31

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

«Утверждаю»

Проректор по научной работе

______________Шевцов В.А.

«___»_______________20 г.

П Р О Г Р А М М А

дисциплины Математические и инструментальные методы экономики

по специальности № 08.00.13 «Математические и инструментальные методы экономики»

Программа составлена ___д.э.н., проф. Калачанов В.Д._______ ___________________

(ф.и.о., уч.степень, звание) (подпись)

Заведующий обеспечивающей кафедрой _______________В.Д. Калачанов

«___»_________________ 20__ г.

Программа одобрена:

Заведующий отделом аспирантуры Председатель УМС обеспечивающего факультета

_______________________ __ _______________________ __

«___»_________________ 20__ г. «___»_________________ 20__ г.

Декан выпускающего факультета

_______________________

«___»_____ ____________ 20__ г.

Раздел 1. Цели и задачи изучения дисциплины

Дисциплина по специальности 08.00.13«Математические и инструментальные методы экономики» относится к циклу ОД.А.00 – обязательные дисциплины (основная специальная дисциплина) и входит в состав образовательной составляющей учебного плана аспирантов.

Целью изучения дисциплины является изучение теоретических и методологических положений анализа экономических процессов и систем на основании использования экономико-математических методов и инструментальных средств.

Задачи дисциплины:

1. Изучение теоретических основ специальности 08.00.13«Математические и инструментальные методы экономики»;

2. Изучение основных разделов математических методов в экономике;

3. Изучение основных разделов инструментальных методов экономики.

В совокупности с другими дисциплинами математического и профессионального циклов программа подготовки аспирантов обеспечивает формирование следующих профессиональных компетенций:

1. Способность проводить научные исследования и получать новые научные и практические результаты;

2. Способность разрабатывать концептуальные и теоретические модели решаемых научных проблем;

3. Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат;

4. Способность в составе научно-исследовательского и производственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности (в соответствии с профилем подготовки);

5. Способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам;

6. Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования.

Раздел 2. Содержание дисциплины

Лекции

РАЗДЕЛ I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОСТИ

Тема 1. Моделирование как метод научного познания. Развитие математических методов экономических исследований. (2 час., СРС – 1 час.)

Понятия модели и моделирования. Элементы и этапы процесса моделирования. Виды моделирования. Особенности математического моделирования экономических объектов. Производственно-технологический и социально-экономический уровни экономико-математического моделирования. Особенности экономических наблюдений и измерений. Формализация экономических задач. Случайность и неопределенность в экономико-математическом моделировании. Проверка адекватности моделей.

Экономическая таблица Ф. Кенэ. Схемы расширенного воспроизводства К. Маркса. Математическая школа экономической теории. Статистическое направление экономических исследований. Математическое программирование. Эконометрика.

Тема 2. Классификация моделей в экономике. (2 час., СРС – 1 час.)

Признаки классификации. Теоретико-аналитические и прикладные модели. Детерминистские и стохастические модели. Статистические и динамические модели. Открытые и замкнутые модели. Макро- и микроэкономические модели. Процессы построения и использования экономико-математических моделей.

Тема 3. Использование векторов, матриц, системы линейных алгебраических уравнений в линейных экономико-математических моделях. (2 час., СРС – 1 час.)

Определение, свойства вектора. Операции над векторами. Скалярное и векторное произведение. Линейная зависимость, базис и ранг системы векторов. Координаты вектора. Примеры использования векторов в ЭММ.

Определение матрицы. Транспонирование и умножение матриц. Ранг матриц. Обращение матриц. Определитель квадратной матрицы и его свойства. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Матрицы Леонтьева-Пенроуза.

Системы линейных алгебраических уравнений. Системы алгебраических уравнений в задаче прогноза выпуска продукции. Модели Леонтьева многоотраслевой экономики («Затраты-выпуск»).

Тема 4. Математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление в моделировании социально-экономических процессов. (2 час., СРС – 1 час.)

Множества и операции над ними. Предел последовательности. Функции одной переменной. Предел функции. Бесконечно малые величины. Непрерывность функции. Сложная и обратная функции. Примеры экономико-математических моделей.

Экстремумы функций одной переменной. Предельные показатели в экономике и их приближенное вычисление при помощи операции дифференцирования. Экономические приложения дифференциального исчисления.

Неопределенный и определенный интеграл функции одной переменной. Правила интегрирования. Экономические приложения интегрального исчисления.

Тема 5. Ряды в моделировании социально-экономических процессов. Использование функций нескольких переменных при построении экономико-математических моделей. (2 час., СРС – 1 час.)

Ряды с неотрицательными членами. Сходимость рядов. Ряд Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье. Использование рядов в построении экономико-математических моделей.

Предел, непрерывность и дифференцирование функций нескольких переменных. Экстремумы. Необходимые и достаточные условия экстремума функций. Метод множителей Лагранжа. Прибыль от производства товаров разных видов.

Тема 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения в моделировании социально-экономической динамики. Применение общей теории множеств (элементов функционального анализа) в построении экономико-математических моделей. (2 час., СРС – 1 час.)

Дифференциальные уравнения первого порядка. Методы решения. Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения в моделях экономической динамики. Модель экономического роста. Динамическая модель Кейнса. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши.

Метрические, линейные и нормированные пространства. Эвклидово пространство. Гильбертово пространство. Линейные векторные пространства и линейные преобразования. Линейные операторы и функционалы в линейных нормированных пространствах.

Тема 7. Оптимизационные методы решения, многокритериальная оптимизация, гладкая оптимизация при решении экономических задач. Градиентные методы гладкой оптимизации, выпуклая оптимизация, математическое программирование в решении социально-экономических задач. (2 час., СРС – 1 час.)

Классическая постановка задачи оптимизации. Оптимизация функций. Оптимизация функционалов. Общая постановка задачи. Стохастическая оптимизация. Примеры задач оптимизации в экономике.

Методы сведения многокритериальной задачи к однокритериальной. Метод уступок. Методы определения уровня предпочтений. Способы поиска паретовского множества альтернатив.

Понятие градиента. Седловая точка. Условие Куна-Таккера. Двойственные задачи оптимизации.

Общая идея градиентного спуска (подъема). Пропорциональный градиентный метод. Полношаговый градиентный метод. Метод сопряженных градиентов.

Условие выпуклости. Субградиентный метод выпуклой оптимизации. Метод растяжения пространства. Метод эллипсоидов.

Экономические задачи, моделируемые методами математического программирования. Задача математического программирования в общем виде. Этапы формализации. Ограничения, допустимые множества, целевая функция задачи. Классификация задач математического программирования. Экономические приложения математического программирования.

Тема 8. Линейное, нелинейное и динамическое программирование в решении социально-экономических задач. (2 час., СРС – 1 час.)

Общая постановка задачи линейного программирования. Этапы формализации. Двойственность в линейном программировании и экономическая интерпретация. Примеры линейных оптимизационных моделей в экономике. Задачи целочисленного программирования. Методы решения задач целочисленного программирования. Параметрическое линейное программирование. Примеры параметрических оптимизационных моделей в экономике. Методы решения задач линейного программирования.

Общая постановка задачи нелинейного программирования. Этапы формализации. Выпуклое программирование. Методы решения задач нелинейного программирования. Метод множителей Лагранжа, экономическая интерпретация множителей Лагранжа. Экономические приложения нелинейного программирования.

Общая постановка задачи динамического программирования. Этапы формализации. Методы решения задач динамического программирования. Рекуррентные соотношения Беллмана. Экономические приложения динамического программирования.

Тема 9. Математические методы финансового анализа. (2 час., СРС – 1 час.)

Модели финансовых потоков. Эквивалентность денежных сумм во времени. Текущая (приведенная) величина потока. Будущая (наращенная) величина потока. Приближенные формулы для внутренней доходности ренты. Облигации и их характеристики. Теоремы об облигациях. Дюрация облигации и ее свойства. Теорема об иммунизации портфеля облигаций.

Тема 10. Теория вероятностей и математическая статистика в экономико-математическом моделировании. Регрессии. Эконометрика. (2 час., СРС – 1 час.)

Дискретные и непрерывные случайные величины в экономико-математических моделях. Случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Система двух случайных величин. Примеры в экономике.

Непрерывные случайные величины в экономико-математических моделях. Основные распределения непрерывных случайных величин. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Многомерные случайные величины и их числовые характеристики. Понятия о случайных процессах. Примеры в экономике.

Методы математической статистики в построении моделей в экономике. Основные направления применения методов математической статистики в экономике. Выборки и их типы. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Эмпирические моменты, асимметрия и эксцесс. Оценки параметров. Выборочные распределения.

Проверка статистических гипотез. Уровень значимости. Правило Неймана-Пирсона отбора критериев для простых гипотез. Критерии значимости. Доверительная область. Нормальное распределение. Критерий согласия Пирсона.

Основы корреляционного анализа. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Функциональная и статистическая корреляция. Выборочный коэффициент корреляции. Корреляционное отношение как мера корреляционной связи.

Линейная регрессия для системы двух случайных величин. Основные аспекты множественной регрессии. Нелинейная регрессия. Построение регрессионных моделей (Этапы построения модели, гипотезы модели, оценка параметров, прогнозирование, проверка адекватности.) Метод наименьших квадратов.

Основные понятия эконометрического моделирования. Основные проблемы эконометрического моделирования. Математико-статистический инструментарий эконометрики. Анализ временных рядов как одна из основных задач эконометрики. (Понятие временного ряда. Построение моделей временных рядов. Анализ временных рядов.) Этапы построения эконометрических моделей. (Спецификация ЭММ. Сбор статистических данных об объекте-оригинале. Настройка (оценивание) ЭММ. Проверка адекватности ЭММ. Исследование построенной модели с целью получения информации об объекте-оригинале.) Методы статистического оценивания параметров эконометрических моделей (постановка задача, статистики, свойства статистических оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность, функция правдоподобия, метод моментов, интервальные оценки, общая логика Байесовского метода оценивания). Применение методов статистической проверки в эконометрическом моделировании (гипотезы о виде распределения, о значениях параметров генеральной совокупности, о виде модели, логическая схема статистического критерия, принцип отношения правдоподобия, характеристики статистического качества, критерии согласия, Пирсона, Стьюдента).