Столярчук В.А. “Системы моделирования”. Материалы к лекциям. Лекция № 10

Лекция № 10

4. Математические модели в виде дифференциальных уравнений в частных производных

Содержание

Обзор методов решения задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных 2

Граничные методы 3

Внутренние методы 4

Метод подобластей 6

Метод коллокаций 6

Метод наименьших квадратов 6

Методы Галеркина 7

Обзор методов решения задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных классифицируют либо в зависимости от их математической природы - эллиптические, параболические и т.п. - либо в зависимости от физического смысла решаемых с их помощью задач - уравнение диффузии, волновое уравнение и т.п. Приведем классификацию наиболее часто встречающихся простейших уравнений в частных производных и области их использования.

Уравнения	Математическая форма	Примеры задач, в которых встречается уравнение
Лапласа	 f = 0	Установившееся течение жидкости. Стационарные тепловые поля.
Пуассона	 f = - k	Теплопередача с внутренними источниками тепла.
Диффузии		Нестационарная теплопроводность.
Волновое		Распространение звуковых волн.
Бигармоническое		Деформация пластин.
Здесь:

В настоящее время можно выделить три основных подхода к решению задач математической физики. Прежде всего, это широкий спектр математических методов, известных под названием взвешенных невязок (рисунок ниже).

К другому классу относят различные сеточные или конечно-разностные методы, получившие широкое распространение вследствие простоты и наглядности формулировки и, наконец, интенсивно развивающиеся в последнее время вероятностные методы.

Широкому распространению некоторых модификаций этих методов способствовало, прежде всего, появление ЭВМ, а также достаточно степень алгоритмизации, разрешаемая структурой этих методов.

Методы взвешенных невязок описываются следующим образом.

Пусть дифференциальное уравнение (система уравнений)

L(U)=0 (5.3.1)

должно быть разрешено при начальных условиях I(U) = 0 и граничных условиях S(U) = 0 . Рассматривается приближенное решение U_a такое, что

L(U_a)=R; I(U_a)=R_i ; S(U_a)=R_B (5.3.2)

При построении приближенного решения идут по одному из следующих путей:

1. Дифференциальное уравнение удовлетворяется точно, т.е. R=0. В этом случае используют так называемый граничный метод.

2. Граничные условия выполняются точно, т.е. R_B =0. Такой метод называют внутренним методом.

3. Ни дифференциальное уравнение, ни граничные условия не удовлетворяются точно. Это соответствует смешанному методу.

Граничные методы

Наилучшим примером граничных методов является панельный метод.

Рассмотрим задачу об обтекании крыла конечного размаха потоком несжимаемой жидкости. Потенциал U возмущенных скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа. U = 0 с граничными условиями:

Краевая задача может быть сведена к определению интенсивностей источников  и диполей  на поверхности тела S и вихревой пелены W.

Потенциал в произвольной точке пространства выражается через интенсивности источников и диполей следующим образом.

В принципе, существует бесконечное число комбинаций источников и диполей, при помощи которых можно удовлетворять граничным условиям.

Для единственности решения нужно, либо задать вид распределения одной из особенностей (например,  =0), либо установить связь между ними, либо, наконец, задать граничные условия и на внешней, и на внутренней поверхностях.

При численном решении получаемого в результате выполнения граничных условий интегрального уравнения поверхность тела разбивается на панели с той или иной степенью аппроксимации поверхности. На отдельных панелях задается вид распределения особенностей. Простейшее распределение - кусочно-постоянное.

Граничное условие не протекания поверхности тела выполняется в контрольных точках в центрах панелей, это приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных интенсивных особенностей. Коэффициенты системы образуют матрицу аэродинамических коэффициентов влияния.

Данная система решается стандартными методами, чаще всего используются итерационные процедуры, в которых только небольшая часть коэффициентов матрицы хранится в оперативной памяти ЭВМ.

После того, как найдены интенсивности особенностей, в контрольных точках вычисляют вектор скорости и коэффициент влияния. Силы и моменты, действующие на тело, определяют численным интегрированием. Для учета сжимаемости обычно используют правило Прандтля-Глауэрта.

Указанные элементы общие для всех панельных методов.

Внутренние методы

При использовании внутреннего метода приближенное решение Ua может быть представлено в виде.

Где – известные математические функции (называемые пробными функциями).

Определению подлежат коэффициенты a_j. Функция Uo(x,t) подбирается так, чтобы начальные и граничные условия выполнялись по возможности точно. Форма представления (5.3.3) приводит (5.3.11) к обыкновенному дифференциальному уравнению с аргументом t.

Если положить  _j = _j(t), а a_{j =} a_j (x), то получается уравнение в частных производных, где аргументами служат компоненты x.

Если _j = _j(x,t), и рассматриваемая задача стационарна, то a_j становятся постоянными и уравнение (1) приводится к системе алгебраических уравнений. Чтобы получить уравнения для определения функций a_j внутреннее произведение взвешенных невязок полагается равным нулю:

(R,W_K(x)) = 0 К=1,....,N (5.3.4)

И именно это соотношение дало название методу в целом. Функцию W_R называют весовой или поверочной функцией. В процессе определения неизвестных коэффициентов a_j требуется иметь соответствующее число независимых соотношений, откуда ясно, что функции W_R(x) должны быть независимыми, если только они представляются в очевидной аналитический форме. Если эти W_R входят в полную систему функций, то при N   уравнение (5.3.4) свидетельствует о том, что невязка уравнения R должна быть ортогональна каждому элементу этой полной системы функций.

Однако такое утверждение подразумевает, что величина R сходится к нулю в среднем (в пределе N  ). Если такая сходимость к нулю в среднем имеет место и если представление (5.3.3) обеспечивает точное выполнение граничных условий, то можно ожидать сходимости приближенного решения Ua к точному решению уравнений (5.3.1) в среднем, т.е. выполнения условия:

Такую сходимость можно сравнить с равномерной сходимостью, определяемой условием:

Где .

Форма уравнения (5.3.4) аналогична слабой форме уравнения (1), а именно:

(L(U),W) = 0 (5.3.5)

где W - поверочная функция общего вида.

Согласно (5.3.5), используемое в (5.3.4) внутреннее произведение является непрерывным в интересующей нас области. Однако внутреннее произведение с тем же успехом могло быть определено и дискретным образом, т.е. в форме:

Исследование этого определения приводит к дискретному методу взвешенных невязок, и практическое использование численных квадратур для решения уравнений (5.3.4) представляет собой, строго говоря, дискретный метод взвешенных невязок.

Уравнение (5.3.4) обладает общим свойством, что с его помощью можно объединить многие, внешне не связанные собой методы. При этом различие между отдельными методами обусловливается выбором различных весовых функций.

Метод подобластей

Рассматриваемая область разделена на n подобластей, могущих перекрывать друг друга. Тогда:

W_R = 1 внутри области D_K (5.3.6)

0 вне области D_K

Фактически этот метод совпадает с методом конечных объемов, весьма популярном в механике жидкости и газа, а также в теории теплопереноса.

Например, когда рассматривается сохранение массы внутри некоторого конечного объема сжимаемой жидкости, суммарный поток массы, переносимой через поверхность, приравнивается скорости уменьшения массы этого объема. Примерами разновидности метода подобластей с поверочными функциями, попадающими под определение (5.3.6), могут служить методы, предназначенные для расчета ламинарных пограничных слоев, а также для решения уравнения Навье – Стокса применительно к несжимаемой жидкости.

Метод коллокаций

Если весовая функция задается в виде

W_R(x) =  (x-x_K) (5.3.7)

где  - дельта функция Дирака, то решение уравнения (4) сводится к тому, чтобы положить R(x_K)=0. Данным свойством обладает также большинство конечно-разностных методов.

В методе коллокаций в экстремальной точке, при которой невязки вычисляются в нулях полиномов Чебышева, требуется выполнение условия:

R(x_i ²)- (-1)² R (x_o ²)= 0 (5.3.8)

При этом подходе существенно использование свойства минимизации максимальной погрешности. Существует метод, названный методом ортогональной коллокации, полагая невязку уравнения равной нулю в нулях полиномов Якоби и применяя полиномы Якоби в качестве пробных функций.

Метод низкого порядка коллокаций применим к исследованию ряда течений в пограничных слоях. Предлагаемая форма пробного решения подбирается так, чтобы она соответствовала точному решению поставленной задачи.

Метод наименьших квадратов

В этом случае весовая функция может быть выражена в форме:

a_K - неизвестные коэффициенты, входящие в (3). Следовательно, принятие W_K в соответствии с (9) эквивалентно выбору коэффициентов a_K , исходя из условия, что внутреннее произведение (R, R) имеет минимум. Данный метод естественно подходит к решению стационарных задач, где можно ожидать, что минимизация квадрата невязки решаемого уравнения приводит к минимизации значения . Для нестационарных задач общего вида применение метода МНК не имеет строгого обоснования. Желая сделать метод корректным, необходимо включить два вида пробных функций: для описания поведения во времени и для описания поведения в пространстве. При таком подходе коэффициенты a_j в выражении (3) являются постоянными и внутреннее произведение (5.3.4) содержит интегрирование по временной области определения решения.

МНК старейший из методов внутренних невязок. Используется для изучения структуры ударной волны на основе уравнения Больцмана. Кроме того, с помощью этого метода решались задачи о сжимаемом невязком течении, а также о течении вязкой несжимаемой жидкости.

Методы Галеркина

Здесь весовая функция выбирается в классе пробных функций:

W_K(x) =  _K (x) К=1, N (5.3.11)

В традиционном методе Галеркина применяются следующие принципы.

1. Поверочные функции W_K выбирают принадлежащими к тому же семейству, что и пробные функции.

2. Пробные и проверочные функции должны быть линейно независимыми.

3. Пробные и проверочные функции должны представлять собой первых членов некоторой полной системы функций (это является необходимым условием сходимости при N  ).

4. Пробные функции должны в точности удовлетворять граничным и начальным условиям.

В период первоначального применения метод Галеркина был методом ручного счета. Эффективность метода могла определяться точностью решения, приходящейся на единицу затраты ручных усилий. Поэтому ставилась цель сократить число коэффициентов a_j при сохранении приемлемой степени точности.