Шпаргалки по ТВиМС

1. Понятие случайности, изучаемое теорией вероятностей. Частотное определение вероятности.

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Под опытом G понимается воспроизведение какого-либо комплекса условий для наблюдения исследуемого явления (события). Обычно считается, что событие случайно в опыте, если при неоднократном воспроизведении этого опыта оно иногда происходит, а иногда – нет, причем нельзя заранее предсказать возможный исход (событие) этого опыта. При этом наблюдается свойство устойчивости частоты случайного события: с увеличением числа повторений опыта значение частоты появления случайного события стабилизируется около некоторого случайного числа. Пусть при n-кратном повторении опыта G событие А произошло m_А раз. Частотой W_n(А) события А называется соотношение W_n(A) = m_А/n. Cвойства частоты W_n(А):

- W_n(А)  0, так как m_А  0 и n > 0;

- W_n(А)  1, так как m_А  n;

- Если при n-кратном повторении опыта несовместные события A и B появились соответственно m_А и m_B раз, то

Априори (заранее, до опыта) частота W_n(A) является случайной, т.е. нельзя предсказать точное ее значение до проведения данной серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике наблюдается эффект устойчивости частот. Его суть заключается в том, что при увеличении числа опытов значение частоты практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа Р(А), соответствующего данному конкретному событию А в опыте G. Число Р(А) первоначально при становлении теории вероятностей называлось вероятностью события A в опыте G. Введенное понятие указывает на то, что вероятность Р(А) характеризует частоту появления события А при многократном повторении опыта G.

1. Основные понятия теории вероятностей на основе аксиоматического подхода: пространство элементарных исходов, алгебра случайных событий, вероятность и аксиомы, которым она подчиняется.

Алгебра событий F, включающая в себя результаты сложения и умножения счетного числа своих элементов (т.е. замкнутая относительно этих операций), называется -алгеброй. Элементы -алгебры (т.е. подмножества пространства ) называются случайными событиями (или просто событиями). Вероятностью события А называется числовая функция Р(А), определенная на -алгебре и удовлетворяющая следующим четырем аксиомам теории вероятностей:

- Каждому событию А  F ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), т. е. Р(А)  0 для любого А  F.

- Вероятность достоверного события равна единице, т. е. Р() = 1.

- Для любых несовместных событий А и В из F справедливо равенство Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

- Для любой убывающей последовательности А₁  А₂  …  А_n  … событий из F, такой что A₁A₂A₃  ...  A_n  …=  , имеет место равенство

Аксиоматические свойства вероятности:

- Если Р(А) = 1, но А не равно , то говорят, что событие А в опыте G происходит почти наверное.

- Если Р(А) = 0, то говорят, что событие А почти никогда не происходит в опыте G.

1. Простейшие свойства вероятности: монотонность, формула сложения, вероятность разности событий.

Если А  В, то Р(А)  Р(В), т.е. вероятность монотонна. Представим множество В как В = А + B\A (см. рисунок 1). По построению А(В\А)=, следовательно, события А и В\А несовместны. Поэтому по аксиомам конечной аддитивности^* и неотрицательности вероятности имеем Р(В) = Р(А) + Р(В\А)  Р(А).

Р(А)  1 для любого А  F. Так как A  , то из свойства монотонности и аксиомы нормировки вероятности следует Р(А)  Р() = 1. Формула сложения и вероятность разности событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) для любых А, В  F. Представим А в виде А = А\В + АВ (см. рисунок 2). Очевидно, что события А\В и АВ несовместны. Тогда по аксиоме конечной аддитивности вероятности имеем Р(А) = Р(А\В) + Р(АВ),откуда Р(А\В)=Р(А)-Р(АВ). Аналогичным образом поступим с событием А+В. Имеем А+В = В + А\В, причем события В и А\В несовместны. Тогда из аксиомы конечной аддитивности вероятности следует Р(А+В)=Р(В)+Р(А\В). Подставляя в данное выражение формулу для Р(А\В), получаем требуемое. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

^* Аксиома: Для любых несовместных событий А и В из F справедливо равенство Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Рисунок 1.

Рисунок 2.

1. Классическая схема. Вычисление вероятностей исходов в трех комбинаторных моделях.

Е сли множество исходов некоторого опыта конечно и состоит из n равновозможных попарно несовместных событий, составляющих полную группу, то вероятность события Р(А) = m(A)/n, где m(A) – число благоприятных для этого события исходов. В геометрической интерпретации вероятность попадания в область А, включенную в В можно вычислить как отношение меры области А к мере области В. Для решения некоторых задач удобно пользоваться комбинаторными моделями. Формула перестановки имеет смысл числа вариантов, с помощью которых можно расположить k элементов. N = k!

Формула сочетаний имеет смысл числа способов выбрать r элементов из k без учета порядка.

Формула размещений имеет смысл числа способов выбрать r элементов из k с учетом порядка, последовательности, иерархии.

1. Классическая схема. Примеры решения задачи о совпадениях, расчета вероятности выигрыша в лотерее.

Если множество исходов некоторого опыта конечно и состоит из n равновозможных попарно несовместных событий, составляющих полную группу, то вероятность события Р(А) = m(A)/n, где m(A) – число благоприятных для этого события исходов.

- Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что цифры различны, набрал их на удачу. Какова вероятность того, что набран нужный номер? Решение: Общее число исходов

Благоприятный исход один – необходимые цифры набраны в необходимом порядке. Вероятность того, что набран нужный номер, легко рассчитать по классической формуле

.

- В розыгрыше лотереи участвуют 100 билетов, среди которых 25 выигрышных. Студент МАИ приобрел три билета. Какова вероятность его выигрыша? Решение: студент МАИ выиграет в случае, если хотя бы один из билетов окажется выигрышным. Проще рассмотреть противоположное событие (студент проиграет). Для нового события благоприятными являются

исходов.

Общее число исходов тоже вычисляется по формуле сочетаний:

Вероятность выигрыша студента МАИ:

1. Независимые события. Свойства независимых событий. Примеры: расчет надежности.

События А и В являются называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А)Р(В). В противном случае события называются зависимыми. Если любые два события из А₁, …, А_n независимы, то события А₁, …, А_n называются независимыми в совокупности, или просто независимыми, если для любых k=2,n и 1  i₁ < … < i_k  n верно равенство Р(А_i1…A_ik)=P(А_i1) …P(A_ik). Независимость событий не следует из их попарной независимости, но обратное утверждение верно.

Свойства:

- Если события А и В независимы, то независимы также события А и В, А и В, А и В. Для событий А и В имеем

Поэтому

- Если несовместные события А и В имеют ненулевые вероятности, то они зависимы. Действительно, по условию АВ = . Если бы А и В были независимыми, тогда было бы верно Р(А)Р(В) = Р(АВ) = Р() = 0, но левая часть равенства по условию нулю не равна. Следовательно, А и В зависимы.

Расчет надежности. Задача^*: Система состоит из четырех элементов, надежности которых равны p₁=0,8; p₂=0,7; p₃=0,6; p₄=0,5. Элементы отказывают независимо друг от друга. Найти надежность схемы, приведенной на рисунке.

Р ешение: Перейдем к противоположному событию. Система откажет в случае, если откажут одновременно 3ий и 4ый элементы или 4ый, 1ый и 2ой элементы. Необходимо также учесть, что если отказали 3ий и 4ый элементы, то состояние 1ого и 2ого может быть любым. Поэтому вероятность отказа можно вычислить следующим образом:

^*Задача 43а на странице 46 учебника Кибзуна.

1. Схема и формула Бернулли. Свойства биномиальных коэффициентов.

Рассмотрим последовательность из n независимых испытаний (опытов) с двумя исходами (событиями) А и А, которые называются соответственно «успехом» и «неуспехом», причем Р(А) = p  (0,1), Р(А) = q = (по определению) 1 – p. Построенная схема испытаний называется схемой Бернулли, а сам опыт – опытом Бернулли. Пусть опыт G производится по схеме Бернулли. Тогда вероятность P_n(k) события A_n(k), состоящего в том, что при n повторениях опыта G событие А произойдет ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли:

Докажем справедливость данной формулы. Пусть опыт G был проведен три раза и необходимо найти вероятность того, что успешный результат будет получен один раз. В таком случае по формуле Бернулли получаем, что вероятность этого события равна 3pq². Теперь представим это событие в виде суммы несовместных событий A=A₁A₂A₃+A₁A₂A₃+A₁A₂A₃. Поскольку события несовместны, P(A) = P(A₁A₂A₃) + P(A₁A₂A₃) + P(A₁A₂A₃).

Так как события независимы, вероятность их произведения равна произведению вероятностей. Р(А)=p, P(A)=q. Тогда Р(А) = qqp + qpq + pqq = 3(pqq)=3pq². Результаты совпадают.

1. Условная вероятность. Пример вычисления условной вероятности в классической схеме. Свойства условной вероятности.

Условной вероятностью Р(А|B) события А относительно события В, если Р(В) > 0, называется вероятность осуществления события А при условии, что событие В уже произошло. Условная вероятность определяется формулой Р(А|B) = (по определению) P(AB)/P(B). Рассмотрим опыт G, сводящийся к схеме случаев, и предположим, что событиям А, В, АВ благоприятствуют соответственно m_A, m_B > 0, m_AB случаев из всех n возможных. Допустим, что событие В уже произошло. Это означает, что из всех возможных n случаев реально могло появиться только m_B случаев, причем из них только m_AB случаев благоприятствуют событию А. Тогда Р(А|B) = m_AB/m_B.

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B). Свойства условной вероятности:

- Р(А|) = Р(А).

- Если события А и В несовместны, то Р(А|B)=0.

- Если события А и В независимы, то Р(А|B) = P(A). События независимы тогда и только тогда, когда условная вероятность совпадает с безусловной.

- Условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности.

- Если В  А, то Р(А|B)=1.

П ример: Пусть опыт G состоит в подбрасывании монеты. Монету подбросили. В первый раз выпала решка. Какова вероятность того, что и во второй раз выпадет решка? Решение: Обозначим событие А (в первый раз выпала решка) и событие В (во второй раз выпала решка). Р(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/4)/(1/2)=1/2. Обратим внимание, что Р(В|A)=P(B), что говорит о том, что события А и В независимы.