В общем случае операция вычленения существенных элементов реального объекта при построении модели является далеко не три­виальной, причем по самой логике моделирования эта операция дол­жна предшествовать выбору переменных и математических соотноше­ний для этих переменных. (К примеру, далеко не во всех случа­ях можно рассматривать ЛА как материальную точку). Вычленение су­щественных элементов определяется той содержательной инженерной задачей, для решения которой строится модель.

После того, как выделены элементы и выбраны соответствующие переменные, при построении модели и работе с ней вплоть до завершающего этапа - интерпретации результатов - исследователь опери­рует только с переменными, как бы забывая о реальном объекте: он работает с концептуальным объектом (т.е. с моделью реального объекта).

Классификация переменных и взаимосвязи параметров модели

В зависимости от стоящей перед исследователем задачи какие – то из переменных являются исходными параметрами, какие-то из них требуется определить в результате моделирования. Кроме того, в ряде задач значения некоторых переменных могут быть не заданы непосредственно условиями поставленной задачи и, в то же время, не являться искомыми (по смыслу поставленной задачи), характеристиками: это либо возмущения (неопределенные факторы типа слу­чайных отклонении от заданных параметров, неопределенных пара­метров внешней среды, активного внешнего противодействия), либо параметры управления.

Таким образом, переменные модели содержательно интерпретируются как:

• исходные параметры

• параметры, характеризующие состояния объекта и/или его "выходы"

• возмущения

• управления

Если объектом моделирования является процесс или система с меняющимися во времени параметрами, то в рамках модели должны быть заданы начальные (исходные) состояния, либо определены про­цедуры ввода в модель начальных состояний в процессе работы с моделью (т.е. при моделировании). Множество допустимых начальных состояний, является существенной характеристикой модели. Состояния (в том числе и начальные состояния) должны быть соотнесены с переменными модели. В простейшем случае начальное состояние может определяться просто как совокупность значений исходных характеристик. С учетом этого положения, расширяя данное выше определение, под математической моделью реального объек­та будем понимать совокупность соотношений (например, формул, уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.д.), определяющих характеристики состояния объекта (а через них и вы­ходные параметры) в зависимости от внутренних параметров, внешних воздействий (возмущений и управлений), начальных условий и време­ни.

Переменные модели связаны между собой соотношениями, которые задается в виде уравнений, неравенств и т.д. Система этих соотно­шений должна обладать необходимой полнотой и непротиворечивостью (совместностью) в том смысле, что при известных исходных парамет­рах с помощью математической модели могут быть однозначно опреде­лены выходные параметры. При этом, естественно, должно выполнять­ся условие детерминированности, означающее неслучайный характер этих соотношений. Если же начальные условия и внешние воздействия также не случайны, то модель оказывается вполне детерминированной

На практике, часто приходится рассматривать случайные процес­сы функционирования различных систем. Характеристики состояний системы для таких процессов оказываются случайными функциями вре­мени в силу различных причин, например, случайности возмущений или начальных условий либо их совокупности. В подобной ситуации при помощи математической модели одно­значно определяются распределения вероятностей параметров состо­яния системы, если заданы распределения вероятностей случайных переменных.

Уровень агрегирования

При системном рассмотрении объект моделирования представля­ет собой совокупность элементов, находящихся во взаимодействии между собой и с внешней средой, причем в рамках структуры объек­та как системы выделяются различные иерархические уровни. Система – ЛА, например, может быть представлена в виде трех уровней: верхний уровень – ЛА в целом; средний уровень - такие подсистемы, как планер (или корпус), силовая установка, полезная нагрузка, система управления; нижний уровень - агрегаты подсистем.

В случае ЛА иерархическая структуризация может быть продолжена как вниз, так и вверх. Например, ближайший к ЛА высший уровень - функцио­нальная группа нескольких ЛА данного типа, уча­ствующих в типовой операции и взаимодействующих между собой. Переход к рассмотрению все более нижних уровней называется декомпозицией или структуризацией, а пере­ход к рассмотрению более высоких - агрегированием.

Иерархическое представление объектов проектирования обуслов­ливает и их математическое представление, т.е. на каждом иерархическом уровне используются свои математические модели, сложность которых определяется задачами и возможностями анализа.

Уровень агрегирования модели объекта определяется тем, с элементами какого уровня иерархии объекта непосредственно соотносятся переменные модели. Например, модель динамики ЛА, рассматриваемого как материальная точка, является более агрегированной, нежели модель, учитывающая влияние упругости корпуса на траекторию движения относительно центра масс.

Математическая модель сложной системы

Построение математической модели сложной системы в целом часто оказывается практически невозможным из-за сложности процес­са ее функционирования. В этих случаях, как упоминалось выше, приходится расчленять моделируемый объект на конечное число под­систем, сохраняя связи между подсистемами, обеспечивающих учет взаимодействия подсистем. Если получающиеся таким образом подси­стемы все ещё сложны, расчленяют каждую из них (с сохранением свя­зей) на конечное число более мелких подсистем. Процедуру расчле­нения подсистем продолжают до получения таких подсистем, которые в условиях рассматриваемой задачи будут признаны достаточно про­стыми и удобными для непосредственного математического описания. Эти подсистемы, не подлежащие дальнейшему расчленению, называют­ся элементами сложной системы.

Таким образом, в общем случае сложная система является многоуровневой конструкцией из взаимодействующих элементов, объединяемых в подсистемы различных уровней.

Как мы уже отмечалось, представление моделируемого объекта в виде многоуровневой конструкции из элементов называется структуризацией объекта. В структурированной системе объектами материального мира являются толь­ко элементы и связи между ними. Объединение элементов в подсисте­мы - операция формальная, чисто структурная; она не вносит каких-либо новых объектов материального мира в совокупность элементов системы и связей между ними и не исключает имеющихся.

Математическая модель сложной системы состоит из математических моделей элементов и математической модели взаимодействия между элементами.

Рассмотрим способы объединения моделей элемен­тов.

Наиболее общей формой модельного представления любого объекта является представление его в виде абстрактной системы по схеме «вход - выход». При этом система определяется как нечто, обладаю­щее входами и выходами: входы - это совокупность воздействий на систему извне; выходы - совокупность воздействия со стороны сис­темы вовне. Описание того, что происходит внутри этого «нечто», называется состоянием системы.

Чтобы задать (определить) систему необходимо:

• определить «входы»

• определить состояния

• детализировать «выходы»

• описать, как система меняет свое состояние – в терминах входов и текущего состояния

Чтобы определить операцию, или эксперимент на системе, необходимо задать:

• начальное состояние системы

• характер времени (дискретное, непрерывное) и рассматри­ваемые интервалы

• воздействующие на систему «входы»

• наблюдаемые «выходы»

Такого рода схемы «вход-выход» удобны для представления структуры модели: в качестве выходов при этом выступают те характеристики объекта, которые требуется определять при моделировании, а входами являются исходные параметры объекта, управления и воз­мущения.

Простейшим вариантом объединения систем является конъюнк­ция, когда системы функционируют независимо и имеют каждая свои входы и выходы (Рис.2)

Рис.2.

Другой способ - каскадное объединение, когда выход одной системы служит входом другой (рис. 3 ).

Рис.3.

Еще один способ - объединение с обратной связью. Здесь вы­ход системы является одним из ее же входов (рис. 4).

Рис.4.

Все другие возможные варианты являются комбинацией этих трех элементарных способов объединения.

Пусть имеется математическая модель, которая позволяет оце­нить максимальное количество Р пассажиров, ежедневно достав­ляемых на некоторое фиксированное расстояние, в зависимости от технико-эксплуатационных характеристик (ТЭХ) и затрат на программу производства пассажирских самолетов одного типа. В виде схемы входа-выхода эту модель можно изобразить в виде:

Здесь – вектор ТЭХ, = [С_с(t), С_п(t), С_э(t)] - ассигнования на реализацию программы создания и эксплуатации парка самолетов в функции времени t, представленные по таким видам затрат, как затраты на НИОКР (С_с), серийное производство (С_п) и эксплуатация (С_э).

Пусть далее модель, состоит из блоков: блок функционирования парка численностью n самолетов, блок оценки длительности НИОКР и блок серийного производства. Тогда эта блочная модель может изображаться следующим образом (рис. 5).

Рис.5. Схема модели программы пассажирских самолётов

Все сказанное о схемах «вход-выход» полностью относится и к этой схеме модели программы пассажирских самолетов. В частности, моделирование как операция на абстрактной системе задается сле­дующими элементами: определение начального состояния, определение масштаба и интервалов времени, определение входов и , и как результат – определение выхода P(t).

Поскольку мы обсуждаем математические модели, то каждый из трех изображенных блоков должен быть реализован в виде математи­ческих соотношений или алгоритмов пересчета входных характеристик в выходные. Значит, каждый j-ый блок модели воспроизводит оператор преобразования входных характеристик X_j в выходные Y_j:

, j = 1, 2,…, N

, k = k(j)

, q = q(j)