Уравнение (6.23) записано в местной системе координат. В целях дальнейших упрощений целесообразно от местной системы осуществить переход к так называемой общей системе координат.

Это связано с понятием непрерывности функции u(x,y,z) и её производных до (m-1) –го порядка во всей области. Очевидно, что в узловых точках эти величины, принимаемые за основные неизвестные, также непрерывны и, следовательно, не зависят от «принадлежности» узловой точки тому или иному из примыкающих к ней конечных элементов.

Введем для S – ой узловой точки вектор неизвестных .

Совокупности этих векторов образуют вектор основных неизвестных в общей системе координат:

Где F – число узлов, N – число неизвестных по всей области.

Между векторами и существует некоторая связь:

Где – булева матрица размером M х N. Ее структура определяется геометрией элемента, классом краевой задачи и принятым порядком нумерации для элементов векторов и .

Если принять в векторе тот же порядок нумерации компонентов, что и в векторе , то умножив, (6.23) на матрицу , с учетом зависимости (6.24), получим:

Здесь

Есть общая матрица коэффициентов при основных неизвестных в общей системе координат для всей области.

Размер квадратной матрицы равенNN.

– вектор – столбец размером N. Его элементы характеризует внешнее воздействие на всю область .

Полученное матричное уравнение (6.25) и есть искомая система алгебраических уравнений для определения основных узловых неизвестных , а выражение (6.26) определяющее для реализации МКЭ вариационным методом.

Совместное решение системы алгебраических уравнений

Для физически линейных краевых задач система уравнений (6.25) линейна. Для ее решения обычно используется один из ниже перечисленных методов: Гаусса, Холецкого, Зейделя, сопряженных градиентов и, иногда, итерационные методы. Для нелинейных краевых задач система уравнений (6.25) нелинейна, поскольку матрица является функцией определяемых неизвестных параметров . При решении нелинейной системы алгебраических уравнений используются только итерационные методы.

Пусть вектор найден. Тогда с помощью зависимостей (6.24) и (6.8) можно найти функцию для всей области:

Где – матрица координатных функций .

Значения производных от функции , которые могут интересовать также при решении краевых задач, определяются либо дифференцированием полученного выражения, либо непосредственно через узловые значения искомых производных, если последние входят в состав вектора .

Характерные черты метода конечных элементов

Из вышеизложенного следует, что МКЭ — сеточно-вариационный метод: с одной стороны, возможна разбивка области на конечные элементы и, с другой стороны, — непосредственно вариационное решение задачи. Именно с этим связаны преимущества МКЭ как прямого метода математической физики. При вариационном методе используются более широкие теоремы существования, так как подынтегральные выражения в функционалах имеют порядок производных, равный половине порядка исходных диф­ференциальных уравнений, описывающих рассматриваемую крае­вую задачу. Это расширяет класс допустимых функций и, в ча­стности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций, составляющих основу МКЭ.

Одним словом, МКЭ обладает всеми достоинствами сеточных и вариационных методов решения задачи математической физики и лишен их недостатков.

Как уже говорилось, сеточные методы очень затруднительно использовать при сложной геометрии области . В этих случаях практически невозможно использовать и вариационные методы вследствие очевидных затруднений с построением координатных функций.

При использовании МКЭ указанные выше затруднения не встречаются. Это, пожалуй, единственный на сегодня метод, который проявляет такое безразличие к геометрии области, характеру краевых условий, законам изменения свойств среды и внешнего воздействия на область. Как правило, разрешающие системы алгебраических уравнений оказываются хорошо обусло­вленными, с редко заполненными матрицами, и, что очень важно, формирование таких матриц оказывается достаточно простым.

МКЭ можно трактовать как специфический метод Галёркина (см. главу 5.3 лекции 10). Новым следует считать лишь выбор координатных функций: в МКЭ они кусочно-полиномиальны. От этого выбора зависит успех решения. Каждая функция равна нулю на большей части области , отлична от нуля только в окрестности соответствующего узла и, следовательно, носит локальный характер. В этой окре­стности функция составлена из полиномов невысокой степени, что способствует упрощению вычислений в МКЭ. Кроме того, в классическом варианте метода Галёркина добавление новых коорди­натных функций не меняет координатные функции, использован­ные ранее. В МКЭ добавление новых координатных функций связано с иной разбивкой на элементы и узлы и может вызвать изменение всех координатных функций. Таким образом, в МКЭ при переходе от одного приближения к другому имеем дело не с последовательностью координатных функций, как в классическом методе Галёркина, а с последовательностью наборов координат­ных функций.

Указанные преимущества МКЭ вряд ли обеспечили бы ему ту популярность, которой он пользуется при решении различных задач механики сплошных сред. Дело в том, что для таких задач вся процедура МКЭ сводится к простой и удобной механической интерпретации, которая позволяет ясно понять существо каждого из составных этапов метода при решении краевых задач.

Как в случае прямого метода построения матрицы жесткости КЭ и всей системы мы учитывали и использовали специфику механики сплошных сред, так и при реализации вариационного подхода мы будем использовать эту специфику.

Вариационный подход в МКЭ для задач теории упругости и строительной механики

Напряженно – деформированное состояние i-го элемента однозначно определяется вектором узловых параметров (перемещений) и усилиями , связанными между собой уравнением .

Пусть имеется произвольный объемный элемент, для которого уже выбран вектор узловых неизвестных и для компонентов перемещения u, v, w построены соответству­ющие интерполирующие полиномы:

Или, для е – того элемента:

Где – прямоугольная матрица размером 3 xr, элементы которой зависят от положения рассматриваемой точки.

Используя далее зависимости Коши, связывающие деформации и перемещения, и закон Гука, можно получить выражения для компонентов деформации и напря­жения е-го элемента:

Здесь – матрица дифференциальных операторов, опре­деляемых содержанием зависимостей Коши; – матрица параметров, которыми характеризуются упругие свойства мате­риала тела в пределах объема рассматриваемого конечного эле­мента. Матрица упругости, которая связывает напряжения с деформациями, подробно изучается в учебниках по основам теории упругости. В структуре, состоящей из разных материалов, для каждого элемента можно задать свою собственную матрицу упругости. Кроме того, матрица упругости позволяет учесть изотропию или анизотропию свойств материала.

Если далее воспользоваться выражением (6.27), то последние зависимости можно переписать в виде:

Где

Если принятые выражения для компонентов перемещения (6.26) удовлетворяют всем условиям сплошности, включая условия кинематической стыковки смежных конечных элементов, то для построения матрицы жесткости можно воспользоваться вариационным прин­ципом – принципом возможных перемещений в следующем виде:

Где

– есть приращение потенциальной энергии деформации тела; второй член в левой части равенства (6.31) определяет работу внешних объем­ных сил на возможных перемещениях; третий член характеризует работу на тех же перемещениях внешних сил, приложенных на части поверхности (предполагается, что на оставшейся части поверхности заданы кинематические граничные условия: . Здесь же - компоненты перемещений, деформаций и напряжений соответственно; и - компоненты объемных и поверхностных сил соответственно.

Следует заметить, что выполнение условий кинематической стыковки смежных элементов в совокупности с условиями сплош­ности по объему каждого из конечных элементов равносильно обеспечению непрерывности по всему объему тела самой функции (в нашем случае — перемещений).

Если далее предположить, что все объемные и поверхностные силы, действующие на тело, заменены эквивалентными узловыми нагрузками, то каждый конечный элемент оказывается загру­женным лишь узловыми силами .

Пусть перемещения (6.27) е-го конечного элемента удовле­творяют требованиям кинематической стыковки смежных конеч­ных элементов. Тогда, согласно формуле (6.30), для е-го элемента, находящегося в равновесном состоянии, сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможном перемещении си­стемы равна нулю:

Или, в матричной форме,

Воспользовавшись далее выражениями (6.29) и (6.30), непосред­ственно из (6.33) получим: