Теория к ВМСС

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Содержание

1. Системы счисления.

   1. Непозиционные и позиционные системы счисления.

   2. Представление чисел в позиционных системах счисления.

   3. Выбор оптимальной системы счисления.

2. Выполнение арифметических операций в различных системах счисления.

   1. Выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления.

   2. Выполнение арифметических операций в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

3. Перевод чисел из одной позиционной системы в другую.

   1. Основные способы перевода чисел.

   2. Перевод целых чисел.

   3. Перевод правильной дроби.

   4. Перевод произвольных чисел.

4. Формы представления чисел в ЭВМ.

   1. Формы представления чисел в форме с фиксированной точкой.

   2. Представление чисел в форме с плавающей точкой.

5. Логические основы ОВТ.

6. Список используемой литературы.

Арифметические основы вычислительной техники

Чтобы понять, как представляется информация в средствах вычислительной техники (СВТ), необходимо рассмотреть арифметические и логические основы СВТ, опирающиеся на такие понятия, как системы счисления и способы представления алфавитно-цифровой информации.

1. Системы счисления

1.1. Непозиционные и позиционные системы счисления

Система счисления – совокупность приемов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционная система счисления – система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Они использовались в древности римлянами, египтянами, славянами и другими народами. Примером непозиционной системы счисления, дошедшей до наших дней, служит римская система счисления.

Цифры в римской системе обозначаются различными знаками: 1-I; 2-II; 3-III; 5-\/; 10-X; 50-L; 100-C; 500-D; 1000-M. Для записи промежуточных чисел существует правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а слева – вычитается из него. Так, IV обозначает 4, VI – 6, XL – 60, XC – 90 и т.д. Основной недостаток непозиционных систем – большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Непозиционная система счисления – система, в которой значение символа зависит от его места в ряду цифр, изображающих число [1].

Для позиционных систем счисления характерно представление числа в виде последовательности цифр X = x₁x₂x₃...x_k...x_n, в которой значение каждой цифры x_k зависит от места ее расположения в последовательности.

Например, в числе 7382 первая цифра слева означает количество тысяч, вторая – количество сотен, третья – количество десятков и четвертая – количество единиц. Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они и получили наибольшее распространение. Позиционная система счисления характеризуется основанием.

Основание (базис) системы счисления – с одной стороны, определяет количество знаков или символов, используемых в разрядах для изображения числа в данной системе счисления, а с другой – число, показывающее, во сколько раз вес цифры данного разряда меньше веса цифры соседнего старшего разряда.

Для позиционной системы счисления с одним основанием справедливо равенство

(1)

где q – основание позиционной системы счисления – целое положительное число; X(q) – произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q; a_i – коэффициент ряда (цифры системы счисления); n, m – количество целых и дробных разрядов.

На практике используют сокращенную запись чисел, т.е.

Возможно множество позиционных систем, так как за основание можно принять любое целое число.

Так, базис десятичной системы счисления составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Всякое число, заданное в позиционной системе счисления, в соответствии с (1), может быть представлено в виде полинома, например

7942=710³+910²+410¹+210⁰

7942,561=710³+910²+410¹+210⁰+510^-1+610^-2+110^-3

Основанием системы счисления может быть любое натуральное число, большее 1. Возьмем в качестве основания системы счисления число 2. Тогда базис будет включать цифры 0 и 1 и все числа могут состоять только из нулей и единиц. Числа 1, 2, 3, 4 и 5, заданные в десятичной системе счисления будут выглядеть так: 1, 10, 11, 100 и 101. В троичной системе счисления (базис включает цифры 0, 1 и 2) числа могут содержать только цифры 0, 1 и 2 и эти же числа запишутся так 1, 2, 10, 11, 12. Нетрудно заметить, что роль “десятки” играет основание системы счисления [2].

Для представления в Эвм любого n - разрядного числа (без учета знака) необходимо либо n физических элементов с q устойчивыми состояниями, либо n*k_x элементов с двумя устойчивыми состояниями, где k_x- минимально необходимое число двоичных разрядов, требующихся для кодирования любой цифры числа с основанием q, выбирается из условия q  2^kx.

Для первого случая, если рассматриваемые физические элементы для любого числа устойчивых состояний одинаковы по своим основным параметрам (надежность, быстродействие, габариты, стоимость), наиболее рациональной системой счисления с точки зрения минимума оборудования для представления числа в ЭВМ будет система с большим основанием q. Однако в настоящее время элементы с более чем двумя устойчивыми состояниями (декатроны, трохотроны и др.) имеют существенные недостатки по указанным выше основным параметрам, поэтому в ЭВМ в основном используются двоичные и так называемые двоично-кодированные системы счисления, а не привычная десятичная система счисления [3].

В вычислительной технике наибольшее применение получили двоичная, четверичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Основания различных систем счисления обычно называют в десятичной системе счисления. В теоретическом отношении все системы счисления равноправны. Лишь на практике отдельным системам счисления отдаётся предпочтение для тех или иных применений. Во всех системах счисления по одним и тем же правилам выполняются арифметические операции, справедливы одни и те же законы: ассоциативный, дистрибутивный и др.

Кратко рассмотрим представления чисел в указанных системах счисления.

1.2. Представления чисел в позиционных системах счисления

В десятичной системе счисления основание q=10; любое целое число записывается как сумма величин 10⁰, 10¹, 10² и т. д., каждая из которых может быть взята 1–9 раз. Число 10 изображается цифрами 1 и 0.

Например, последовательность цифр 4627,31, изображающая число в десятичной системе счисления, представляет собой сокращенную запись выражения 410³+610²+210¹+710⁰+310^-1+110^-2.

В двоичной системе счисления для записи чисел используются две цифры: 0 и 1. Основание системы q=2 записывается как 10₂=[12¹+02⁰]₁₀. В данной системе любое число может быть представлено последовательностью двоичных цифр. Эта запись соответствует сумме степеней цифры 2, взятых с указанными в ней коэффициентами:

X=a_m2^m+a_m-12^m-1+…a₁2¹+a₀2⁰+a_-12^-2+а_-22^-2+… . . ..

Например, двоичное число

(10101101,101)₂=(12⁷+02⁶+12⁵+02⁴+12³+

+12²+02¹+12⁰+12^-1+02^-2+12^-3)₁₀=173,625₁₀.

В троичной системе счисления для записи чисел используют цифры 0, 1, 2.

Например, 2122₍₃₎=(23³+13²+23¹+23⁰).

Значения шестнадцати целых чисел в системах соответственно с основаниями q=2, 4, 8 и 16 приведены в таблице 1.

В системе счисления с основанием q=4 используют цифры 0–3; с q=8 – цифры 0–7; c q=16 – цифры 0–9 и буквы А, В, С, Д, Е, F. Здесь A, B, C, D, E, F обозначают соответственно цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15. Например, число 159₁₀ в системах счисления с q=4, 8, 16 будет иметь вид 159₁₀=2133₄=[24³+14²+34¹+34⁰]₁₀;

159₁₀=[237₈=28²+38¹+78⁰]₁₀; 159₁₀=9F₁₆=[916¹+F16⁰]₁₀^.

Вес разряда p_i числа в позиционной системе счисления есть отношение вида p_i=q_i/q₀=q_i, где i-номер разряда справа налево.

Если разряд имеет вес p_i=q_i , то следующий старший разряд будет иметь вес p_i+1=q_i-1. Таким образом, в позиционной системе счисления вес разряда определяется его положением (позицией) в числе.

Таблица 1.

Ниже приведены веса разрядных позиций в десятичной системе счисления:

Веса цифровой

позиции . . . 1000 100 10 1

П ример десятичного

числа 2 1 6 3