РГР по линейной алгебре и аналитической геометрии 2016

РГР по ЛААГ. Вариант 1 (Сдавать рукопись на А4, задания переписывать)

1. Решить матричное уравнение с помощью обратной матрицы, вычисленной через миноры. Сделать проверки обратной матрицы и матрицы-решения.

2,3. Решить две системы линейных алгебраических уравнений:

(2) (3)

Указания: (2) методами Крамера и Гаусса найти единственное решение, сделать проверку; (3) методом Гаусса найти ранг системы и её общее решение, выделить из последнего частное решение и все фундаментальные решения соответствующей однородной системы, сделать проверку каждого.

4. Найти все собственные значения матрицы , проверить их. Указание: После получения характеристического уравнения сделать проверки его свободного члена (должно быть ) и его коэффициента при (должно быть ). При решении этого уравнения подобрать первый корень , выбрав его среди делителей свободного члена, и понизить степень уравнения, разделив его левую часть на линейный двучлен «уголком» или по Горнеру.

5. Для каждого собственного значения матрицы А из задачи 4 методом Гаусса найти все её собственные векторы и сделать проверки всех найденных пар (должно быть ).

6. На векторах построен параллелепипед. Вычислить:

а) Скалярное произведение векторов , , их длины, а также косинус угла между ними.

б) Векторное произведение векторов , , проверив его перпендикулярность каждому из сомножителей с помощью скалярного произведения, площадь образуемой ими грани и синус угла между ними. Последний проверить с помощью основного тригонометрического тождества.

в) Смешанное произведение векторов , , через определитель, проверив его с помощью найденного выше векторного произведения, а также объём параллелепипеда и его высоту, опущенную на плоскость грани векторов .

7. Используя общее и каноническое уравнения прямой на плоскости, в треугольнике с вершинами найти координаты проекции точки A на медиану, проведённую из точки B, а также расстояние от точки A до прямой (BC). Аналитическое решение задачи проверить с помощью крупного рисунка на листе миллиметровки формата А4.

8. Найти расстояние между прямыми линиями и , а также составить общее уравнение проходящей через них плоскости.

9. Привести уравнение кривой к каноническому виду, определить её тип, расположение на плоскости (размеры, смещение), построить кривую и проверить координаты точек её пересечения с осями координат по исходному уравнению.

10. Привести уравнение поверхности к каноническому виду, определить её тип и расположение в пространстве (ориентация, смещение). Изобразить эскиз этой поверхности, учтя только смещение и ориентацию.

РГР по ЛААГ. Вариант 2 (Сдавать рукопись на А4, задания переписывать)

1. Решить матричное уравнение с помощью обратной матрицы, вычисленной через миноры. Сделать проверки обратной матрицы и матрицы-решения.

2,3. Решить две системы линейных алгебраических уравнений:

(2) (3)

Указания: (2) методами Крамера и Гаусса найти единственное решение, сделать проверку; (3) методом Гаусса найти ранг системы и её общее решение, выделить из последнего частное решение и все фундаментальные решения соответствующей однородной системы, сделать проверку каждого.

4. Найти все собственные значения матрицы , проверить их. Указание: После получения характеристического уравнения сделать проверки его свободного члена (должно быть ) и его коэффициента при (должно быть ). При решении этого уравнения подобрать первый корень , выбрав его среди делителей свободного члена, и понизить степень уравнения, разделив его левую часть на линейный двучлен «уголком» или по Горнеру.

5. Для каждого собственного значения матрицы А из задачи 4 методом Гаусса найти все её собственные векторы и сделать проверки всех найденных пар (должно быть ).

6. Даны вершины тетраэдра . Вычислить:

а) Скалярное произведение векторов , , их длины, а также косинус угла между ними.

б) Векторное произведение векторов , , площадь образуемой ими грани ACD и синус угла между ними. Последний проверить с помощью основного тригонометрического тождества.

в) Смешанное произведение векторов , , через определитель, проверив его с помощью найденного выше векторного произведения, а также объём тетраэдра ABCD и его высоту, опущенную на плоскость грани ACD.

7. Используя общее и каноническое уравнения прямой на плоскости, в треугольнике с вершинами найти координаты проекции точки B на высоту, проведённую из A, а также расстояние от C до прямой . Аналитическое решение задачи проверить с помощью крупного рисунка на листе миллиметровки формата А4.

8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой ( , ). Найти расстояние от точки до этой прямой.

9. Привести уравнение кривой к каноническому виду, определить её тип, расположение на плоскости (размеры, смещение), построить кривую и проверить координаты точек её пересечения с осями координат по исходному уравнению.

10. Привести уравнение поверхности к каноническому виду, определить её тип и расположение в пространстве (ориентация, смещение). Изобразить эскиз этой поверхности, учтя только смещение и ориентацию.

РГР по ЛААГ. Вариант 3 (Сдавать рукопись на А4, задания переписывать)

1. Решить матричное уравнение с помощью обратной матрицы, вычисленной через миноры. Сделать проверки обратной матрицы и матрицы-решения.

2,3. Решить две системы линейных алгебраических уравнений:

(2) (3)

Указания: (2) методами Крамера и Гаусса найти единственное решение, сделать проверку; (3) методом Гаусса найти ранг системы и её общее решение, выделить из последнего все фундаментальные решения соответствующей однородной системы, сделать проверку каждого из них.

4. Найти все собственные значения матрицы , проверить их. Указание: После получения характеристического уравнения сделать проверки его свободного члена (должно быть ) и его коэффициента при (должно быть ). При решении этого уравнения подобрать первый корень , выбрав его среди делителей свободного члена, и понизить степень уравнения, разделив его левую часть на линейный двучлен «уголком» или по Горнеру.

5. Для каждого собственного значения матрицы А из задачи 4 методом Гаусса найти все её собственные векторы и сделать проверки всех найденных пар (должно быть ).

6. Даны вершины тетраэдра . Вычислить:

а) Скалярное произведение векторов , , их длины, а также косинус угла между ними.

б) Векторное произведение векторов , , площадь образуемой ими грани ABD и синус угла между ними. Последний проверить с помощью основного тригонометрического тождества.

в) Смешанное произведение векторов , , через определитель, проверив его с помощью найденного выше векторного произведения, а также объём тетраэдра ABCD и его высоту, опущенную на плоскость грани ABD.

7. Используя общее и каноническое уравнения прямой на плоскости, в треугольнике с вершинами найти координаты проекции точки A на сторону (BC), а также расстояние от B до прямой . Аналитическое решение задачи проверить с помощью крупного рисунка на листе миллиметровки формата А4.

8. Составить общее уравнение плоскости, параллельной прямой и проходящей через прямую , а также найти расстояние между этими прямым.

9. Привести уравнение кривой к каноническому виду, определить её тип, расположение на плоскости (размеры, смещение), построить кривую и проверить координаты точек её пересечения с осями координат по исходному уравнению.

10. Привести уравнение поверхности к каноническому виду, определить её тип и расположение в пространстве (ориентация, смещение). Изобразить эскиз этой поверхности, учтя только смещение и ориентацию.

РГР по ЛААГ. Вариант 4 (Сдавать рукопись на А4, задания переписывать)

1. Решить матричное уравнение с помощью обратной матрицы, вычисленной через миноры. Сделать проверки обратной матрицы и матрицы-решения.

2,3. Решить две системы линейных алгебраических уравнений:

(2) (3)

Указания: (2) методами Крамера и Гаусса найти единственное решение, сделать проверку; (3) методом Гаусса найти ранг системы и её общее решение, выделить из последнего частное решение и все фундаментальные решения соответствующей однородной системы, сделать проверку каждого.

4. Найти все собственные значения матрицы , проверить их. Указание: После получения характеристического уравнения сделать проверки его свободного члена (должно быть ) и его коэффициента при (должно быть ). При решении этого уравнения подобрать первый корень , выбрав его среди делителей свободного члена, и понизить степень уравнения, разделив его левую часть на линейный двучлен «уголком» или по Горнеру.

5. Для каждого собственного значения матрицы А из задачи 4 методом Гаусса найти все её собственные векторы и сделать проверки всех найденных пар (должно быть ).

6. Даны вершины тетраэдра . Вычислить: