Совокупность блоков отображает набор L операторов преобразо­вания L_j и условий объединения входов и вы­ходов блоков типа

X_jq(t) = Y_jk(t), где j  [1,N], q(j)  [1, Q], k(j)  [1, K]

Эти формальные условия, в зависимости от конкретной формы их записи, могут отражать конкретные способы объединения элементарных блоков.

Требования, предъявляемые к математическим моделям

Как уже отмечалось, процесс моделирования состоит из двух фаз. Первая фаза заключается в построении самой математической модели. На второй фазе проводится оперирование построенной моделью (при использова­нии ЭВМ можно говорить о проведении "вычислительного эксперимен­та") для получения необходимых данных об исследуемом объекте в форме конкретных числовых значений выходных параметров объекта и их зависимостей от входных внешних воздействий и внутренних па­раметров.

Рассмотрим ряд особенностей этих двух фаз.

Требования, предъявляемые к математическим моделям

Формулирование совокупности требований к математической мо­дели является важным элементом в процессе ее построения. Часть из этих требований носит универсальный харак­тер, т.е. справедлива по отношению к любой математической модели, а часть обусловлена использованием ЭВМ в качестве инструмента мо­делирования.

Основными требованиями к математической модели являют­ся требования точности, универсальности, экономичности.

Точность математической модели - свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с помощью модели значений параметров объекта с истинными значениями этих параметров. Количественная оценка точности модели в большинстве случаев вызывает затруднения по следующим причинам:

1. Реальные объекты, следовательно, и их модели характеризуются не одним, а несколькими параметрами. Отсюда вытекает первоначальный векторный характер оценки точности и необходимость сведения векторной оценки к скалярной для возможностей сопоставления моделей друг с другом.

2. Модели составляются для многократного использования при анализе разных вариантов объектов или даже многих типов объектов определенного класса. Поскольку характер проявления тех или иных свойств объекта зависит от особенностей взаимосвязей объекта с внешней средой и другими объектами системы, то и показатели точности отображения этих свойств в модели будут зависеть от конкретных условий функционирования объекта. В результате оценка точности перестает быть однозначной.

3. Истинные значения параметров объекта обычно отождествляют с экспериментально полученными. Однако погрешности эксперимента во многих случаях оказываются соизмеримыми с погрешностями матмодели, а иногда заметно их превышают. Для получения значений, близких к истинным, с помощью более точных математических моделей, чем испытуемая, требуется наличие такой более точной модели, что выполняется далеко не всегда.

Точность математической модели определяется степенью отклонения полученных с ее помощью значений параметров моделируемого объекта от истинных значений этих параметров. Таким образом, если в качестве оценки параметра объекта выбирается величина , полученная в результате моделирования, то для оценки точности будем использовать величину . При определении точности модели необходимо учитывать ряд обстоятельств. Первое обстоятельство связано с тем, что точность модели в большинстве случаев моделирования сложных объектов приходится определять в условиях, когда эти объекты характеризуются несколькими парамет­рами. Следовательно, возникает задача оценки точности по несколь­ким критериям (т.е. векторной оценки).

Сведение векторной оценки точности к скалярной обычно осуществляется на основе какой-либо нормы вектора. Пусть объект характеризуется m выходными параметрами , а значения тех же параметров, полученные при использовании модели есть .

Образуем вектор относительных погрешностей:

Где

В качестве критерия точности при многокритериальной оценке математической модели может быть использована либо т - норма вектора, т.е. , либо l – норма, т.е. , где i = 1, 2, …, n, , – выходной параметр объекта.

Второе обстоятельство является в значительной мере следстви­ем требования универсальности моделей. Использование моделей клас­сов объектов или их элементов может приводить к неоднозначности оценки точности, поскольку в рамках класса характер проявления отдельных свойств объектов может колебаться в широких пределах, что в свою очередь сказывается на точности отображения этих свойств в модели. Таким образом, оценка точности подобных моде­лей может быть неоднозначной.

Третье обстоятельство обусловлено проблемой получения истин­ных значений параметров, с которыми сравниваются результаты моделирования. Чтобы получить эти значения необходимо провести с объектом эксперимент, погрешности которого не должны превышать ожидаемых потребностей математического моделирования. Однако это возможно далеко не всех случаях.

И, наконец, четвертое обстоятельство имеет место при статистическом моделировании случайных явлений или процессов. Здесь точность оценок вероятностей появления неко­торого события, среднего значения, дисперсий и других характери­стик случайных величин зависит от числа реализации процесса на модели и необходимой достоверности этих оценок. Например, при оценке вероятности р появления случайного события точность определяется по формуле , где ta – величина, зависящая от достоверности оценки, N = число реализаций модели.

Уменьшение необходимого числа реализации и, следовательно, затрат машинного времени достигается за счет целесообразного построения модели, в частности, выбором для оценки параметров случайных величин, имеющих возможно меньшую дисперсию.

Отметим, что в общем случае погрешности при моделировании зависят от ряда причин: неполного соответствия модели и объекта, неточности задания исходных параметров модели, случайного харак­тера результатов моделирования,

Вторым требованием является требование универсальности математической модели, которое обусловлено большой трудоемкостью построения моделей. Степень универсальности математической модели определяется её применимостью к анализу более или менее многочисленной группы однотипных объектов, к их анализу в одном или многих режимах функционирования. Использование машинных методов станет неудобным, если в процессе анализа объекта при каждом изменении режима функционирования потребуется смена матмодели.

Поэтому с практической точки зрения окажется неприемлемым использование моделей, «настроенных» на узкий диапа­зон условий моделирования и требующих их существенной доработки при выходе за границы этого диапазона. В особенности это относит­ся к моделям элементов сложных систем, которые могут быть исполь­зованы в различных сочетаниях в соответствии со структурой моде­лируемой системы. Решение данной проблемы может лежать на пути создания некоторых универсальных схем в качестве моделей требуе­мого класса объектов. В пределе, при точной параметриза­ции объекта задание конкретной модели будет состоять в перечис­лении и задании параметров, полностью определяющих модель.

Требование экономичности математических моделей связано с необходимостью ограничить или минимизировать затраты машинного времени и памяти ЭВМ при использовании моделей. В качестве косвенного показателя экономичности может служить сложность модели, в частности, количество используемых параметров, количество внут­ренних связей и т.д. Экономичность зависит также от выбора языка программирования, эффективности использования стандартного программного обеспечения, общего построения программы. При статистическом моделировании сокращение числа реализации модели дости­гается, например, путем выбора оцениваемых параметров случайных величин и вероятностей случайных событий.

Отметим в заключение, что указанные требования в целом противоречивы. Например, с целью повышения экономичности модели, как правило, необходимо ее упрощение, однако подобное упрощение влечет за собой как невозможность получения отдельных характери­стик, так и появлением дополнительных погрешностей. И наоборот, желание получить универсальную и точную модель неизбежно ведет к ее усложнению, а, следовательно, к росту объема вычислений и зани­маемой памяти ЭВМ. Построение моделей, в которых достигается при­емлемый баланс между всеми требованиями, производится обычно на основе эвристических принципов. Например, рекомендуется выбирать модель минимальной сложности при заданной точности, ли­бо максимальной точности при заданной сложности. Кроме того, рекомендуется соблюдать соразмерность погрешно­стей, вызываемых различными причинами.

Классификация математических моделей

В зависимости от уровня агрегирования математические модели подразделяются на модели систем и модели элементов, а в зависимо­сти от способа образования моделей систем – на полные модели, получаемые непосредственным объединением моделей элементов и макромодели, являющиеся аппроксимацией полной модели.

В зависимости от моделируемых свойств объекта различают функциональные модели, в которых отображаются процессы функционирования, и структурные, выражающие состав и связи между элемента­ми объекта. Структурные модели могут быть реализованы в виде мат­риц и графов. Анализируя способы получения функциональных моделей, можно выделить группы теоретических и формальных моделей. В основе теоретических лежат изученные физические закономерности, эти модели более универсальны и применимы в широких диапазонах изменения ус­ловий функционирования объекта. Формальные модели формируются при рассмотрении объекта как "черного ящика".

По признакам, связанным с особенностями уравнений математиче­ских моделей они подразделяются на линейные и нелинейные, а также непрерывные, в которых переменные непрерывны, и дискретные, переменные которых являются дискретными величинами. Кроме того, различия в форме связей между параметрами позволяют выделить модели в виде систем уравнений. Это будут алгоритмические модели. В виде же явных за­висимостей выходных параметров от внутренних и внешних представляются аналити­ческие модели.

Факт учета инерционности моделируемых процессов делает возможным разделить модели на динамические и статические.

В основе приведенной классификации лежит деление моделей на группы по признакам, практически не за­висящим от области применения модели и ее целевого назначения.

Ниже можно дать классификацию математических моделей с точки зрения их целевого назначения в САПР.

Математические модели для оценки проектных параметров

Осно­ву моделей этого типа составляют алгоритмы расчета технических характеристик ЛА, его подсистем (планер, силовая установка, си­стемы управления и т.п.), агрегатов (крыло, оперение, автопилот, РЛС и т.п.), узлов и элементов. Эти алгоритмы, в свою очередь, основаны на теоретических методах, которые излагаются в курсах аэродинамики, прочности, баллистики и других специальных инженерных дисциплинах. Заметим, что внедрение ЭВМ в процесс проектиро­вания начиналось именно с автоматизации проектных расчетов и яви­лось одной из предпосылок появления САПР.

Математические модели геометрии конструкции

Модели этой группы основаны на объединении пакетов прикладных программ ввода, обработки и вывода графической информации с алгоритмами синтеза геометрии элементов конструкции и конструктивно-компоновочных схем, использующими в качестве входов оценки, проектных парамет­ров и пространственно-кинематические требования к характеристикам конструкции. Появление развитого терминального оборудования ЭВМ и реализация моделей этого типа позволили перейти от автома­тизации проектных расчетов непосредственно к реализации САПР.

Математические модели функционирования

Потребность в моде­лях этого типа, о которых уже говорилось в предыдущем параграфе, появляется при переходе в рамках САПР от решения конструкторских задач и частных задач проектирования подсистем и агрегатов ЛА к системной оптимизации комплекса ЛА в целом (к так называемой за­даче "оптимизации облика"). Место моделей функционирования в си­стеме моделей, используемых в САПР, определяется необходимостью автоматизации процедур перехода от проектно-конструктивных харак­теристик ЛА к критериям оценки качества - комплекса ЛА в целом.

Реализованные в виде программ алгоритмы моделей пере­численных трех типов являются основными в составе программного обеспечения САПР. Наряду с этими моделями необходимыми составля­ющими системы является ряд обеспечивающих моделей, перечисленных ниже. Речь идет не о сервисных программах, обеспечивающих ком­фортные условия взаимодействия проектировщика и конструктора с ЭВМ, а о моделях, обеспечивающих взаимную увязку и концептуаль­ную завершенность системы моделей и всего программного обеспече­ния САПР.

Модели этой группы в настоящее время еще не реализованы в САПР в полном виде, так же как не завершена и разработка подхо­дов к построению такого рода моделей.

Математические модели оптимизации

Наряду с использованием хорошо разработанных за последние два десятилетия методов оптими­зации и процедур решения задач математического программирования, САПР предъявляет ряд специальных требований к моделям оптимизации, а именно:

• необходимость решения оптимизационных задач большой размер­ности при затратах машинного времени не более нескольких минут (для обеспечения непрерывного диалогового режима проектирования)

• алгоритмизация методов оптимизации иерархических систем (в связи с иерархической структурой системы основных математиче­ских моделей САПР)

• многокритериальная оптимизация проектных решений в автоматизированном диалоговом режиме

Математические модели технического риска

Проблема техниче­ского риска возникает в связи с тем, что при создании сложных объектов перспективной техники, к которым относятся ЛА, использу­ется большое количество принципиально новых технических решений, причем разработка различных подсистем и их элементов ведется па­раллельно, что делает чрезвычайно сложной проблему взаимной увяз­ки подсистем из-за высокой степени неопределенности достижимых в результате разработки технических параметров. Самый простой, ка­залось бы, путь разрешения этой проблемы – за счет предусматри­ваемых заранее резервов практически не приемлем, так как при этом эффективность ЛА с применением новых решений может быть даже ниже, чем для ЛА того же типа, но созданного на базе отработанных схем. Назначение моделей технического риска - оценка уровней риска для различных уровней полноты реализации, ожидаемых технических характеристик ЛА в зависимости от неопределенности ожидаемых ха­рактеристик элементов подсистем. Методы оценки риска в настоящее время интенсивно разрабатываются.

Математические модели критериев