Лекция 9 (Материалы к лекциям)
Описание файла
Файл "Лекция 9" внутри архива находится в папке "Материалы к лекциям". Документ из архива "Материалы к лекциям", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "модели и методы анализа проектных решений" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "модели и методы анализа проектных решений" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Лекция 9"
Текст из документа "Лекция 9"
Столярчук В.А. Материалы к курсу лекций. «Модели и методы анализа проектных решений»
Лекция № 9
Лекция № 9
Исследование с помощью численных методов
Продолжение
Содержание
Обзор методов решения задач математический физики, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями 2
Примеры построения задачи Коши 2
Одношаговые методы решения задачи Коши 9
Методы прогноза и коррекции 15
«Жесткие» задачи 22
Обзор методов решения задач математический физики, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями
Напомним, что в зависимости от числа независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них производных, дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называют частными. В практике проектирования ЛА обыкновенные дифференциальные уравнения часто используют при расчете траекторных параметров и динамических характеристик. Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение необходимо знать значения зависимой переменной и (или) ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Если же условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. В задаче Коши дополнительные условия называют начальными, а в краевой задаче - граничными. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.
Примеры построения задачи Коши
В этом разделе мы построим две математические модели, представляющие собой задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; одну модель — из области экологии, другую — из области аэронавтики.
Модель типа хищник - жертва
Рассмотрим динамику популяции двух видов, взаимодействующих между собой по типу хищник - жертва. При этом предполагается; что жертва может найти достаточно пищи для пропитания, но при каждой встрече с хищником последний убивает жертву. Примеры таких межвидовых взаимоотношений дают волки и кролики, паразиты и некоторые организмы, на которых они паразитируют. Наша цель — исследовать изменение во времени популяций хищников и жертв.
Обозначим соответственно через x = x(t) и y=y(t) количество жертв и хищников в момент времени t. Чтобы получить математические уравнения, которые приближенно описывают динамику популяций, мы сделаем несколько упрощающих предположений. Во – первых, предположим, что норма рождаемости жертв и норма естественной смертности (т.е. без учета уничтожения хищниками) – являются константами, причем . Таким образом, в отсутствие хищников популяция жертв будет расти со скоростью .
Во – вторых, предположим, что число случаев, когда хищник убивает жертву, зависит от вероятности их встречи и, следовательно, пропорционально произведению ху. Объединяя эти два предположения, получаем, что популяция жертв подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению:
Где , а (5.2.1)
Чтобы вывести уравнение, описывающее популяцию хищников, предположим, что при отсутствии жертв число хищников по естественным причинам убывает, что задается членом . В то же время в результате встреч с жертвами число хищников увеличивается, что ведет к уравнению:
С (5.2.2)
Таким образом, мы пришли к нелинейной системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений (5.2.1) и (5.2.2).
Эти уравнения были впервые выведены в 1925 г. и известны как уравнения Лотки— Вольтерра. Однако задача пока сформулирована не полностью; мы должны начать процесс в некоторый момент времени (например, при t = 0) с заданными значениями начальных популяций x(0) и у (0). Таким образом, дополняем дифференциальные уравнения двумя начальными условиями:
Задача о траектории
Предположим, что ракета запускается под заданным углом наклона к поверхности (угол запуска). На какую высоту поднимется ракета? Ответ на этот вопрос зависит от целого ряда факторов: характеристик ракеты и ее двигателя, сопротивления воздуха, гравитационных сил и т.д.
Чтобы построить математическую модель этой задачи, мы должны сделать ряд упрощающих предположений. Во-первых, ограничимся рассмотрением ракет, поднимающихся вверх и перемещающихся вдоль поверхности Земли на расстояния, не превышающие 100 км. В этом случае без существенной потери точности можем считать, что Земля плоская. Во-вторых, предположим, что вся траектория ракеты лежит в одной плоскости, т.е. предполагается отсутствие бокового ветра и т.д. Используя эти два предположения, выбираем двумерную систему координат с началом в месте старта.
Типичная траектория представлена на рисунке.
Функции x(t) и y(t) обозначают координаты х и у ракеты в момент времени t, причем считаем, что ракета стартует при t = 0, так что
(5.2.5)
Если обозначить производные по времени, как и , то вектор скорости ракеты в момент t представится в виде . Будем обозначать величину вектора скорости через , а угол с горизонтом через , как это показано на рисунке. Эти величины тогда определяется выражениями:
(5.2.6)
Основная математическая модель траектории выводится из второго закона Ньютона:
Здесь m(t) — масса ракеты, F — результирующая действующих на ракету сил, которая состоит из трех слагаемых:
-
– силы тяги при работе двигателя, T(t)
-
– силы сопротивления (5.2.8)
Где с – коэффициент сопротивления, – плотность воздуха и s – поперечное сечение ракеты
-
– силы гравитации mg, где g – ускорение свободного падения.
Чтобы записать уравнение (5.2.7) в переменных x и у, заметим, что сила тяги и сила сопротивления действуют вдоль оси ракеты. Если мы обозначим эту часть результирующей силы F через F1 , то
(5.2.9)
Так как сила гравитации действует только в вертикальном направлении, уравнение (2.1.7) можно записать покоординатно следующим образом:
(5.2.10)
Используя (5.2.9) и меняя порядок членов, перепишем уравнения (5.2.10) в виде:
(5.2.11)
Это связанная система двух нелинейных (см. соотношения (5.2.6)) дифференциальных уравнений второго порядка. Мы предполагаем, что с и s - известные постоянные, р — известная функция у (т.е. высоты над поверхностью), Т и m (а следовательно, и ) – известные функции t. (Изменение массы обусловлено расходом топлива.)
Решение системы (5.2.11) должно удовлетворять (5.2.5), что дает два из четырех необходимых начальных условий. Другие два условия даются соотношениями: . (5.2.12)
Таким образом, при заданных характеристиках ракеты имеется только один свободный параметр — угол запуска , причем его изменение будет, очевидно, приводить к изменению траектории.
Уравнения (5.2.11) могут служить математической моделью и для таких баллистических задач, как полет снаряда, выстреленного из артиллерийского орудия, или камня, запущенного из рогатки. В таком случае предполагаем, что тело стартует с заданной скоростью v0, так что условия (5.2.12) заменяются на условия: . (5.2.13)
В этом случае отсутствует сила тяги и, следовательно, нет изменения массы, так что уравнения (5.2.11) упрощаются и принимают вид:
(5.2.14)
Который показывает, что в такой упрощенной модели при заданных начальной скорости и угле запуска траектория зависит только от сопротивления воздуха и силы земного притяжения.
Теперь наша задача заключается в решении уравнений (5.2.11) с начальными условиями (5.2.5) и (5.2.13). Мы в дальнейшем будем использовать условия (5.2.13), поскольку они как частный случай включают условия (5.2.12). В том тривиальном случае, когда отсутствуют как сила тяги, так и сопротивление воздуха, эти уравнения допускают явное решение. Однако при любом сколько-нибудь реальном задании плотности воздуха и силы тяги такое решение оказывается невозможным и возникает необходимость в приближенном численном решении.
Для численного решения удобно преобразовать два уравнения второго порядка (5.2.11) в систему четырех уравнений первого порядка. Дифференцируя соотношения:
(5.2.15)
Имеем:
(5.2.16)
Подставляя теперь (5.2.15) и (5.2.16) в уравнения (5.2.11) и разрешая последние относительно и , получаем:
(5.2.17)
(5.2.18)
Уравнения (5.2.17) и (5.2.18) вместе с (5.2.15) составляют систему четырех уравнений первого порядка относительно функций х, у, и . Начальные условия по-прежнему задаются соотношениями (5.2.5) и (5.2.13).
Примером также может служить задача о свободных колебаниях тела, подвешенного на пружине. Движение такого тела описывается дифференциальным уравнением, в котором независимой переменной является время t. Если дополнительные условия заданы в виде значений перемещения и скорости при t = 0, то имеем задачу Коши. Для той же механической системы можно сформулировать и краевую задачу. В этом случае одно из условий должно состоять в задании перемещения по истечении некоторого промежутка времени. В краевых задачах в качестве перемещений часто выступает длина. Известным примером такого рода является дифференциальное уравнение, описывающее деформацию упругого стержня.
В этом случае граничные условия обычно задаются на обоих концах стержня.
Итак, задача Коши формулируется следующим образом:
Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие . Требуется найти функцию Y(X), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.
Обычно численное решение этой задачи получают, вычисляя сначала значение производной, а затем, задавая малое перемещение X и переходя к новой точке X1=X0+h. Положение новой точки определяется по наклону кривой, вычисленному с помощью дифференциального уравнения. Таким образом, график численного решения представляет собой последовательность коротких прямолинейных отрезков, которыми аппроксимируется истинная кривая Y=f(X). Сам численный метод определяет порядок действий при переходе от данной точки кривой к следующей. Поскольку численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, то оно в течение многих лет было объектом пристального внимания, и число разработанных для него методов очень велико. Коротко рассмотрим наиболее из распространенных методик:
-
Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой Y=f(X), требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге-Кутта.
-
Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой Y=f(X), требуется информация более, чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса - Башфорта и Хеминга. Особняком стоят разностные методы, редко используемые для решения задач Коши. Прежде, чем перейти к общим характеристикам методов остановимся на источниках погрешностей, связанных с численной аппроксимацией. Таких источников три:
-
Погрешность округления обусловлена ограничениями на представление чисел в используемой ЭВМ, так как для любой из них число значащих цифр, запоминаемых и используемых в вычислениях, ограничено.
-
Погрешность усечения связана с тем, что для аппроксимации функции вместо бесконечных рядов часто используются лишь несколько первых их членов.
-
Погрешность распространения является результатом накопления погрешностей, появившихся на предыдущих этапах счета.
Указанные три источника погрешностей являются причиной наблюдаемых ошибок двух типов:
-
Локальная ошибка - сумма погрешностей, вносимых в вычислительный процесс на каждом шаге вычислений
-
Глобальная ошибка - разность между вычисленным и точным значением величины на каждом этапе реализации численного алгоритма, определяющая суммарную погрешность, накопившуюся с момента начала вычислений
Одношаговые методы решения задачи Коши