Лекция 7 (Материалы к лекциям), страница 5

В процессе макроподхода исследователь имеет возможность, воздействуя различным образом на вход системы, анализировать ее реакцию на соответствующие входные воздействия. Чем больше разнообразных воздействий поступает на вход системы, тем детальнее можно выяснить природу изучаемой системы. При этом мощность множества входных воздействий принципиальным образом связана с разнообразием состояний выходов системы. Если на каждую новую комбинацию входных воздействий система реагирует непрогнозируемым образом, испытание системы необходимо продолжать. Успешно справиться с разнообразием выходов системы можно только при помощи разнообразия входов.

Итак, метод черного ящика состоит в том, чтобы выявить, насколько это возможно, структуру системы и принципы ее функционирования, наблюдая только ее входы и выходы. Однако имеется определенный предел информации, которая может быть получена при использовании макроподхода. Иными словами, если на основании имеющихся данных может быть построена система, в точности повторяющая поведение исследуемой системы на всем множестве использованных входных воздействий, задачу макроподхода можно считать решенной. Но создание аналога черного ящика, конечно, означает, что исследование системы проведено до конца. Безусловно, невозможно испытать все мыслимые воздействия и установить все мыслимые связи между входами и выходами. В процессе макроподхода исследователь сознательно ограничивается анализом поведения системы лишь на множестве интересующих его воздействий, т.е. лишь в тех ситуациях, реакция системы в которых представляет практическую важность.

При использовании макроподхода для анализа сложных систем необходимо учитывать ряд важных обстоятельств:

• при исследовании реальных систем стоимость каждого эксперимента может быть столь высока, что их число не может быть слишком большим

• измерение любой экспериментальной величины всегда осуществляется при воздействии помех, в силу чего результат эксперимента есть - случайная величина

• условия проведения эксперимента могут меняться от одного эксперимента к другому (например, может изменяться дисперсия ошибки измерений, т.е. случайный шум, накладывающийся на измерения, может быть нестационарным)

• общее количество экспериментов может ограничиваться не только стоимостью, но и какими-либо другими факторами (например, усталостью металла)

В этих условиях весьма актуальной становится проблема извлечения наибольшего количества информации о системе с использованием ограниченного числа экспериментов. В связи с этим возникает необходимость разработки принципов оптимальной организации экспериментов (или более кратко - планирования экспериментов).

Задача планирования экспериментов чаще всего формулируется следующим образом.

Пусть измеряемая величина Y зависит от численного значения одного или нескольких факторов, которые иногда называют контролируемыми переменными. Каждому набору указанных величин сопоставляется вектор-cтолбец:

Координаты которого , ,…, , равны значениям контролируемых переменных. Вектор U характеризует условия, в которых проводится измерение контролируемых переменных (например, момент времени проведения эксперимента, температуру, дисперсию ошибки измерений и т.д.). Задачей эксперимента по поиску математической модели системы является выявление и аналитическое описание связи между измеряемыми и контролируемыми переменными. Так как результаты наблюдений - случайные величины, в большинстве случаев задача сводится к установлению связи между средними значениями исследуемых и контролируемых переменных

Пусть эта связь может быть описана некоторой функцией

Где – среднее значение исследуемой величины при значениях контролируемых переменных, определяемых координатами вектора

– неизвестная, в общем случае функция (ее часто называют функцией отклика), численное значение которой зависит от набора неизвестных параметров . Степень информированности относительно функции может быть различной. Наибольший интерес представляют 2 случая:

1. Функция известна. При этом требуется получить оценки неизвестных параметров:

1. Функция неизвестна. Известно лишь, что эта функция может быть аппроксимирована конечным рядом по некоторой системе наперед заданных функций. Требуется найти наилучшее описание функции . В этих условиях задача планирования эксперимента сводится к получению ответов на следующие вопросы:

• сколько экспериментов осуществить

• при каких условиях целесообразно проводить каждый эксперимент (например, в какие интервалы времени из заданного допустимого интервала наблюдений)

Результатом решения задачи является установление размерности и компонент вектора U для конкретного эксперимента либо выявление стратегии формирования вектора U для некоторого класса однотипных экспериментов. После этого переходят к отысканию функции . При этом часто используется хорошо разработанный аппарат математической статистики, в частности, метод наименьших квадратов (или различные его модификации).

Реализацией макроподхода при решении задач оценки эффективности сложных систем является, например, проведение натурного эксперимента. В процессе натурных испытаний системы в принципе имеется возможность изучить ее поведение в различных условиях функционирования и таким образом оценить эффективность системы. (Например, замер распределения давления на крыло в полете). Однако практические возможности использования этого метода часто ограничены трудоемкостью, а иногда и невозможностью воспроизведения в натурном эксперименте условий функционирования исследуемой системы, близких к реальным (аэродинамическая труба).

Знание целевого назначения системы и ее макрофункции позволяет продолжить анализ системы путем исследования ее модели. Модель как заместитель объекта должна сохранять все существенное, типичное, что присуще изучаемой системе, т.е. должна быть, в некотором смысле, аналогична оригиналу. Эта аналогия (сходство) между системами и моделями может проявляться на уровне идентичности макрофункции, на уровне идентичности структуры и макрофункции, на уровне идентичности элементов, структуры и макрофункции. В последнем случае можно говорить о тождестве модели и оригинала. Изучение модели, тождественной оригиналу, не дает никаких преимуществ перед изучением собственно системы, поэтому такую модель и не стремятся получить на практике. Если модель идентична изучаемой системе с точностью до структуры, она называется изоморфной оригиналу. Для изоморфных систем имеет место взаимно-однозначное соответствие макрофункций. Изучение изоморфной модели может дать полное представление об анализируемой системе. Вместе с тем понятно, что получение такой модели возможно лишь при наличии исчерпывающей информации о структуре изучаемой системы. В тех случаях, когда эта информация отсутствует или является неполной, в целях анализа системы может быть использована ее упрощенная модель, макрофункция которой совпадает с макрофункцией системы лишь на некотором форсированном множестве входных воздействий. В этом случае говорят, что модель гомоморфна исследуемой системе.

В большинстве случаев инженер-разработчик должен быть освобожден от сложной и ответственной работы по конструированию матмоделей элементов, прибегая к выполнению такой работы только в отдельных необходимых ситуациях. Следовательно, применяемые в САПР матмодели элементов должны иметь высокую степень универсальности.

Напомним, что требования высокой точности, большой степени универсальности и высокой экономичности противоречивы. Чем детальнее в модели отражаются различные закономерности процессов, тем точнее и универсальнее модель, но тем больше требуемый объем вычислений и тем больше количество используемых параметров. Удачное компромиссное удовлетворение требований к матмодели элемента в задачах одного вида анализа и определенного класса объектов может оказаться далеким от оптимального в других задачах, в которых должна использоваться модель того же элемента. По этой причине для одного и того же элемента необходимо иметь не одну, а несколько матмоделей, различающихся значениями показателей эффективности.

С другой стороны построение моделей - всегда процедура неформальная, и конечно она сильно зависит от исследователя, его опыта, таланта, всегда опирается на определенный опытный материал, в связи с чем, можно сказать, процесс моделирования имеет феноменологическую основу. Все три стороны математической модели: смысловая, представленная формализованным описанием, аналитическая, выраженная математическим описанием, и вычислительная, рассматриваемая при построении моделирующего алгоритма, находятся в единой взаимосвязи. В простейших случаях, когда из математической модели можно получить простое аналитическое решение, надобность в составлении алгоритма, естественно отпадает. Для математического моделирования технических систем используют конечные алгебраические или трансцендентные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения в частных производных и реже интегральные уравнения. Конечные уравнения служат для описания геометрических, весовых, стоимостных, аэродинамических и других соотношений, характеризующих ЛА. Например, обыкновенные дифференциальные уравнения используют при расчете траекторных параметров и динамических характеристик ЛА, а дифференциальные уравнения в частных производных применяют при определении теплозащитного покрытия головной части ЛА, при определении прочностных и некоторых динамических характеристик элементов ЛА.

Возможны следующие типы и основные способы использования математических моделей для исследования систем:

• аналитическое исследование (аналитические модели)

• исследование с помощью численных методов (численные модели)

• статистическое моделирование

• аппаратурное моделирование или моделирование на аналоговых машинах

34