Анализ вычислительной сложности ФС (Файлы для подготовки к экзамену)
Описание файла
Файл "Анализ вычислительной сложности ФС" внутри архива находится в папке "Файлы для подготовки к экзамену". Документ из архива "Файлы для подготовки к экзамену", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "параллельные системы и параллельные вычисления" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "параллельные системы и параллельные вычисления" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Анализ вычислительной сложности ФС"
Текст из документа "Анализ вычислительной сложности ФС"
5
Анализ вычислительной сложности ФС и их целенаправленные эквивалентные преобразования
Методы оценки вычислительной сложности позволяют получить числовые характеристики сложности параллельного выполнения ФС программ по сложностным оценкам элементарных функций, используемым при их написании.
Исчисление эквивалентности ФС программ дает возможность осуществлять их целенаправленные эквивалентные преобразования. Целью таких преобразований может быть улучшение некоторых качеств программы, например, времени параллельного выполнения.
1. Анализ вычислительной сложности функциональных программ
Практический интерес представляет возможность получения точных оценок времени параллельного выполнения функциональных программ (ФП) при достаточно общих предположениях: известных данных о времени выполнения элементарных функций в ФП и вероятности осуществления (неосуществления) условных переходов в ней.
В [1] разработана формальная система, позволяющая определять время параллельного вычисления значений функций по заданным характеристикам временной сложности элементарных функций, входящих в представление функции, и вероятностям осуществления условных переходов.
Пусть задана функциональная схема (ФС) Xi = ti, i = 1, 2, … ,n; F = {fi | i = 1, 2, …, k} – множество всех входящих в термы ti, i = 1, 2, …, n, базисных функций.
В [1] показано, что термы ti в задании ФС могут быть представлены в эквивалентной форме ti = ti1 ti2 … tik, i = 1, 2, …, n, где каждый терм tij не содержит операции ортогонального объединения и все термы попарно ортогональны.
Пусть C(R) – функция, определяющая сложность параллельного вычисления значения функции R.
Для любой базисной функции fi предполагается, что C(fi) задано и представляет собой некоторое действительное число. Также предполагается, что на области определения DR интересующей функции R для каждого терма tij в описанном выше ее представлении задана вероятность qij того, что именно его значение будет определено при вычислении значения ti(d) для dDR. Эта вероятность напрямую связана в общем случае с условием, определяющим выполнение этого события. Также должно выполняться естественное требование 
для любого i.
При этих условиях сложность параллельного вычисления значения функций Xi в задании ФС может быть определена следующим образом [1].
По заданию ФС последовательно вычисляются «приближения» фиксированной точки для Xi согласно известной процедуре [1]:
Xi(0) = (нигде неопределенная функция),
Xi(k+1) = [Xj(k)/Xj | j = 1, 2, …, n]ti, i = 1, 2, …, n, k>=0. Здесь [Xj(k)/Xj | j = 1, 2, …, n]ti есть результат одновременной подстановки переменных Xj(k) вместо всех вхождений Xj в терм ti.
Очевидно, терм в правой части приближения Xj(k) не содержит функциональной переменной Xi. После его приведения к указанной выше эквивалентной форме, согласно [2], его вычислительная сложность определяется индукцией по построению:
C(fi) = ti (время вычисления значения базисной функции fi)
C(tt) = max{C(t) , C(t)}
C(tt) = max{C(t) , C(t)}
C(tt) = C(t) + C(t)
Зная в ортогональном представлении Xi(k) = ti1(k)ti2(k) . ..tivi(k) вероятности qij, i, j = 1, 2, …, vi, того, что при вычислении значения Xi(k)(d) будет определено tij(k)(d) = d (остальные значения tit(k)(d), it ij, будут не определены в силу того, что функции tij(k), i = 1, 2, …, vi попарно ортогональны) можно считать, что среднее время вычисления Xi(k)(d) для любого d из области определения Ximin (минимальной фиксированной точки для Xi) равно 
.
Более точно, эта формула есть промежуточный шаг в определении среднего времени вычисления Ximin при применении Ximin к любому элементу из области ее определения.
Среднее время параллельного вычисления значений функции Ximin определяется как Ci(Xi (kmin)) для минимального значения k = kmin такого, что |Ci(Xi(k)) - Ci(Xi(k+1))| , где заданная – точность вычисления среднего значения.
Описанная итеративная процедура вычисления среднего времени параллельного вычисления значений функций сходится [1]. Вместо нее можно применять другой, точный метод вычисления среднего значения, который сводится к решению множества систем линейных уравнений, построенных по ФС, в которых в качестве неизвестных выступают средние времена сложности C(Xi) параллельных вычислений значений функций Xi в задании ФС. Рассмотрим этот метод на примерах.
Пример 1. Вычисление факториала.
Scheme factorial
{
factorial = (id*).eq -> + (id*).ne -> (id * (id*).minus.@) . mult;
}
Зададим оценки сложности выполнения элементарных функций:
| Элементарная функция F | Сложность элементарной функции C(F) |
| id | 15 |
| const | 5 |
| eq | 15 |
| ne | 15 |
| minus | 10 |
| mult | 20 |
Пусть p1 – вероятность выполнения левой ветви, p2 – вероятность выполнения правой ветви. Понятно, что p1 + p2 = 1. Отметим, что в нашем случае, p1 = 1/(n + 1).
Вычислим сложность данной ФС при параллельном выполнении:
C0(factorial) = p1∙C0((id*).eq ) + p2∙C0((id*).ne (id*(id*).minus. factorial).mult) = p1∙max{C0((id*).eq), C()} + p2∙max{C0((id*).ne), C0(id*(id*).minus. factorial) + C0(mult)} = p1∙max{C0(id*) + C0(eq), C0()} + p2∙max{C0(id*) + C0(ne), C0(id*(id*).minus) + C0(factorial) + C0(mult)} = p1∙max{max{C0(id), C0()} + C0(eq), C0()} + p2∙max{max{C0(id), C0()} + C0(ne), C0(id*(id*)) + C0(minus) + C0(factorial) + C0(mult)} = p1∙max{max{15, 5} + 15, 5} + p2∙max{max{15, 5} + 15, max{C0(id), C0(id*)} + C0(minus) + C0(factorial) + C0(mult)} = p1∙max{30, 5} + p2∙max{30, max{15, max{C0(id), C0()} + C0(minus) +C0(factorial) + C0(mult)} = 30∙p1 + p2∙max{30, max{15, max{15, 5} + 10 + C0(factorial) + 20} = 30∙p1 + p2*max{30, max{15, 15 + 10 + C0(factorial) + 20}} = 30∙p1 + p2∙max{30, 45 + C0(factorial)} = 30∙p1 +p2∙(45 + C0(factorial)).
Т.о., имеем: C0(factorial) = 30∙p1 + 45∙p2 + p2∙C0(factorial). Откуда получаем: C0(factorial) = (30∙p1 + 45∙p2)/(1 – p2). При p1 = 0.1 и p2 = 0.9 получаем сложность параллельного выполнения C0(factorial) = 435.
Вычислим, далее, сложность ФС при последовательном выполнении:
C1(factorial) = p1∙C1((id*).eq ) + p2∙C1((id*).ne (id*(id*).minus. factorial).mult) = p1∙(C1((id*).eq) + C1()) + p2∙(C1((id*).ne) + C1((id*(id*).minus. factorial).mult)) = p1∙(C1(id*) + C1(eq) + C1()) + p2∙(C1(id*) + C1(ne) + C1(id*(id*).minus. factorial)) + C1(mult)) = p1∙(C1(id) + C1() + C1(eq) + C1()) + p2∙(C1(id) + C1() + C1(ne) + C1(id*(id*).minus) + C1(factorial) + C1(mult)) = p1∙( C1(id) + C1() + C1(eq) + C1()) + p2∙(C1(id) + C1() + C1(ne) + C1(id*(id*)) + C1(minus) + C1(factorial) + C1(mult)) = p1∙( C1(id) + C1() + C1(eq) + C1()) + p2∙( C1(id) + C1() + C1(ne) + C1(id) + C1(id*) + C1(minus) + C1(factorial) + C1(mult)) = p1∙( C1(id) + C1() + C1(eq) + C1()) + p2∙( C1(id) + C1() + C1(ne) + C1(id) + C1(id) + C1() + C1(minus) + C1(factorial) + C1(mult)) = p1∙(15 + 5 + 15 + 5) + p2∙(15 + 5 + 15 + 15 + 15 + 5 + 10 + C1(factorial) + 20) = 40∙p1 + p2∙(100 + C1(factorial)).
Т.о., имеем: C1(factorial) = 40∙p1 + 100∙p2 + p2∙C1(factorial). Откуда получаем: C1(factorial) = (40∙p1 + 100∙p2)/(1 – p2). При p1 = 0.1 и p2 = 0.9 получаем сложность последовательного выполнения C1(factorial) = 940
Ответ: C0(factorial) = 435, C1(factorial) = 940 (при заданных значениях сложностей элементарных функций и вероятностей условных переходов).
В приведенном примере рассматриваемая ФС состояла из одного функционального уравнения. Далее рассмотрим пример ФС, состоящей из нескольких функциональных уравнений.
Пример 2. Вычисление факториала методом “разделяй и властвуй”.
Scheme factorial
{
factorial = (*id).F;
F = eq -> I(1,2) + ne -> ((I(1,2)*AVG).F * (AVG.INC * I(2,2)).F).mult;
AVG = (plus*).div.round;
INC = (id*).plus;
}
Зададим оценки сложности выполнения элементарных функций:
| Элементарная функция F | Сложность элементарной функции C(F) |
| id | 15 |
| const | 5 |
| eq | 15 |
| ne | 15 |
| I | 1 |
| mult | 20 |
| plus | 10 |
| div | 20 |
| round | 10 |
Вычислим сложность данной ФС при параллельном выполнении:
C0(factorial) = C0((*id).F);
C0(F) = p1∙C0(eq I(1,2)) + p2∙C0(ne ((I(1,2)*AVG).F*(AVG.INC*I(2,2)).F).mult);
C0(AVG) = C0((plus*).div.round);
C0(INC) = C0((id*).plus);
p1 и p2 во втором уравнении – вероятности выполнения левой и правой ветвей в условном переходе (в определении F) соответственно.
C0(factorial) = C0(*id) + C0(F) = max{C0(), C0(id)} + C0(F) = max{5, 15} + C0(F) = 15 + C0(F);
C0(AVG) = C0((plus*).div) + C0(round) = C0(plus*) + C0(div) + C0(round) = max{C0(plus), C0()} + C0(div) + C0(round) = max{10, 5} + 20 + 10 = 40;
C0(INC) = C0(id*) + C0(plus) = max{C0(id), C0()} + C0(plus) = max{15, 5} + 10 = 25;
C0(F) = p1∙max{C0(eq), C0(I(1,2)} + p2∙max{C0(ne), max{C0((I(1,2)*AVG).F), C0((AVG.INC*I(2,2)).F)} + C0(mult)} = p1∙max{15, 1} + p2∙max{15, max{max{C0(I(1,2)), C0(AVG)} + C0(F), max{C0(AVG.INC), C0(I(2,2))} + C0(F)} + C0(mult)} = 15∙p1 + p2∙max{15, max{max{1, C0(AVG)} + C0(F), max{C0(AVG) + C0(INC), 1} + C0(F) + 20} = 15∙p1 + p2∙max{15, max{C0(AVG) + C0(F), max{C0(AVG) + C0(INC), 1} + C0(F) + 20} = 15∙p1 + p2∙max{15, max{C0(AVG) + C0(F), max{ C0(AVG) + C0(INC), 1} + C0(F) + 20}} = 15∙p1 + p2∙max{15, max{C0(AVG) + C0(F), C0(AVG) + C0(INC) + 20 + C0(F)}} = 15∙p1 + p2∙max{15, C0(AVG) + C0(INC) + 20 + C0(F)} = 15∙p1 + p2∙( C0(AVG) + C0(INC) + 20 + C0(F));
Т.о., для F имеем: C0(F) = 15∙p1 + (C0(AVG) + C0(INC) + 20)∙p2 + p2∙C0(F).
C0(F) = (15∙p1 + (C0(AVG) + C0(INC) + 20)∙p2)/(1 – p2).
p1 = 10/19; p2 = 1 – p1 = 9/19;
C0(factorial) = 15 + C0(F);
C0(AVG) = 40;
C0(INC) = 25;
C0(F) = (15∙p1 + (C0(AVG) + C0(INC) + 20)∙p2)/(1 – p2).
C0(F) = 91.597;
