Где

Числа задаются автором решаемой задачи. Если коэффициенты принимают большие значения, то при минимизации функции Z увеличивается доля ограничений. Если малы, то в значительной степени ограничения игнорируются. В результате, поставленная задача сводится к задаче поиска безусловного минимума, для решения которой могут быть применены различные методы. Основной недостаток данного метода в том, что получить точное решение, применяя штрафную функцию, достаточно трудно.

Градиентный метод

Пусть имеется задача на условный экстремум вида:

Алгоритм решения задачи заключается в следующем.

Задаем начальную точку , вектор . Вычисляем матрицу А с элементами , Новое приближение получаем по формуле:

Если очередное приближение удовлетворяет какому – либо ограничению , то на k+1 – ом этапе итерационного процесса игнорируется ограничение с номером р.

Пусть – некоторое приближение к решению задачи.

Вычислим градиентную составляющую приращения:

С помощью мы переходим к новой точке с меньшим значением функции f(x). Распределим ограничения на две группы. В первую группу войдут те, для которых . Полностью игнорировать на к+1-ом этапе эти ограничения нельзя, так как если точка находилась вблизи границы, то приращение аргумента может привести к нарушению этого ограничения. Поэтому проводят следующий анализ:

• Если , то можно получить меньшее значение функции f(x), глубже погружаясь в допустимую область . Тогда ограничение с номером p на к+1-ом этапе итерационного процесса можно игнорировать.

• Если же , но , где – некоторое заданное число, то также можно не учитывать на этом этапе ограничения с номером p. В противном случае включаем ограничение с номером p в ограничения типа равенств.

Во вторую группу включаем те ограничения, которые нарушаются в точке , т.е. имеет место . Анализируем каждое из ограничений этой группы:

• Если , т.е. градиентная составляющая уменьшает дефект выполнения условия связи, то ограничение с номером q игнорируется

• Если , то на данном шаге мы глубже погружаемся в запретную область , поэтому включаем это ограничение в число ограничений типа равенства

Итак, на каждом шаге итерационного процесса необходимо проверить оценку ограничений по изложенным выше правилам и каждый раз составлять новый вектор . После этого нужно провести все вычисления, следуя стандартной процедуре метода проекций градиентов при ограничениях типа равенств.

Перечисленные методы применяются достаточно часто, но, разумеется, методы условной оптимизации гораздо более многочисленны. Однако следует заметить, что не существует метода позволяющего решать все типы задач с достаточной точностью и за приемлемое количество шагов. Например, при использовании модифицированного метода Хука – Дживса, невозможно двигаться вдоль границы области ограничений и сходимость достигается в первой же точке границы. При использовании метода штрафной функции проблему составляет выбор вида штрафной функции и коэффициентов. Кроме того, при возрастании размерности задач эффективность использования методов значительно уменьшается и положение усугубляется тем, что, как уже говорилось, целевые функции при исследовании задач рассматриваемого класса в большинстве своем многоэкстремальные, из-за чего требуются дополнительные вычисления или модификации для нахождения глобального экстремума.

Именно поэтому исследователи заняты поиском косвенных путей отыскания минимума или максимума многомерной целевой функции, используя специфические особенности целевой функции или, чаще всего, соображения, проистекающие из физической природы проектируемого объекта. Примером таких подходов является метод равнонапряженных конструкций, более подробно рассмотренный в следующих разделах на примере оптимизации ферменной конструкции.

Этап оценки

На этом этапе производится анализ вариантов проектных решений и выбор из них предпочтительного (лучшего в некотором смысле). Общая задача оценки – определить «ценность», «полезность» или «основательность» проектного решения с учетом выполнения поставленной цели. Ценность решения не является абсолютной величиной, она используется для оценки выполнения определенного требования, поэтому постановка цели является обязательной. При проектировании на основе САПР имеется возможность получать множество решений различных задач. Выделение некоторого подмножества решений задач относится к проблемам выбора и принятия решений. Многообразие технических задач не позволяет создать общеупотребительные правила для всеохватывающей оценки конструкции. В принципе, принятие решения при проектировании всегда производится в условиях неопределенности, когда приходится действовать в не полностью известной ситуации. Это следует хотя бы из того, что информация, которую используют при оценке (например, результаты расчетов) является, как правило, неточной и неполной. Неизбежной платой за попытку получить решение в условиях неполной и неточной информации об объекте проектирования и его поведении является возможность ошибочных решений. Поэтому лицо, принимающее решение, должно вырабатывать такую стратегию в отношении принятия решения, которая хотя и не исключает возможность принятия неправильного решения, но сводит к минимуму связанные с этим нежелательные последствия. Общую задачу принятия решений обычно сводят к решению последовательности задач выбора, который производится на основе имеющейся информации. Поэтому качество и способ представления информации для принятия решения имеет принципиальное значение.

При проектировании широко используются средства машинной графики для обработки результатов расчета и оптимизации с целью принятия решения о дальнейших шагах совершенствования конструкции или окончании разработки в анализируемом направлении.

В процессе проектирования создаются модели объектов, отличающиеся на разных стадиях различным уровнем детализации. Однако какой бы уровень детализации ни взять, наилучшим способом представления данных будет графический. Трудно найти такую область проектной деятельности, в которой разработчик не использовал бы графический интерфейс.

Изменение среды проектирования, переход от традиционных средств обработки графической информации к машинным открывает новые возможности по использованию графики в проектировании, порождает новые технологии. Прежде всего - это практически мгновенный доступ к модели объекта проектирования и выбор на каждой конкретной стадии наиболее удобного ее представления.

За последние годы методы работы инженеров изменились коренным образом благодаря развитию информатики и численных методов анализа. Численные методы сделали возможным решение самых сложных задач для самых сложных физических моделей. В них широкое распространение получили интерактивные программы графического представления информации, позволяющие более компактно описывать геометрические и физические свойства объектов по сравнению с классическими методами.

В настоящее время численные методы и интерактивная графическая техника составляют единое целое в программах систем автоматизированного проектирования.

Список литературы

1. Г. Шпур, Ф.-Л. Краузе, Автоматизированное проектирование в машиностроении. М., “Машиностроение”, 1988

2. Столярчук В.А. Основы автоматизации проектно-конструкторских работ, М., Издательство «МАИ», 2003.

3. Комаров В.А. О рациональных силовых конструкциях крыльев малого удлинения. – В кн. Проектирование оптимальных конструкций. – Куйбышев, КУАИ, 1968, вып. 32, с. 6-26.

4. Новые направления оптимизации в строительном проектировании. Под ред. Э. Атрена, Р.Г. Галлагера и др., М., Стройиздат, 1989.

5. Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций, М., "Наука", 1986

6. Т. Шуп, Решение инженерных задач на ЭВМ, М., Мир, 1982.

7. Комаров В. А., Соловов А. В., Черепашков А.А. Проектирование ферменных конструкций учебной в режиме диалога с ЭВМ, Куйбышев, КуАИ, 1985.

8. Соловов А.В., Черепашков А.А. Подсистема проектирования силовых схем плоских конструкций учебной САПР ПРОСК, Куйбышев, КуАИ, 1986.

9. Соловов А. В., Столярчук В. А. Автоматизированное проектирование силовых конструкций, МАИ, 1993.

10. А. В. Петров, В. М. Черненький, Разработка САПР. Проблемы и принципы создания САПР. книга1, М., "Высшая школа", 1990

11. Автоматизация проектирования авиационных конструкций, Межвузовский сборник, Куйбышев, 1979

12. В. Е. Климов, Разработка САПР. Графические системы САПР. книга7,Москва, "Высшая школа", 1990

13. Учебная САПР силовых конструкций ПРОСК // Цикл методических пособий. – Куйбышев: КуАИ, 1984-1987. – 250 с.

14. В.А. Столярчук, Автоматизация проектирования силовых конструкций, М., Издательство «МАИ», 2004.

47