения: , .

Подставляя их в уравнение линии и раскрывая скобки, получаем

.

Приравнивая нулю коэффициенты при и , получаем:

,

.

Тогда , . Уравнение примет вид . Его перепишем в виде . Это уравнение является простейшим уравнением эллипса.

Задача 7. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка , определить ее тип и сделать схематический рисунок.

В данном уравнении А=0, 2В=0, С=1, D=4, Е=-4, F=-8. Поскольку коэффициент В равен нулю, то нет необходимости делать поворот осей координат. Перенесем начало системы координат в точку с координатами . Между координатами точки в различных системах имеем следующие соотношения: , .

Подставляя их в уравнение линии и раскрывая скобки, получаем

.

Из условия равенства нулю коэффициента при получаем: , .

Приравнивая нулю свободный член, получаем:

, .

Уравнение примет вид .

Это уравнение является простейшим уравнением параболы.