Величина характеризует жесткость конкретного растягиваемого стержня, и так и называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии.

Итак, из закона Гука следует, что чем больше действующая на стержень сила, тем больше удлинение, чем больше удлинение (перемещение его концов), тем больше действующая на стержень сила. Связь между этими величинами задается коэффициентом пропорциональности , называемым жесткостью стержня, полностью обусловленным геометрическими размерами стержня и характеристиками материала, из которого он изготовлен.

Для дальнейшего изложения запись является определяющей.

При использовании МКЭ для решения задач о напряженно-деформированном состоянии тел последние представляют в виде совокупности конечных элементов, связанных между собою в узло­вых точках. Если применяется вариант МКЭ — метод перемеще­ний, то за основные неизвестные принимаются компоненты пере­мещений узловых точек. При этом напряженно-деформированное состояние i-го элемента однозначно определяется через вектор узловых параметров (перемещений):

Связь между конечными элементами вызывает в узловых точках реактивные усилия взаимодействия, и каждый из конечных эле­ментов оказывается загруженным этими усилиями .

Вектор усилий также однозначно определяет напря­женно-деформированное состояние элемента. При этом возникает вопрос и о части внешних нагрузок, действующих непосредственно на элемент. Забегая вперед, укажем, что ее заменяют некоторыми приложенными в узлах сосредоточенными силами, эквивалент­ными по своему действию действительной нагрузке. Эти сосредо­точенные узловые силы учитывают при составлении уравнений равновесия в узлах.

Матрица жесткости

Между векторами и существует связь, обусловленная вышепреведенным законом Гука.

Где матрица, осреднённо характеризующая жесткостные свойства среды в объёме е – го конечного элемента, опре­деляющая упругие свойства элемента. Ее элементы в совокупности характеризуют жесткость конечного элемента.

Для построения – матрицы жесткости е-го элемента — можно применять разные способы, о которых будет говориться дальше.

Располагая матрицей матрицей жесткости конечного элемента и вектором (е = 1, 2, 3, …, М) и переходя к общей системе координат можно построить матрицу (матрицу жесткости всей системы) и вектор , которыми соответственно определяются жесткостные свойства среды для всей области и внешнее воздействие на нее.

После этого выписываются разрешающее уравнение МКЭ:

Для нахождения узловых неизвестных в общей системе координат .

Таким образом, построение матриц и является необходимым и важным элементом составления разрешающей системы уравнений МКЭ.

Для построения матриц жесткости конечных элементов и получение матрицы разрешающей системы уравнений используется один из трех основных способов: прямой метод, вариационный подход, метод Бубнова – Галеркина.

Мы рассмотрим только первые два.

Построение матрицы жесткости КЭ и всей системы прямым методом

Прямой метод применим лишь для конечных элементов простой геометрии при малом числе степеней свободы. Он заключается в непосредственном использовании основных уравнений и зависимостей теории упругости для построения матрицы жесткости и вектора узловых усилий конечного элемента.

Построение матрицы жесткости КЭ

Р
ассмотрим два примера: плоские раму и балку, нагруженные системой сил.

В предположении, что внешняя нагрузка на раму и балку приведена к узлам, разобьем раму и балку на отдельные базовые элементы, жестко защемленные на концах.

В качестве базового элемента выберем и для рамы и для балки один и тот же тип конечного элемента – так называемый балочный элемент, работающий на растяжение (сжатие) и изгиб в своей плоскости. Напомним, что стержневой элемент работает только на растяжение и сжатие.

В строительной механике элементы матрицы жесткости имеют ясный физический смысл. Например, под элементом матрицы жесткости принимается реакция (усилие) стержня, возникающая в узле iпри единичном перемещении узлаj в одном из направлений координатных осей. Так, например для элемента, изображенного на правом рисунке, при перемещении узлаj в направлении, противоположном направлению оси y на единицу, в узлеiвозникает реакция в направлении оси Y.

Сформировав матрицы жесткости отдельных элементов и состыковав их, получим матрицу жесткости всей системы К. Искомый вектор перемещений будет найден из решения уравнения P=KU.

Таким образом, формирование матриц жесткости конечных элементов, которыми представлена конструкция, предшествует формированию матрицы жесткости всей конструкции.

Для построения матрицы жесткости отдельного элемента можно воспользоваться соответствующим подбором интерполирующих функций.

Однако для простейших элементов, таких как стержни, балки можно, используя инженерную теорию, получить приближенное решение, которое будет точным в рамках определенных гипотез.

Получим матрицу жесткости балочного конечного элемента. Для этого рассмотрим балку постоянной жесткости, защемлённую по краям и загруженную поперечными и продольными силами и изгибающим моментом. Если мысленно разрезать балку, то в каждом сечении балки имеем три неизвестных фактора: x₁ – усилие в направлении оси х,x₂– в направлении оси у и x₃– изгибающий момент.

Так как наша цель заключается в формировании элементов матрицы жесткости , которые, как уже говорилось, есть реакция (усилие) элемента, возникающая в узле i при единичном перемещении узлаj в одном из направлений координатных осей, то необходимо записать зависимости между усилиями и перемещениями для каждого из трёх неизвестных х₁,х₂и х₃. Для записи этих зависимостей используем известные приближённые соотношения сопротивления материалов и строительной механики.

В качестве примера приведём вывод соотношений, необходимых для формирования элементов матрицы жесткости, связанных с усилиями х₁.

Усилия х₁вызывают растяжение (сжатие) элемента балки. Для описания этого вида деформации используют закон Гука:

Где Р – растягивающая (сжимающая) сила, – длина элемента балки, – площадь его поперечного сечения, – модель упругости материала, из которого изготовлен элемент балки, – абсолютное удлинение. Записав это выражение в другой форме, получим формулу, удобную для получения коэффициентов матрицы жесткости:

Принимая , получаем, что для растяжения (сжатия) элемента балки на единицу необходима сила , что и характеризует жесткость элемента в выбранном направлении при заданных .

Усилие х₂ и изгибающий момент х₃ характеризуют более сложный вид деформации – изгиб элемента балки. Не приводя окончательный вывод при рассмотрении усилия х₂, обращаем внимание на то, что под действием поперечной нагрузки Р (т.е. в том направлении, в котором действует х₂) балка в сечении с координатой х имеет прогиб, равный .

Функция удовлетворяет приближенному дифференциальному уравнению изогнутой оси балки:

Где – момент инерции поперечного сечения балки, и , как и ранее, модуль упругости материала и длина балки, а – функция изгибающего момента, определяемая соотношением .

Из решения этого дифференциального уравнения можно определить функции, дающие возможность получить соответствующие коэффициенты матрицы жесткости.

Следует только обратить внимание на то, что при изгибе возникает не только перемещение , но и поворот на угол поперечного сечения балки.

Поэтому при перемещении узла элемента балки в направлении оси Y на единицу возникнет не только силовая реакция, , но момент , что и характеризует жесткость элемента в выбранном направлении при заданных .

Аналогичный подход и рассуждения применимы и для момента х₃ , а именно, что при повороте узла на угол, равный единице возникает не только силовая реакция вдоль оси у, равная (на единицу угла поворота), но и моментные реакции: – в том узле, в котором производится единичный поворот, и в другом узле (также на единицу поворота).

Итак, построим матрицу жесткости для балочного конечного элемента.

Разрешающее уравнение представим в виде:

Формирование матрицы жесткости проводим по столбцам.

1. Столбец матрицы жесткости – есть система усилий, возникающих в узлах элемента при единичном перемещении узла i в направлении x (в направлении 1)

1. Столбец матрицы жесткости – есть система усилий, возникающих в узлах элемента при единичном перемещении узла j в направлении оси х (в направлении 2)

1. Столбец матрицы жесткости – есть система усилий, возникающих в концах балки при единичном перемещении узла i по направлению оси y (в направлении 3)

1. Столбец матрицы жесткости – есть система усилий, возникающих в концах балки при единичном перемещении узла j по направлению оси y (в направлении 4)

1. Столбец матрицы жесткости – есть система усилий, возникающих в концах элемента при единичном повороте узла i по направлению оси (в направлении 5)

1. Столбец матрицы жесткости – есть система усилий, возникающих в концах элемента при единичном повороте узла j по направлению оси (в направлении 6)