Нов_34_36 (Методичка по линейной алгебре)

36

Решим этим методом предыдущий пример.

Сформируем матрицу размерности (3 6) , где первые три столбца эта матрица А, а следующие три единичная матрица Е.

. Что бы получить в верхнем левом углу единицу, разделим первую строку на 2.

. Добьемся того, чтобы все элементы первого столбца, кроме первого стали нулевыми. Для этого из второй строки вычтем первую, из третьей строки вычтем первую умноженную на 2. Получаем

. Добьемся того, чтобы элемент, стоящий на пересечении второй строки и второго столбца, был равен 1. Для этого разделим вторую строку на .

. Добьемся того, чтобы все элементы второго столбца, стоящие ниже второго были равны нулю. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на 5.

. Чтобы элемент на пересечении третьей строки и третьего столбца был равен 1, разделим третью строку на .

. Для того чтобы все элементы третьего столбца, лежащие выше третьего стали нулевыми, ко второй строке прибавим третью, умноженную на , и из первой вычтем третью, умноженную на .

. Чтобы все элементы второго столбца, стоящие выше второго были равны нулю, вычтем из первой строки вторую, умноженную на .

. Таким образом, слева от вертикальной черты мы получили единичную матрицу, тогда справа от вертикальной черты мы имеем обратную. Таким образом .

Отметим, что для матрицы большой размерности второй метод существенно более удобен, нежели первый.

Изложим суть метода применения обратной матрицу к решению системы n линейных уравнений с n неизвестными. В векторно-матричной форме система уравнений имеет вид

, где А - матрица системы, - вектор-столбец неизвестных, - вектор-столбец свободных членов. Если - обратная матрица, то имеем

; ; .

Пример. Решить систему уравнений.

Матрица системы . Вектор столбец неизвестных . Вектор столбец свободных членов .

Найдем обратную матрицу первым способом. Определитель данной матрицы вычислен ранее и равен =39.

Транспонированная матрица равна

.

После замены каждого элемента на алгебраические дополнения получаем матрицу .

Тогда обратная матрица равна .

. Решение имеет вид .

Вычисляя произведение, получаем .