Откуда, если учесть зависимость (6.26), получим:

Или, имея в виду обозначения (6.30),

При выводе формулы (6.35) не были сделаны какие-либо огра­ничения, касающиеся формы конечного элемента, поэтому полу­ченное выражение (6.35) для матрицы жесткости может быть использовано для любого по форме конечного элемента. Матрица является квадратной, ее порядок равен числу степеней сво­боды рассматриваемого конечного элемента.

На практике для получения матрицы жесткости линейно деформируемых упругих систем чаще применяют другой способ, который часто удобнее использовать, чем выражение (6.35). Он основывается на теореме Клайперона, согласно которой удвоенное значение потенциальной энергии равно сумме произведения внешних обобщённых сил на соответствующие им обобщённые перемещения. В результате получают вместо общего выражения (6.35) или (6.36) более простое по смыслу:

Где – матрица геометрии е – го конечного элемента,

– матрица жесткости е – го конечного элемента.

Обратите внимание, что суммирование интегралов по объемам отдельных конечных элементов выражает тот факт, что матрица жесткости всей системы получается суммированием матриц жесткости конечных элементов – принцип, аналогичный тому, что мы применяли при составлении матрицы жесткости прямым методом.

Для получения матрицы жесткости системы доста­точно располагать выражением для потенциальной энергии конеч­ного элемента.

Значения элементов матрицы зависят от геометрических и жесткостных параметров конечного элемента, а также от принятого закона изменения компонентов перемещения по объему элемента.

Как уже неоднократно подчёркивалось, выбор выражений, аппроксимирующих перемещения,— один из наиболее ответственных моментов в общей процедуре МКЭ. Всегда желательно, чтобы этот выбор приводил к удовлетворению уравнениям равновесия и уравнениям совместности деформаций внутри объема каждого из конечных элементов и по линиям (гра­ням) их стыковки.

Ограниченность числа степеней свободы для конечного эле­мента не позволяет удовлетворить всем этим условиям, а, следова­тельно, и получить точное решение задачи.

Подчеркнем, что формулой (6.37) можно пользоваться лишь при условии, когда принятые выраже­ния для компонентов перемещения удовлетворяют всем условиям сплошности, включая условия кинематической стыковки смежных конечных элементов. Получаемая при этом матрица жесткости называется совместной. К сожалению, часто об этом забывают, что приводит при использовании формулы (6.37) к получению так называемых несовместных матриц жесткости. Применение таких матриц жесткости в практических расчетах таит в себе большую опасность, поскольку, наряду с удовлетворительным результатом для одной задачи, возможно получение ошибочного решения для другой задачи.

Матрица жесткости полностью определяет жесткостные свойства рассматриваемого конечного элемента.

Список литературы

1. Л.Э. Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М., Наука, 1969.

26