12-13 (Термодинамика Дзюбенко Б.В)

ГЛАВА 12. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОЛИТРОПНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ИДЕАЛЬНЫМИ ГАЗАМИ

12.1. Вывод уравнения политропного процесса в р-v координатах

Политропные процессы – это равновесные, обратимые процессы, которые протекают при постоянной теплоемкости c=const. Многие реальные процессы могут быть приближенно описаны уравнениями для политропных процессов.

Каждый политропный термодинамический процесс (ТП) имеет вполне определенный, присущий ему характер распределения энергетических составляющих, входящих в уравнение первого закона термодинамики: , Дж/кг. Это распределение энергетических составляющих будем интерпретировать графически. Например, для процесса V=const имеем:

Штриховка на рисунке означает изменение данной энергетической составляющей, а стрелка – направление ее изменения.

Политропный процесс – это процесс изменения состояния рабочего тела, в котором во внутреннюю энергию в течение всего процесса превращается одна и та же доля количества внешней теплоты:

, Дж/кг, где .

При этом на совершение внешней механической работы приходится доля теплоты, равная:

, Дж/кг,

где - коэффициент распределения теплоты в политропном процессе.

Теплота, сообщенная газу в бесконечно малом политропном процессе, равна:

, Дж/кг

или для конечного процесса 1-2: .

Таким образом, получим теплоемкость политропного процесса: , Дж/кгК.

Зная значение коэффициента в политропном процессе, можно определить теплоемкость c, теплоту q, изменение внутренней энергии и работу расширения (сжатия) l.

Для вывода уравнения политропного процесса в p-v координатах используем уравнения первого закона термодинамики, выраженные через энтальпию и внутреннюю энергию:

, (1)

, (2)

или

, (3)

. (4)

Отсюда имеем:

, (5)

. (6)

Разделив почленно уравнение (5) на уравнение (6), имеем:

, (7)

где - показатель политропного процесса, который не изменяется в течение всего данного ТП. Из уравнения (7) имеем:

.

Тогда после интегрирования для конечного участка процесса 1-2 получим:

, или после потенцирования:

, или . (8)

Это уравнение политропного процесса в координатах p-v. Показатель политропного процесса может иметь любое значение в интервале .

Из выражения (7)можно получить формулу для расчета теплоемкости политропного процесса

, или . Отсюда имеем , или , где к=с_p/с_V – показатель адиабатного процесса. Окончательно имеем:

. (9)

Таким образом, теплоемкость политропного процесса зависит от показателя политропы . Используя термическое уравнение состояния для идеального газа и уравнение (8), можно получить соотношения между параметрами для конечного процесса 1-2:

. (10)

Учитывая, что , имеем:

. (11)

12.2. Расчет теплоты, работы, изменений внутренней энергии, энтальпии и энтропии. Уравнение политропных процессов в T-s координатах

Коэффициент распределения теплоты равен: . Поскольку , то коэффициент

. (12)

Тогда изменение внутренней энергии в ТП 1-2 и теплота процесса могут быть рассчитаны по формулам:

, (13)

, (14)

а изменение энтальпии по формуле:

. (15)

Работа расширения в политропном процессе 1-2 равна:

.

После интегрирования, учитывая, что , имеем различные выражения для расчета работы расширения:

, (16)

или

, (17)

или

. (18)

Расчет располагаемой работы l₀ проводятся, используя следующее выражение:

, (19)

Зная l₀ по (19) и l по (16) можно определить показатель политропы . Это один из способов опытного определения величины . С другими способами студенты будут ознакомлены при выполнении лабораторных работ.

Для расчета изменения удельной энтропии в политропном процессе используем объединенное выражение 1-го и 2-го законов термодинамики для обратимых процессов:

. (20)

или .

После интегрирования для конечного процесса 1-2 имеем:

. (21)

Если учесть, что и , то получим:

. (22)

Выразим и подставим в (22).

Тогда . (23)

Уравнение политропного процесса в координатах T-s будет иметь вид:

- для бесконечно малого ТП. После интегрирования получим:

. (24)

Зная показатель политропы , можно рассчитать величину и построить данный ТП в T-s координатах. Из соотношений для политропных процессов вытекают, как частные случаи соотношения и уравнения изохорного, изобарного, изотермического и адиабатного процессов.

12.3. Частные случаи политропных процессов (изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный)

Изохорный процесс – это процесс сообщения или отнятия теплоты от газа при постоянном объеме v=const.

Этот процесс используется как подготовительный процесс в циклах.

Соотношение между параметрами для конечного участка процесса 1-2 определяется законом Шарля: , который следует из уравнений состояния для точек 1 и 2: и при .

Поскольку работа расширения в этом процессе равна нулю: , т.к. , то из уравнения 1-го закона термодинамики следует, что:

.

Таким образом, подведенная к газу в изохорном процессе теплота целиком идет на увеличение его внутренней энергии. Для ТП коэффициент распределения теплоты , теплоемкость и показатель политропы:

.

График распределения энергетических составляющих уравнения 1-го закона термодинамики в изохорном процессе имеет вид:

Изобарный процесс – это процесс сообщения или отнятия теплоты от газа при постоянном давлении р=const.

Соотношение между параметрами в процессе р=const: - закон Гей-Люссака, т.к.: , и .

Работа расширения . Т.к. , то .

Следовательно, удельная газовая постоянная R- это работа, совершаемая 1кг газа в процессе p=const при его нагревании на один градус. Размерность R: Дж/кгК. Уравнение 1-го закона термодинамики в этом случае имеем вид:

.

Таким образом, вся теплота, подведенная к газу в изобарном процессе, расходуется на увеличение его энтальпии.

Коэффициент распределения теплоты в процессе р=const равен:

, .

Теплоемкость с=с_р и показатель политропы

.

График распределения энергетических составляющих 1-го закона термодинамики в изобарном процессе имеет вид:

В T-s координатах взаимное положение изобары и изохоры имеет вид:

, , т.е. изобара более пологая логарифмическая кривая в T-s координатах, чем изохора.

Изотермический процесс – это процесс сообщения или отнятия теплоты от газа при постоянной температуре

При Т=const из уравнения состояния имеем: - это уравнение изотермического процесса является уравнением равнобокой гиперболы.

Тогда , и - закон Бойля-Мариотта.

Из уравнения 1-го закона термодинамики при имеем:

и q=l, т.е. вся теплота, сообщаемая газу в изотермическом процессе, целиком идет на работу расширения газа.

Изменение энтальпии в процессе T=const равно:

.

Работа расширения .

Коэффициент распределения теплоты

.

Тогда теплоемкость и показатель политропы для процесса T=const будет равен , т.е. .

График распределения энергии в процессе T=const имеет вид:

Адиабатный процесс – это процесс, протекающий без внешнего теплообмена, т.е. q=0 и (на конечном и бесконечно малом участке процесса).

Если записать для этого случая уравнения 1-го закона термодинамики в виде:

1. или ,

2. или , то после деления (1) на (2) получим:

- показатель адиабаты.

Тогда после интегрирования выражения для конечного процесса 1-2 будем иметь , или - это есть уравнение адиабатного процесса в p-v-координатах, которое является уравнением неравнобокой гиперболы.

, т.к. Т , то ds=0 и s=const. Таким образом, адиабатный процесс с идеальным газом есть изоэнтропийный процесс.

Соотношения между параметрами состояния в этом процессе:

и , а график распределения энергии в процессе имеет вид:

Из уравнения 1-го закона термодинамики следует, что , т.е. . Таким образом, работа расширения в адиабатном процессе совершается за счет уменьшения внутренней энергии газа, а его температура уменьшается .

Работа расширения по аналогии с политропным процессом будет равна:

,

или .

Коэффициент распределения теплоты в процессе q=0:

, а теплоемкость адиабатного процесса .

Показатель адиабаты для одноатомных газов равен к=1,66, для двухатомных к=1,4 и для трехатомных к=1,3.

12.4. Исследование политропных процессов

Все политропные процессы можно разделить на три группы:

- I группа – политропы, показатель которых изменяется в пределах , а теплотa q в процессе подводится к рабочему телу (+q);

- II группа – политропы, показатели которых лежат в пределах , с подводом теплоты к рабочему телу (+q);

- III группа – политропы, показатели которых лежат в пределах с отводом теплоты от системы в холодильник (-q).

Взаимное положение групп политроп в p-v координатах имеет вид:

Взаимное положение групп политроп в T-s координатах имеет вид: