Диффузия

11.3. ДИФФУЗИЯ

11.3.1. Общие положения

Явлением диффузии называется самопроизвольное взаим­ное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасаю­щихся тел независимо от их агрегатного состояния. В полу­проводниковой технологии процесс диффузии представляет собой направленный перенос атомов примесей или основного вещества, обусловленный тепловым движением или градиен­том концентрации примеси. В технологии изготовления ИС высокотемпературная диффузия используется преимуществен­но для получения легированных слоев в полупроводниковой пластине с различным типом проводимости.

Явление диффузии в одномерном случае описывается пер­вым законом Фика

dI= -D*N / x*dSdt, (11.3.1)

где dI — количество частиц диффундирующего вещества, ко­торое переносится за время dt через элементарную площадку dS в направлении нормали х к рассматриваемой площадке в сторону убывания концентрации этого вещества; D — коэф­фициент диффузии, см²/с.

Для решения задач, связанных с распределением примесей в твердых телах с течением времени при постоянной темпе­ратуре и отсутствии воздействия внешних сил, обычно поль­зуются другим дифференциальным уравнением диффузии (второй закон Фика):

N/t =д/дх(D*N/x) (11.3.2)

Это уравнение позволяет по заранее известному коэффициен­ту диффузии и заданным начальным и граничным условиям определить профиль концентрации диффундирующего веще­ства, поток вещества через какую-либо поверхность и другие характеристики процесса диффузии. Начальные и граничные условия определяются способом введения легирующих ато­мов. Диффузия может происходить из легированного окси­дами примеси слоя окиси кремния SiO₂, ионно-имплантированных слоев, в потоке газа-носителя. Все перечисленные выше случаи вследствие различных граничных и начальных условий определяют конкретный вид решения уравнения диф­фузии (11.3.2).

Помимо описанных выше соотношений математической диффузии на основе сплошных сред существует атомистичес­кая теория. Она учитывает, с одной стороны, взаимодействие между точечными дефектами, а с другой — между примесны­ми атомами.

11.3.2. Модели диффузии в кристалле

Механизм диффузии в значительной степени обусловлен ближайшим окружением атома. Термодинамические расчеты показывают, что в объеме монокристаллического твердого тела при температуре отличной от абсолютного нуля всегда существуют точечные дефекты — вакансии и междууэельные атомы. Диффузия может быть представлена как движение атомов примеси в кристаллической решетке по вакансиям или за счет междуузельных атомов.

Р
ис.11.3.1.Модели атомных механиз­мов диффузии для плоской решетки

На рис. 11.3.1 с помощью упро­щенной плоской кристаллической решетки представлены ос­новные атомные модели диффузии. Существуют различные возможности для перемещения атомов по кристаллу: а) пере­мещение атомов примеси по вакансиям; б) перемещение ато­мов по междоузлиям; в) эстафетное перемещение, когда атом примеси вытесняет атом решетки в междоузлие; г) краудионный механизм перемещения, когда междуузельный атом, рас­положенный посередине между двумя узлами решетки, пере­мещается к одному из них, смещая одновременно атом, рас­положенный в узле. Перемещение атомов по вакантному и эстафетному механизмам реализуется обычно в растворах замещения, а в растворах внедрения — по междуузельному ме­ханизму.

Ситуация значительно усложняется при наличии фазовых превращений в бинарных твердых растворах, когда новая фаза отличается от матрицы не только структурой, но и составом. При этом диффузионное перераспределение атомов примеси должно сочетаться с перестройкой структуры основ­ного вещества.

Как показывают теоретические исследования, выражение для коэффициента Диффузии, учитывающее все возможные варианты взаимодействия примесей с точечными дефектами имеет следующий вид:

(11.3.3)

где D^x — собственный коэффициент диффузии, учитывающий взаимодействие примеси с нейтральным точечным дефектом; индекс х соответствует нейтральному зарядовому состоянию дефекта; D^- и D⁺ — собственные коэффициенты диффузии, учитывающие взаимодействие примеси с ионизированным то­чечным дефектом, соответственно акцепторного и донорного типа; индекс r в D^-r и D^+r соответствует степени ионизации точечного дефекта, а для членов (N/N_i)^r является показателем степени; N — концентрация примеси.

Уравнение (11.3.3) рассматривают как феноменологическое выражение зависимости коэффициента диффузии от концен­трации примеси, которое описывает диффузионные явления за рамками уравнения диффузии Фика (11.3.2).

11.3.3. Физические основы процессов диффузии

Общее решетке уравнения диффузии в случае неограниченного тела

Решая уравнения (11.3.2), как отмечалось, для каждого кон­кретного случая можно определить диффузионный профиль в любой момент времени t. Применив метод разделения пере­менных (в общем случае для неограниченного тела), можно получить следующее выражение:

(11.3.4)

где f(x)—начальное распределение концентраций, равное N(x,0). С практической точки зрения интерес представляют два частных случая, характеризующие в какой-то мере две стадии диффузии, применяемые в технологии изготовления элементов ИС.

Первый случай представляет собой диффузию примеси от поверхности с постоянной концентрацией или диффузию из источника неограниченной мощности. Поверхностная концен­трация в этих условиях остается постоянной, а граничные условия при этом можно записать как

N(x, 0)=0, х≥0;

N(0, t)=N₀, t≥0. (11.3.5)

Решение (11.3.4) в этом случае принимает следующий вид:

(11.3.6)

где erfc означает дополнительную функцию ошибок. Распре­деление примесей в соответствии с уравнением (11.3.6) пока­зано на рис. 11.3.2.

Рассмотренный пример реализуется обычно при малых поверхностных концентрациях примеси no и больших глуби­нах диффузии.

Рассмотрим второй случай, который называется диффузией из ограниченного источника. В этом случае начальное распределение концентрации примеси в окрестности некоторой точки а имеет постоянное значение N₀, а за ее пределами обращается в нуль:

(11.3.7)

Общее решение уравнения (11.3.4) при этом примет следую­щий вид:

(11.3.8)

К

оличество вещества Q в интервале (а-h, a+h) в случае одномерной диффузии находится по формуле Q=N₀2h, после устремления h к нулю для распределения концентраций по­лучим следующее выражение:

(11.3.9)

Распределение (11.3.9), представленное на рис. 11.3.2, обычно называют гауссовским распределением. Последнее решение в практике легирования имеет важное значение и соответ­ствует диффузии из очень тонкого легированного слоя, рас­положенного у самой поверхности образца, причем диффузия наружу от образца исключается наличием соответствующей защиты, например слоя оксида.

Р
ис.11.3.2. Распределение примесей при диффузии из постоянного (а) и ограниченного (б) источников

Следует отметить, что ряд задач диффузии решается при граничных условиях, отличных от вышеописанных. Рассмот­рим процесс диффузии, когда поток диффундирующей при­меси через поверхность образца отсутствует, т. е. граница является непроницаемой. Обратимся к формуле (11.3.1), описывающей перенос атомов и по существу являющейся фор­мулой для диффузионного потока. Отсутствие потока при­месей для всех t0 через поверхность x=0 означает равен­ство нулю выражения для потока

(11.3.10)

В

случае испарения примеси из образца диффузионное урав­нение Фика (11.3.2) решается при следующем граничном усло­вии:

(11.3.11)

где  — константа, определяющая скорость прохождения час­тиц примеси через поверхность образца из его объема.

Функция ошибок

В
табл. 11.3.1 приведены некоторые частные случаи решения одномерного уравнения диффузии.

Рис. 11.3.3. График функции y=erfc(x)exp(x²)

Р

ешение диффузионного уравнения (11.3.2) в ряде случаев описывается функцией ошибок или ее комбинацией с пока­зательной функцией (рис. 11.3.3). Рассмотрим функцию ошибок и некоторые ее свойства. Функция ошибок выражается так:

(11.3.12)

Д

ополнительная функция ошибок определяется как

(11.3.13)

Рассмотрим некоторые их общие свойства;

erf(0) = 0, erf() = l

Функция ошибок может быть аппроксимирована выражением
erf(x)= 1-(a₁t+a₂t²+ a₃t³)e^-x+(x) (11.3.14)

Таблица 11.3.2

x	erf x	x	erf x
0,00	0,00	1,00	0,84270
0,05	0,05637	1,05	0,86244
0,10	0,11246	1,10	0,88021
0,15	0,16800	1,15	0,89612
0,20	0,22270	1,20	0,91031
0,25	0,27632	1,25	0,92290
0,30	0,32862	1,30	0,93401
0,35	0,37938	1,35	0,94376
0,40	0,42839	1,40	0,95229
0,45	0,47548	1,45	0,95970
0,50	0,52050	1,50	0,96611
0,55	0,56332	1,55	0,97162
0,60	0,60386	1.60	0,97635
0,65	0,64202	1,65	0,98038
0,70	0,67780	1,70	0,98379
0,75	0,71116	1,75	0,98667
0,80	0,74210	1,80	0,98909
0,85	0,77067	1,85	0,99111
0,90	0,79691	1,90	0,99279
0,95	0,82089	1,95	0,99418
		2,00	0,99532