МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (Несколько учебников, чертежей к проекту 3го курса 6го факультета и расчётов)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

________________________________________________________________________________

Кафедра 603

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу

«ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ»

Выполнил студент группы 06-305

Савостина О.А.

Принял проф. каф. 603

Рыбаков Л. С.

Москва 2006

Задача № 11а

В полосе единичной толщины (рис. 1) найти напряженное состояние, вызванное действием нагрузок

полагая

где — искомая функция. Сопоставить полученное напряженное состояние с напряжениями, найденными методами сопротивления материалов ( h << l ).

Рис.1

РЕШЕНИЕ

Подчиняя заданное выражение

строгому статическому граничному условию,

устанавливаем

(1)

Подставим заданное выражение в уравнение равновесия

и проинтегрируем полученное равенство по . В итоге получим

где — пока неизвестная функция.

Подчиняя это выражение строгому статическому граничному условию,

устанавливаем

Ничто не мешает нам принять

(2)

Тогда , а

(3)

Раскроем с помощью этого выражения второе условие

(4)

Подставим заданное выражение в уравнение равновесия

и проинтегрируем полученное равенство по . В итоге получим

(5)

где — пока неизвестная функция.

Подставляем (3) и (5) в соотношение

И это равенство выполнимо при любых лишь тогда, когда

и

Общее решение первого уравнения

после нахождения постоянных интегрирования A, B, C, D из равенств (1), (2), (4) принимает вид

,

Общее решение второго уравнения

,

ничего не мешает принять M=0, N=0, т.о.

С помощью этого результата окончательно устанавливаем

Сопоставим полученное решение с результатами, даваемыми сопротивлением материалов.

В силу гипотезы о ненадавливаемости продольных волокон .

На полосу действуют поперечные нагрузки в виде концевой силы и распределенной нагрузки

В произвольном сечении они порождают перерезывающую силу

и изгибающий момент

Подставляя эти выражения в известные формулы

где

получаем

Задача № 61д

Найти точные аналитические выражения для напряжений и радиальных смещений, вызванных в элементах упругой системы осесимметричными внешними воздействиями. Показать графически изменения найденных величин по радиусу r.

Упругий диск с центральным круговым отверстием подкреплен изнутри упругим однородным кольцом (рис. 2). Диск равномерно нагрет на температуру Т₀.

Рис. 2

РЕШЕНИЕ

О
тделим мысленно (в деформированном состоянии) упругий диск и подкрепляющее кольцо друг от друга и приложим к их контактирующим поверхностям пока неизвестные силы взаимодействия δσ (рис. 3).

Рис.3

Чтобы найти напряжения в кольце, достаточно рассмотреть равновесие его половины в отношении проекций на ее ось симметрии всех действующих сил, включая и . В результате получим

Удлинение упругой линии кольца находятся по ее радиальному смещению

С другой стороны, согласно закону Гука

Сопоставляя две последние формулы, находим

Таким образом, напряжение и смещение кольца определены с точностью до величины .

Обратимся теперь к диску. Общее решение рассматриваемой для него задачи дается формулами

Из граничных условий находим постоянные

Из граничного условия получаем

Задача № 93б

В неограниченной пластине единичной толщины с круговым отверстием радиуса a найти напряженное состояние, вызванное заданными нагрузками на бесконечности . Исследовать концентрацию напряжений и подсчитать наибольший коэффициент концентрации напряжений.

РЕШЕНИЕ

Подставим заданное выражение

в уравнение равновесия

и проинтегрируем его по θ. В итоге получим

Из уравнения равновесия

находим

Принимая , из условия

устанавливаем . С учетом этого имеем

Равенство выполняется при любых θ, если

Решение первого дифференциального уравнения будем искать в виде , где C —

отличная от нуля постоянная. Подставляя это выражение в само дифференциальное уравнение, приходим к характеристическому уравнению

с корнями . Следовательно, искомое общее решение выглядит

следующим образом ( A , B ,C , D — постоянные интегрирования)

Отсюда имеем

Из последнего равенства устанавливаем, что и , после чего условия дают и

Таким образом,

Общее решение второго уравнения имеет вид ( A₁, B₁,C₁ — постоянные интегрирования)

Отсюда имеем

то в силу и последнего равенства , . Получаем

Окончательный результат

Как видно, концентрация напряжений имеет место для . Действительно, в пластине с отверстием

а в пластине без отверстия (полагаем )

Следовательно,