Экзаменационные вопросы по матану за 2-й семестр

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

весенний семестр 2008/2009 учебного года

лектор - Федорова Н.М.

1. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

2. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур; длин дуг плоских и пространственных кривых.

3. Геометрические приложения определенного интеграла : вычисление объемов тел по площади поперечного сечения и тел вращения; площадей поверхностей тел вращения.

4. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Понятие сходящегося и расходящегося несобственного интеграла. Эталонные интегралы вида .

5. Определение функции многих переменных. Предел и непрерывность в точке ф.м.п. Свойства функций, непрерывных в точке.

6. Частные производные функции многих переменных. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных z = f (x,y). Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной явно уравнением z=f(x,y).

7. Дифференцируемость функции многих переменных в точке. Необходимые условия дифференцируемости в точке.

8. Достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных в точке.

9. Дифференциал функции многих переменных.

10. Дифференцирование сложных функций. Теорема о производной сложной функции.

11. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Определение и вычисление производной скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля, определение и свойства.

12. Частные производные высших порядков. Формулировка теоремы о смешанной производной.

13. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.

14. Функции, заданные неявно уравнением . Формулировка условий существования, непрерывности и дифференцируемости.

15. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной неявно.

16. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимые условия экстремума.

17. Достаточные условия экстремума функции многих переменных с использованием второго дифференциала и критерия Сильвестра.

18. Двойной интеграл. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрический смысл. Условия существования двойного интеграла.

19. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

20. Переход в двойном интеграле от декартовой системы координат к полярной.

21. Приложения двойных интегралов для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел и площадей криволинейных поверхностей.

22. Некоторые понятия, связанные с дифференциальными уравнениями 1-ого порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы Коши для д.ур. 1-го порядка.

23. Интегрируемые дифференциальные уравнения 1-го порядка: д.ур. с разделенными и разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения и уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах и уравнения, не разрешенные относительно производной.

24. Д. ур. n-го порядка. Свойства решений ЛОДУ. ФСР ЛОДУ. Теорема об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ).

25. Решение ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами методом Эйлера.

26. Теорема об общем решении ЛНДУ n-го порядка.

27. Методы вариаций и метод подбора решения ЛНДУ n-го порядка.

28. Некоторые понятия, связанные с системами дифференциальных уравнений, и постановка задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Линейные системы дифференциальных уравнений. Векторно-матричная форма записи. Связь между линейными системами п-го порядка и дифференциальными уравнениями п-го порядка.

29. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений (ЛОСУ) и свойства их решений.

30. Фундаментальная система решений (ФСР) ЛОСУ. Теорема об общем решении ЛОСУ.

31. Решение ЛОСУ с постоянными коэффициентами методом Эйлера.

32. Теорема о общем решении линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений (ЛНСУ).

33. Метод вариации произвольных постоянных для решения ЛНСУ.

34. Числовые ряды. Основные определения. Общие свойства рядов. Необходимые признаки сходимости рядов. Формулировка критерия Коши.

35. Достаточные признаки сходимости (и расходимости) неотрицательных рядов: ограниченность частичных сумм, признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак Коши.

36. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда Лейбница.

37. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Формулировка свойств абсолютно и условно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

38. Степенные ряды. Теорема Абеля. Теорема об области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов в области сходимости. Арифметические операции над степенными рядами.

39. Ряды Тейлора и Маклорена. Теорема о единственности разложения. Теорема о необходимых и достаточных условиях разложимости ; теорема о достаточных условиях разложимости функции в ряд Тейлора.

40. Разложение в ряды Маклорена основных элементарных функций (e^x, cosx, sinx, 1/(1+x), ln(1+x), (1+x)^).

41. Приближенные вычисления значений функций и интегралов с помощью рядов Тейлора.

42. Комплексные ряды. Сходящиеся, абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся ряды. Формулы Эйлера.