Столярчук В.А. “CAD/CAE - системы”. Материалы к лекциям. Лекции № 17-18

Лекция № 17-18

8. Реализация вариационного подхода в МКЭ в прикладных областях на примере задач теории упругости и строительной механики

Оглавление

8.1. Вариационный подход в МКЭ для задач теории упругости и строительной механики 1

8.2.1.Плоская задача теории упругости 10

8.2.2. Построение матрицы жесткости системы (пластины) 15

8.3. Сходимость и точность метода конечных элементов 19

8.4. Сравнение МКЭ и МКР 24

8.1. Вариационный подход в МКЭ для задач теории упругости и строительной механики

Напряженно – деформированное состояние i-го элемента однозначно определяется вектором узловых параметров (перемещений) и усилиями , связанными между собой уравнением .

Пусть имеется произвольный объемный элемент, для которого уже выбран вектор узловых неизвестных и для компонентов перемещения u, v, w построены соответству­ющие интерполирующие полиномы:

Или, для е – того элемента:

Где – прямоугольная матрица размером 3 xr, элементы которой зависят от положения рассматриваемой точки.

Используя далее зависимости Коши, связывающие деформации и перемещения, и закон Гука, можно получить выражения для компонентов деформации и напря­жения е-го элемента:

Здесь – матрица дифференциальных операторов, опре­деляемых содержанием зависимостей Коши; – матрица параметров, которыми характеризуются упругие свойства мате­риала тела в пределах объема рассматриваемого конечного эле­мента. Матрица упругости, которая связывает напряжения с деформациями, подробно изучается в учебниках по основам теории упругости. В структуре, состоящей из разных материалов, для каждого элемента можно задать свою собственную матрицу упругости. Кроме того, матрица упругости позволяет учесть изотропию или анизотропию свойств материала.

Если далее воспользоваться выражением (6.27), то последние зависимости можно переписать в виде:

Где

Если принятые выражения для компонентов перемещения (6.26) удовлетворяют всем условиям сплошности, включая условия кинематической стыковки смежных конечных элементов, то для построения матрицы жесткости можно воспользоваться вариационным прин­ципом – принципом возможных перемещений в следующем виде:

Где

– есть приращение потенциальной энергии деформации тела; второй член в левой части равенства (6.31) определяет работу внешних объем­ных сил на возможных перемещениях; третий член характеризует работу на тех же перемещениях внешних сил, приложенных на части поверхности (предполагается, что на оставшейся части поверхности заданы кинематические граничные условия: . Здесь же - компоненты перемещений, деформаций и напряжений соответственно; и - компоненты объемных и поверхностных сил соответственно.

Следует заметить, что выполнение условий кинематической стыковки смежных элементов в совокупности с условиями сплош­ности по объему каждого из конечных элементов равносильно обеспечению непрерывности по всему объему тела самой функции (в нашем случае — перемещений).

Если далее предположить, что все объемные и поверхностные силы, действующие на тело, заменены эквивалентными узловыми нагрузками, то каждый конечный элемент оказывается загру­женным лишь узловыми силами .

Пусть перемещения (6.27) е-го конечного элемента удовле­творяют требованиям кинематической стыковки смежных конеч­ных элементов. Тогда, согласно формуле (6.30), для е-го элемента, находящегося в равновесном состоянии, сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможном перемещении си­стемы равна нулю:

Или, в матричной форме,

Воспользовавшись далее выражениями (6.29) и (6.30), непосред­ственно из (6.33) получим:

Откуда, если учесть зависимость (6.26), получим:

Или, имея в виду обозначения (6.30),

При выводе формулы (6.35) не были сделаны какие-либо огра­ничения, касающиеся формы конечного элемента, поэтому полу­ченное выражение (6.35) для матрицы жесткости может быть использовано для любого по форме конечного элемента. Матрица является квадратной, ее порядок равен числу степеней сво­боды рассматриваемого конечного элемента.

На практике для получения матрицы жесткости линейно деформируемых упругих систем чаще применяют другой способ, который часто удобнее использовать, чем выражение (6.35). Он основывается на теореме Клайперона, согласно которой удвоенное значение потенциальной энергии равно сумме произведения внешних обобщённых сил на соответствующие им обобщённые перемещения. В результате получают вместо общего выражения (6.35) или (6.36) более простое по смыслу:

Где – матрица геометрии е – го конечного элемента,

– матрица жесткости е – го конечного элемента.

Обратите внимание, что суммирование интегралов по объемам отдельных конечных элементов выражает тот факт, что матрица жесткости всей системы получается суммированием матриц жесткости конечных элементов – принцип, аналогичный тому, что мы применяли при составлении матрицы жесткости прямым методом.

Для получения матрицы жесткости системы доста­точно располагать выражением для потенциальной энергии конеч­ного элемента.

Значения элементов матрицы зависят от геометрических и жесткостных параметров конечного элемента, а также от принятого закона изменения компонентов перемещения по объему элемента.

Как уже неоднократно подчёркивалось, выбор выражений, аппроксимирующих перемещения,— один из наиболее ответственных моментов в общей процедуре МКЭ. Всегда желательно, чтобы этот выбор приводил к удовлетворению уравнениям равновесия и уравнениям совместности деформаций внутри объема каждого из конечных элементов и по линиям (гра­ням) их стыковки.

Ограниченность числа степеней свободы для конечного эле­мента не позволяет удовлетворить всем этим условиям, а, следова­тельно, и получить точное решение задачи.

Подчеркнем, что формулой (6.37) можно пользоваться лишь при условии, когда принятые выраже­ния для компонентов перемещения удовлетворяют всем условиям сплошности, включая условия кинематической стыковки смежных конечных элементов. Получаемая при этом матрица жесткости называется совместной. К сожалению, часто об этом забывают, что приводит при использовании формулы (6.37) к получению так называемых несовместных матриц жесткости. Применение таких матриц жесткости в практических расчетах таит в себе большую опасность, поскольку, наряду с удовлетворительным результатом для одной задачи, возможно получение ошибочного решения для другой задачи.

Матрица жесткости полностью определяет жесткостные свойства рассматриваемого конечного элемента.

Очевидно, что применение МКЭ в любой прикладной науке накладывает определенную специфику на реализацию МКЭ. Эта специфика зачастую облегчает не только большее понимание математических операций, происходящих при реализации МКЭ, но и упрощает организацию и выполнение программ.

Напомним, что в соответствии с положениями МКЭ интерполирующий полином представляется в виде:

Где: – вектор – столбец, состоящий из rузловых неизвестных е – го конечного элемента

– вектор – строка, элементами которой являются известные функции координат точек

Затем для e -го конечного элемента составляют выражение соответствующее рассматриваемой краевой задаче функционала и тогда функционал , в свою очередь представляют в виде , т.е. в виде функции, зависящей от q.

Затем для получения основной системы разрешающих уравнений минимизируютЭ(q) по всем элементам вектора всей области. Получают:

Где – квадратная матрица размером rr . Коэффициенты этой матрицы определяются свойствами среды

Вектор – имеет размер r и характеризует внешнее воздействие на e -ый элемент.

Далее, как уже говорилось, располагая матрицей , матрицей жесткости конечного элемента и вектором (e=1,2,3,...,M) и переходя к общей системе координат строят матрицу (матрицу жесткости всей системы) и вектор , которыми, соответственно, определяются свойства среды для всей области и внешнее воздействие на нее.

После этого записывают разрешающее уравнение МКЭ:

Решая которое, находят узловые неизвестные .

В задачах теории упругости и строительной механики напряженно-деформированное состояние i-го элемента однозначно определяется вектором узловых параметров (перемещений) и усилиями , связанными между собой уравнением . Это уравнение имеет абсолютно прозрачный физический смысл: усилия равны жесткости, умноженной на перемещение, смысл, понятный уже в законе Гука (вспомните задачу о пружине, изучаемую в 9-ом классе).

Итак, пусть имеется произвольный объемный элемент (физическое тело), для которого уже выбран вектор узловых неизвестных и для компонентов перемещения u, v, w построены соответству­ющие интерполирующие полиномы: