Столярчук В.А. Материалы к курсу лекций. «Модели и методы анализа проектных решений»

Лекция № 8

Лекция № 8

Содержание

Построение и использование аналитических моделей (аналитическое моделирование) 2

Исследование с помощью численных моделей 19

Особенности задач математической физики 21

Построение и использование аналитических моделей (аналитическое моделирование)

Проведение аналитического исследования предполагает наличие достаточно полного и точного аналитического описания функционирования технического объекта. Как правило, математическая модель в первоначальном виде непригодна для непосредственного аналитического исследования. Например, матмодель может не содержать в явном виде интересующих величин. В этом случае необходимо трансформировать первоначальную модель в такую систему соотношений относительно искомых величин, которая допускает получение результата аналитическими методами. При этом появляется возможность получить достаточно полную информацию о функционировании изучаемых систем, что и объясняет стремление к аналитическому исследованию в первую очередь.

При аналитическом подходе требуемые зависимости выводятся из математической модели последовательным применением математических правил. Препятствием при этом может быть неразрешимость уравнений в аналитической форме, отсутствие первообразных для подинтегральных функций и т.п. с чем приходится сталкиваться весьма часто. Применить такое исследование на практике удается сравнительно редко, так как преобразование матмодели в совокупность соотношений, допускающих эффективное получение результата, в большинстве случаев оказывается весьма трудной задачей. Поэтому лишь при определенных свойствах модели можно получить решение в явной аналитической форме. Несмотря на ограниченные возможности аналитического подхода, решения, полученные в явной аналитической форме, имеют большую познавательную ценность и находят результативное применение при решении широкого класса задач.

При получении аналитических моделей можно выделить три основных подхода:

1. Описание сложной технической системы или процесса в виде взаимодействия совокупности элементов, работающих по какому-либо простейшему закону. Элементы и законы выбираются на основе опыта и знаний разработчика.

2. Упрощение дифференциальных уравнений наиболее полно (с точки нынешних представлений) описывающих поведение сложной технической системы или процесса, путем введения систем гипотез и допущений, позволяющих в конечном итоге получить уравнение, из которого можно получить аналитическое решение.

3. С помощью методов статистического анализа, когда проводится множество численных экспериментов на сложных и точных моделях (численных), после чего результаты обрабатываются математическими методами интерполяции и аппроксимации с целью получения приближенной аналитической формулы.

Последний метод наиболее трудоемкий и также, как первые два, не гарантирует получения аналитической формулы.

Возможны и комбинации всех трех приведенных методов.

Пример 1.

Рассмотрим пример получения аналитической формулы согласно первому подходу: решим задачу определения амплитуд при свободных продольных колебаниях корпуса ракеты.

Основные понятия теории колебания.

Колебанием называется периодическое движение, т.е. такое движение, которое повторяется по истечении некоторого промежутка времени, называемого периодом колебаний. Период колебаний означается буквой Т и обычно измеряется в секундах. Простейшим видом периодического движения является гармоническое колебание:

В этом случае перемещение Х пропорционально синусу или косинусу линейной функции времени t.

Х= А Sin ( t + ) или Х= А Cos ( t + ),

где А – амплитуда колебания

ε – фазовый угол, определяющий величину перемещения при t = 0

ω – угловая, круговая или циклическая частота, измеряемая числом радианов в секунду.

Величина называется частотой колебания и измеряется в герцах (гц), (колебание в секунду).

В дальнейшем будем рассматривать колебания упругих механических систем. Важнейшей величиной, характеризующей динамическое поведение системы является число ее степеней свободы. В динамике упругих систем степенью свободы называют количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс при возможных упругих деформациях системы. Системами с одной степенью свободы называются такие, у которых для полной фиксации их геометрического состояния в любое мгновение достаточно знать один параметр, например, положение определенной точки. Классический пример колебательной системы с одной степенью свободы - груз, подвешенный на пружинке таким образом, что направляющие позволяют ему перемещаться лишь вверх и вниз по вертикали.

С увеличением числа сосредоточенных масс в системе и снятием ограничений в направлении движения увеличивается число степеней свободы системы. В системах с распределенными параметрами (балки, стержни и т.д.) каждая частица обладает массой, а взаимодействие частиц между собой вызывает возникновение сил упругости и трения. Чтобы знать состояние такой системы, необходимо знать положение каждой ее точки, и поэтому число степеней свободы таких систем становится бесконечно большим. Колебание систем с конечным числом степеней свободы описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а систем с бесконечным числом степеней свободы - уравнениями в частных производных. Силы трения в колебательных системах вызывают рассеивание энергии. Поскольку природа этих сил во многих случаях не выяснена, то математическое выражение для них имеется не всегда. Колебания, которые происходят при отсутствии внешних сил, называют свободными или собственными. Вследствие наличия сил трения свободные колебания более или менее быстро затухают. Колебания, происходящие при воздействии внешних возмущающих воздействий, называются вынужденными. Свободные колебания представляют собой в общем случае сумму гармонических колебаний, причем число гармоник и соответствующих им частот равно числу степеней свободы системы. Частоты располагаются в порядке возрастания. Низкая частота называется частотой первого тона, затем идут частоты последующих тонов.

1 этап исследования системы.

Наиболее опасны для корпуса ракеты колебания двух-трёх низких тонов, определением которых чаще всего и ограничиваются. Формой колебаний данного тона называют функцию, выражающую соотношение амплитуд перемещений отдельных частей ракеты при колебаниях этого же тона. Форма колебаний не зависит от начальных условий и определяется с точностью до последнего множителя. Обозначим через C коэффициент жёсткости системы (например, пружины). Если систему сжать, то возникает сила упругости, равная

F_упр = - CX, где X – перемещение.

Согласно второму закону Ньютона F = ma уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы при отсутствии сил трения может быть записано в виде:

mX + CХ=0

или: X +  ² Х=0

где

Решение этого уравнения, как правило, записывается следующим образом:

или X= A Sin (t + )

где

X₀ - начальное отклонение и V₀ - скорость массы в момент t_0.

При действии динамических нагрузок на ракету в ее корпусе возникают колебательные процессы, которые при неблагоприятном сочетании факторов могут оказаться определяющими для прочности и надежности конструкции.

2 этап. Задача динамического расчета сводится к определению координат X_i как функций времени и динамических усилий в сечениях между массами.

Главнейшими динамическими характеристиками конструкции являются собственные частоты (или периоды свободных колебаний) и формы колебаний.

Если нагрузка нарастает или вообще претерпевает изменения в течение времени, не превышающего два-три периода свободных колебаний, то такая нагрузка по отношению к конструкции может считаться динамической и быстро изменяющейся. Если продолжительность изменения нагрузки велика и превышает три-пять периодов свободных колебаний, то влияние такой нагрузки близко к статистическому. Сказанное подтверждает первостепенное значение низших частот свободных колебаний, поскольку продолжительность изменения нагрузки, соизмеримая с периодом свободных колебаний первого-второго тонов, оказывается значительно больше периодов колебаний высших тонов.

Продольные колебания вызываются быстрыми изменениями осевой нагрузки, такими, например, как нарастание или спад тяги двигателя, пульсация, осевые силы при разделении ступеней и т.д.

3 этап - формализация (построение модели).

Свободные продольные колебания ракеты.

Решению любой задачи предшествует анализ работы системы и построение системы гипотез и допущений, позволяющих правильно выбрать расчетную схему и упростить математическую формулировку задачи. Решая задачу динамики следует правильно составить математическое описание движения исследуемой системы в зависимости от ее параметров, действующих сил и расчетных возможностей. Очень важно предельно упростить задачу, выбрав такую расчетную схему, которая позволит решить данную задачу с достаточной точностью имеющимися в распоряжении вычислительными средствами. При этом приходится принимать целый ряд допущений, упрощающих решение. Прежде всего, это относится к выбору числа степеней свободы. Строго говоря, корпус ракеты представляет собой конструкцию с бесконечно большим числом степеней свободы, но при изучении продольных колебаний приходится представлять ракету в виде системы с конечным числом степеней свободы, путём приведения реальной конструкции к системе с сосредоточенными параметрами. Такая схема характеризуется недеформируемыми массами и невесомыми жесткостями. (Можно стержень переменной массы и сечения, но сложно).

В зависимости от конструктивной схемы ракета может быть приведена к неразветвленной или разветвленной схеме:

Здесь через m_i обозначены сосредоточенные массы, с через С_i - соответствующие жесткости. Разветвленная схема соответствует пакетной конструкции ракеты. Кроме того, разветвленная схема может учитывать подвижность жидкости в баках, вызванную ее сжимаемостью и податливостью днища и стенок бака. Ракеты твердого топлива последовательного сочленения приводятся обычно к неразветвленной схеме. Следует отметить, что сосредоточенные массы в ответвлениях смещены в сторону условно. В дальнейшем также полагаем, что их центры лежат на общей оси симметрии системы. Приведение реальной конструкции к расчетной схеме требует решения двух следующих вопросов:

1. выбор количества и величины сосредоточенных масс

2. определение жесткостей (податливостей) упругих связей

1. Количество сосредоточенных масс приведения определяется из анализа конструкции.

В каждой ракете имеются резко выраженные сосредоточенные массы боевой части, приборного отсека, хвостового отсека с двигателей, соединенные между собой тонкостенными оболочками баковых отсеков. В самих баках основная часть массы приходится на сосредоточенные массы днищ со шпангоутами. Кроме того, значительную часть массы ракеты составляет топливо, которое может быть представлено в виде сосредоточенных масс, присоединенных к корпусу ракеты с помощью упругих невесомых связей. Сосредоточенные массы расчетной схемы выбираются в соответствии с распределением масс реальной конструкции.

Величина каждой массы определяется как сумма основной сосредоточенной массы конструкции и части от примыкающих к ней распределенных масс малой интенсивности. Например:

2. После того, как количество и расположение сосредоточенных масс определено, необходимо рассчитать жесткости упругих связей.

При расчетах часто оперируют величинами обратными жесткостям – податливостью (упругостью):