Var-16_Laplas (Вариант 16 - Задача 4)
Описание файла
Документ из архива "Вариант 16 - Задача 4", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "Var-16_Laplas"
Текст из документа "Var-16_Laplas"
Вариант 16 Применяя преобразование Фурье или Лапласа, решить краевую задачу
| (1) |
| (2) |
| (3) |
Решение: Задачу (1) − (3) будем решать операционным методом. Применим к постановке (1) − (3) преобразование Лапласа. При этом предполагается, что (в силу физических соображений) искомая функция и ее производные ограничены при
Таким образом, после преобразования Лапласа уравнение (1) перейдет в обыкновенное дифференциальное уравнение ( рассматриваем как параметр).
| (4) |
Применив преобразование Лапласа к граничному условию (3) получим
| (5) |
Решим однородное уравнение (4), для этого определим корни характеристического многочлена
Общее решение уравнения (4) будет
Учитывая ограниченность решения, следует положить , т.к. функция
при
.
Постоянную найдем из граничного условия (5)
| (6) |
Искомую функцию найдем применив обратное преобразование Лапласа к (6)
Для вычисления образа от формулы (6) воспользуемся следующими свойствами преобразования Лапласа и табличными изображениями
Замечание: Тут очень тяжелые функции, использую справочник: Бейтмен Г., Эрдей А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина.
Следовательно,
Далее используем теорему умножения (теорема о преобразовании свертки)
Тогда
Вычислим интегралы
Следовательно,
Замечание: Интеграл получился какой-то не выражающийся. Поэтому ответ оставила в виде квадратуры. Пакет Maple тоже его не подхватывает :-(. В общем надо посмотреть, что на это ваш преподаватель скажет.