Все ответы к экзамену по Теории Вероятностей

Список вопросов:

1. Основные понятия: случайное  событие, вероятность, вероятностное пространство. Следствия определения вероятности.

2. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Задача о встрече.

3. Условная вероятность, формула умножения вероятностей, независимость случайных событий.

4. Формула полной вероятности и формула Байеса.

5. Одномерные случайные величины. Независимые испытания Бернулли.

6. Теоремы Муавра-Лапласа.

7. Теорема Пуассона.

8. Однородный пуассоновский поток случайных точек.

9. Функции распределения и их свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины.

10. Преобразование случайных величин. Примеры: линейное преобразование, логарифмически нормальное распределение.

11. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия. Примеры: распределение Бернулли, Пуассона, нормальное, равномерное.

12. Интеграл Стильтьеса. Общее определение математического ожидания.

13. Математическое ожидание функции от случайной величины. Моменты случайной величины (моменты распределения).

14. Многомерные случайные величины, дискретные и непрерывные; функции распределения и их свойства.

15. Независимость случайных величин. Условные распределения.

16. Преобразование многомерных случайных величин.  Распределение суммы двух случайных величин.

17. Свойства математического ожидания. Примеры..

18. Свойства дисперсии. Примеры.

19. Числовые характеристики многомерных случайных величин.

20. Коэффициент корреляции и его свойства.

21. Свойства математического ожидания и дисперсионной матрицы.

22. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева.

23. Характеристические функции и их свойства.

24. Центральная предельная теорема. Доказательство для случая независимых одинаково распределенных слагаемых.

25. Примеры применения центральной предельной теоремы: оценка ошибок округления, расчет устройств со случайными параметрами. 

1. Основные понятия: случайное событие, вероятность, вероятностное пространство. Следствия определения вероятности.

Неформально: случайное событие А' — это событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента. Иначе: случайное событие А' — это предполо­жение относительно результата эксперимента.

Формальное определение: случайное событие А — это подмно­жество элементов из Ω: А Ω.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

1. Два случайных события А' и В' (два предположения) называются эквивалентными, если им соответствует одно и то же множество элемен­тарных исходов. Например, в эксперименте бросания игральной кости, случайные события А'= {появление нечетного числа} и В' = {появление 1 или простого числа, не равного 2}. Этим двум случайным событиям соответствует одно и то же множе­ство исходов {1, 3, 5}, поэтому они эквивалентны.

2. Событие называется достоверным, если оно имеет место при лю­бом исходе эксперимента. Ему соответствует все множество Ω. Напри­мер, в эксперименте бросания игральной кости событие А = {появление числа, превышающего 0}.

3. Событие называется невозможным, если оно не реализуется ни при одном исходе эксперимента. Ему соответствует пустое множество . Например, в нашем эксперименте событие А = {появление числа, боль­шего 10}.

4. Событие С называется суммой (или объединением) событий А и В, если оно состоит в наступлении хотя бы одного из них и обозначается С = А + В или C = A B.

5. Событие С называется произведением событий А и В, если оно со­стоит в их одновременном наступлении; обозначается С=АВ или С = А В.

6. Два события называются несовместными, если их одновременное наступление невозможно: А В = .

7. Говорят, что «событие А влечет В», если каждый раз, когда на­ступает А, наступает и В. Обозначается

А=>В или А В.

8. Событие С называется разностью событий А и В, если оно состоит в появлении А и непоявлении В; обозначается С = А — В или С = А\В.

9. Событие называется противоположным к А, если оно состоит в непоявлении А.

10. Система событий {А₁,..., A_n} называется полной группой событий, если в результате эксперимента имеет место одно и только одно из них. Это означает: .

Вероятность

Предположим, имеется некоторый эксперимент, где Ω — множество его возможных исходов; А — некоторое случайное событие, например бросание игральной кости; А = {появление четного числа}.

Повторим n раз эксперимент и подсчитаем количество (частоту) появлений события A. Обозначим относительную частоту появления А.

Проделаем эксперимент много раз. Относительная частота с ростом n стабилизируется, частота стремится к некоторому предельному значению, обозначим его Р(А). Ес­ли мы зафиксируем другое случайное событие В, например В = {появле­ние «6»}, то мы снова заметим, что частота стабилизируется, но стремится к другому значению — обозначим его Р(В). Эти наблюдения говорят нам о том, что каждому случайному событию объективно со­ответствует некоторое число — предел, к которому стремится отно­сительная частота. Этот предел назовем вероятностью (точнее, стати­стической вероятностью).

Итак, неформально, физически (точнее, статистически), вероят­ность есть объективная характеристика случайного события, даю­щая представление о том, как часто появится событие при много­кратном повторении опыта.

Итак, статистическая вероятность — это предел для относительной частоты . Очевидны свойства статистической вероятности:

1) Р(А)≥0;

2) P(Ω)=1;

3) если А и В несовместны, т.е. , то Р(А+В) = Р(А)+Р(В), это следует из соотношения несовместности после деления на n и перехода к пределу.

В математической теории вероятность вводится следующим образом.

Аксиоматическое определение: числовая функция Р(А), введенная на подмножествах из Ω и удовлетворяющая свойствам 1, 2, 3, назы­вается вероятностью.

При таком подходе соотношения 1, 2, 3 являются аксиомами вероят­ности, аксиома 3 называется аксиомой сложения. Дополнительно пред­полагается, что аксиома 3 верна для счетного числа несовместных собы­тий:

3а) расширенная аксиома сложения. Если , то

.

Замечание. Механическим аналогом веро­ятности случайного события является вес соответствующего множества элементов, численно равный вероятности, причем вес Ω равен 1. Очевид­но, аксиомы 1, 2 и 3 для веса выполняются.

Вероятностное пространство

Математическая теория вероятностей изучает объект {Ω,S,P}, который называется вероятностным пространством, где Ω— пространство элементарных исходов эксперимента, числовая функция Р() и область определения этой функции — система S случайных собы­тий, т. е. система подмножеств из Ω.

Требования к S:

1) Ω∈S;

2) если , , то ;

2а) для счетного числа событий А₁, ... , А_n, ... , если , .

Если система S удовлетворяет свойствам 1, 2, 2а, она называется σ-алгеброй событий.

Следствия определения понятия вероятности

1. Вероятность невозможного события равна 0: .

Док-во: 1 = P(Ω) = P( ) = P(Ω) + P( ) = 1 + P( ), где 1-е равенство есть 2-я аксиома, а 3-е равенство верно по 3-й аксиоме.

2. Вероятность противоположного события равна 1 минус вероят­ность события A: Р( )=1-Р(А).

Док-во: 1 = P(Ω) = Р( ) = Р(А) + Р( ).

3. Вероятность любого события не превосходит 1: 0≤P(A)≤1.

Док-во: следует из предыдущего свойства и первой аксиомы.

4. Если А => В, то Р(А)≤Р(В).

Док-во: поскольку В = А ∪ (В\А) и события А и (В\А) несо­вместны, то Р(В) = Р(А) + Р(В\А) ≥ Р(А).

5. Формула сложения вероятностей. Для любых событий А и В: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Док-во: А ∪ B = А ∪ (В\А), причем А и (В\А) несовместны, и потому Р(А∪B) = Р(А) + Р(В\А) (1).

Далее, B = АB ∪ (В\А), причем АВ и (В\А) несовместны и потому Р(В) = Р(АВ) +Р(В\А) (2).

Подставляя в (1) Р(В\А) из (2), получим искомое равенство.

Следствие. Р(А+В) ≤ Р(А) + Р(В).

5а (обобщение). Формула сложения для n слагаемых:

Справедливость формулы показывается методом математической ин­дукции.

2. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Задача о встрече.

Пусть эксперимент имеет конечное число исходов |Ω| = n, и все исходы «равноправны» (равновозможны, равновероятны). Это означает (в силу аксиом 2 и 3), что каждому исходу эксперимента соответствует одна и та же вероятность 1/n, и, следовательно, если |A|=k, то по 3-й аксиоме ,

что означает: вероятность события есть отношение числа исходов, бла­гоприятствующих появлению события, к общему числу исходов.

Это соотношение можно обобщить. Пусть S = {А₁, ..., А_т} — полная группа событий (т.е. ). Пусть все события «равноправны» (равновозможны, равновероятны). Тогда каждому событию из S соответст­вует вероятность 1/т . Если событие В состоит из r событий системы S, то , т.е. отношение числа событий, входящих в В, к общему числу событий в S.

Геометрические вероятности