Нов_12_15 (Методичка по линейной алгебре)

15

Задача 4. Найти точку пересечения прямой, проходящей через точки А(4;6;8) и B(5;8;9), с плоскостью (XOY).

Пусть точка M(x;y;z) является искомой точкой. Поскольку эта точка лежит в плоскости (XOY), то z=0.

Так как векторы и лежат на одной прямой, то они коллинеарны.

Напомним что векторы , коллинеарны тогда, и только тогда, когда .

Напомним формулу вычисления координат вектора, соединяющего две точки и : .

Тогда , . Из условия их коллинеарности получаем .

Следовательно: , x-4=-8, x=-4;

; y-6=-16; y=-10.

Ответ: M(-4;-10;0).

Задача 5. Средствами векторной алгебры найти точку пересечения плоскости, проходящей через точки А(1;2;1), B(-3;-3;4), C(2;-1;3) с осью Z.

Так как точка М лежит на оси Z, то она имеет координаты M(0;0;z), где z - неизвестное число. Так как точки А, В, С, М лежат в одной плоскости, то векторы , , - компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю.

Напомним, что смешанное произведение трех векторов , , по определению равно и вычисляется по формуле

.

Так как ={-1;-2;z-1}, ={-4;1;3}, ={1;-3;2}, то из условия

( )=0 получаем уравнение для определения z.

(Отметим, то полученное уравнение аналогично рассмотренному в задаче 1).

,

-11-22+11(z-1)=0, 11z=44. Z=4.

Ответ: M(0;0;4).

Задача 6. Средствами векторной алгебры найти расстояние от точки A(3;2;5) до прямой, проходящей через точки B(1;4;9) и C(3;7;1).

Расстояние от точки А до прямой ВС равно высоте h треугольника АВС, проведенной из вершины А. Для площади треугольника известна формула . Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Используя свойства векторного произведения, имеем . Поскольку длина стороны ВС равна , получаем следующую формулу для вычисления расстояния

.

={2;3;-8}. = . ={2;-2;-4}.

.

; . Ответ: .

Задача 7. Средствами векторной алгебры найти расстояние от точки D(4;9;1) до плоскости, проходящей через точки A(4;0;0), B(1;1;2) и C(6;-4;2).

Решение. Расстояние от точки D до плоскости АВС равно длине высоты H в пирамиде ABCD, проведенной из вершины D. Так как объем пирамиды , то . Объем пирамиды равен одной шестой части объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Согласно геометрическому смыслу смешанного произведения известно, что модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Тогда . .

Следовательно .

Имеем ={-3;1;2}, ={2;-4;2}, ={0;9;1}.

= =

=-3(-4-18)-(2)+2(18)=100.

= ={10;10;10}.

.

Тогда H= .

Ответ: H= .

Задача 8. В параллелограмме ABCD: AB=12, AD=24, A= . Точка М, лежащая на стороне ВС, делит эту сторону в отношении ВМ:MC=1:3, точка N, лежащая на стороне CD, делит эту сторону в отношении CN:ND=1:5. Найти косинус угла MAN.

Решение. Сформулируем условие этой задачи на языке аналитической геометрии. Искомый угол - это угол между векторами и . Стороны параллелограмма АВ и AD будем рассматривать как векторы и . При этом , . Угол между этими векторами равен .

Из правила сложения векторов следует:

= + . Так как = = , то = + ;

= + . Так как = = , то = + .

Далее мы фактически повторяем решение, приведенное в задаче 2.

Пусть MAN=. Тогда cos= .

Предварительно вычислим: ( )=144, ( )=576, ( )=  cos =1224 =144.

( )=(( + )( + ))=( )+ ( )+ ( )+ ( )=144+144+120+30=438.

( )=(( + )( + ))=( )+ ( )+ + ( )=144+72+36=252. Значит  = .

( )=(( + )( + ))=( )+ ( )+ ( )=576+240+100=826. Значит  = .

Тогда cos= = .

Ответ: cos= .