Вопросики к экзамену по математическому анализу

Экзаменационные вопросы

по курсу "Математический анализ"

1-й курс, 2-й семестр, ф-т №4.

1. Задача, приводящая к построению интеграла Римана по мере области для функции n переменных.

2. Реализация интеграла Римана, теорема существования.

3. Свойства интеграла Римана, теорема о среднем.

4. Интеграл, зависящий от параметра; свойства.

5. Вычисление двойных и тройных интегралов через повторные в декартовой системе координат.

6. Переход к полярным координатам в двойном интеграле. Геометрический смысл якобиана преобразования.

7. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле. Геометрический смысл якобиана преобразования.

8. Геометрические приложения двойного интеграла.

9. Механические приложения двойного интеграла.

10. Геометрические и механические приложения тройного интеграла.

11. Криволинейный интеграл 1-го рода как частный случай интеграла Римана по мере. Свойства. Вычисление.

12. Поверхностный интеграл 1-го рода как частный случай интеграла Римана по мере. Свойства. Вычисление.

13. Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода.

14. Механические приложения поверхностного интеграла 1-го рода.

15. Построение криволинейного интеграла 2-го рода; вычисление в случае пространственной кривой.

16. Понятие ориентированнной кривой; свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

17. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода в случае плоской кривой; физический смысл этого интеграла.

18. Потенциальное векторное поле. Теорема о существовании потенциала. Доказательство эквивалентности двух условий.

19. Потенциальное векторное поле. Теорема существования потенциала (доказательство необходимости).

20. Потенциальное векторное поле. Теорема существования потенциала (доказательство достаточности).

21. Аналитические условия потенциальности поля. Формула для нахождения потенциала.

22. Понятие ориентируемой и ориентированной поверхности.; сторона поверхности. Согласование ориентации поверхности с обходом её границы.

23. Построение поверхностного интеграла 2-го рода, его физический смысл.

24. Свойства поверхностного интеграла 2-го рода.

25. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода в зависимости от задания поверхности S (S : z=(x;y); S : x=(y;z); S : y=(x;z)).

26. Дивергенция векторного поля, её физический смысл.

27. Теорема Гаусса-Остроградского.

28. Соленоидальные векторные поля.

29. Вихрь (ротор) векторного поля, его свойства. Символика Гамильтона.

30. Теорема Стокса.

31. Свойства тригонометрической системы функций: 1, , на [-l;l], n=1,2,...

32. Построение ряда Фурье общего вида.

33. Условия равномерной сходимости рядов Фурье; вывод формул для коэффициентов Фурье.

34. Условия Дирихле разложения функции в ряд Фурье.

35. Ряды Фурье для чётных и для нечётных функций.

36. Ряд Фурье в комплексной форме.

37. Действительная форма интеграла Фурье. Условия представимости.

38. Интеграл Фурье в комплексной форме, преобразование Фурье.

39. Представление чётных функций интегралом Фурье; достаточные условия представимости. Косинус-преобразование Фурье.

40. Представление нечётных функций интегралом Фурье. Достаточные условия представимости. Синус-преобразование Фурье.

41. Операции алгебры и анализа над степенными рядами. Ряды Тейлора и Маклорена. Единственность ряда Тейлора.

42. Условия сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции. Разложения e^x, cos x, sin x, ln(1+x), (1+x)^ по степеням x.

Литература.

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление.

М.: Наука, 1984 г.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981 г.

3. Игнатьева А.В., Краснощёкова Т.И., Смирнов В.Ф. Курс высшей математики.

М.: Высшая школа, 1974 г.