17,18,20 (вопросы и ответы к билетам по ТАУ)

17. Анализ поведения СУ на фазовой плоскости. Характеристики фазовых портретов.

Для получения полного представления о поведении автономной системы второго порядка, в частности анализа устойчивости, необходимо изобразить на фазовой плоскости все характерные фазовые траектории системы, т.е. построить фазовый портрет системы управления.

Фазовые траектории трех типов для уравнения :

1. Точка (х0,0), если уравнение имеет постоянное решение, то точка называется положением равновесия системы. Если в любой окрестности положения равновесия имеется хотя бы одна фазовая траектория, уходящая от него при , то точка равновесия является неустойчивой. Если же все фазовые траектории в окрестности точки равновесия неограниченно приближаются к ней при , то данное положение равновесия называется асимптотически устойчивым.

2. Замкнутая кривая (траектория), если уравнение имеет периодическое решение.

3. Незамкнутая кривая, которая соответствует непериодическому решению уравнения.

Особые точки фазового портрета:

Корни характеристического уравнения

определяют поведение фазовых траекторий линеаризованной системы в окрестности особой точки. Имеются четыре типа особых точек: фокус, узел, седло и центр.

1. Т очка называется фокусом. Если корни комплексно-сопряженые. Фокус является устойчивой точкой равновесия, если корни имеют отрицательные вещественные части, и неустойчивой в противном случает.

2. Узлом, если корни действительные одного знака. Причем узел является устойчивым, если оба корня отрицательны, и неустойчивым, если оба корня неотрицательны.

1. Седлом, если корни действительные разных знаков. Седло- неустойчивая точка равновесия.

1. Ц ентром, если корни чисто мнимые.

Особые линии фазового портрета: предельные циклы и сепаратрисы.

Предельным циклом называется замкнутая фазовая кривая, в окрестности которой все фазовые траектории неограниченно приближаются к замкнутой кривой при или при . Цикл может быть устойчивым, неустойчивым, полуустойчивым.

Сепаратрисой называют фазовую траекторию, стремящуюся при к некоторому положению равновесия, в любой окрестности которой имеются траектории, вначале приближающиеся к этому положению равновесия, а затем удаляющиеся от него.

18. Анализ поведения СУ на фазовой плоскости. Метод точечных преобразований.

Фазовая траектория обычно складывается из отдельных кусков. Представляющих решение уравнений системы по участкам.

П усть граничными линиями между кусками фазовых траекторий являются ось х, линия FG и линия LN.

Возьмем начальное положение изображающей точки М0 где-нибудь на полуоси Ох. Один этап движения системы состоит в переходе изображающей точки на линию FG, ограничивающую этот этап, в некоторое положение М1. Следующий этап переводит изображающую точку в положение М2 на полуоси ОН, затем в положение М3 на кривой LN и в положение М4 на исходной полуоси Ох.

Каждому положению М0 (х0, 0) на полуоси Ох соответствует определенное положение точки М1 (х1,у1) на кривой FG. Это называется точечным преобразованием полупрямой Ох в кривую FG. Для краткости ему присваивают название например: преобразование . Дальше идет точечное преобразование кривой FG в полупрямую ОН, названное , затем точечное преобразование полупрямой ОН в кривую LN и преобразование кривой LN в исходную полуось Ох.

Все это в целом (преобразование ) называется точечным преобразованием полупрямой Ох самой в себя. Это преобразование записывается в данном случае в виде зависимости: где,

через х4 и х0 обозначены абсциссы точек М4 и М0.

Если при любом х0 оказывается х4<х0, то в системе будет затухающий процесс,

Если х4>х0 . то расходящийся процесс.

Если х4=х0 то на фазовой плоскости получится предельный цикл, который может изображать либо устойчивый автоколебательный процесс, либо границу устойчивости системы в малом, либо может соответствовать особому случаю бифуркации.

20. Алгебраический метод определения устойчивости и автоколебаний гармонически линеаризованных СУ.