341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 9

< Так как все необходимые вероятности вычислены в примере 12, то для решения задачи достаточно проверить, выполняется ли для каждой пары событий критерий независимости (7), а для трех событий А, В и С вЂ” критерий (8). Имеем Р (АВ) = —, Р (А) Р (В) = — ~ Р (АВ), 1 9 15 ' 100 т.е. события А и В не являются независимыми (в таком случае говорят, что они зависимы). Далее, как установлено в том же примере, Р (АС) = Р (А) ~ Р (А) Р (С), так как Р(С) ф 1. Следовательно, события А и С также зависимы. Наконец, Р(ВС) = Р(В(А+ В)) = Р(АВ+ В) = Р(В) ф Р(В) Р(С), поэтому и события В и С явлнются зависимыми.

События А, В и С не являются независимыми в совокупности, так как согласно критерию (8) для этого необходимо, чтобы все три события были попарно независимы. ~> Формулы (7) и (8) позволяют выделять независимые события в тех случаях, когда модель вероятностного эксперимента формализована и вероятности всех нужных событий полностью определены. Однако в практических задачах, связанных с проведением реальных экспериментов, далеко не всегда возможно использование данных критериев независимости.

В таких случаях часто применяют гипотезу о физической независимости событий: считаются независимыми события, не связанные причинно. Так, например, естественно считать независимыми результаты стрельбы из двух орудий при одновременном выстреле по цели или события, связанные с появлением брака определенного вида изделий, производимых двумя поточными линиями на различных предприятиях, и т.д.

18.170. Пусть А и  — наблюдаемые события в эксперименте, причем Р (А) ) О, Р (В) ) 0 и событие А не зависит от В. Показать, что справедливы следующие утверждения; а) событие В не зависит от А; б) события А и В независимы. (Тем самым устанавливается, что свойство независимости двух событий взаимна) з 1. Случайные события 39 18.171. Пусть события А и В несовместны, причем Р (А) у~ 0 и Р(В) ~ О.

Доказать, что они зависимы. В частности, отсюда следует, что элементарные исходы любого вероятностного эксперимента зависимы. 18.172. Пусть события А и В независимы и не являются невозможными. Доказать, что они обязательно совместны. 18.173. События А и В зависимы. Следует ли из этого, что они несовместны? Привести пример. 18.174*. Пусть события А и В независимы. Показать, что тогда независимы и события А и В. 18.175. Пусть для двух наблюдаемых в эксперименте событий А и В выполняются условия А ф й, А ~ Э, Р (А) ) О, Р (В/А) = = Р (В/А). Показать, что события А и В независимы.

18.176. Из колоды в 36 карт наудачу извлекается одна карта. События: А = 1вынутая карта — туз), В = 1вынута карта черной масти), Г = (вынутая карта — фигура, т.е. является валетом, дамой, королем или тузом). Установить, зависимы или независимы следующие три пары событий: А и В, А и Г, Г и В. 18.177. В условиях эксперимента, описанного в задаче 18.169, установить, зависимы или независимы события С = 1появится не менее двух единиц) и Р = 1появится четное число нечетных цифр). Вычислить условную вероятность Р (Р/С).

18.178. Тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, желтый и синий цвета, а четвертая грань содержит все три цвета, бросается наудачу на плоскость. События К, С и Я состоят в том, что тетраэдр упал на грань, содержащую соответственно красный, желтый либо синий цвет, Доказать, что указанные события попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности. 18.179.

Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают английский язык, 40 — французский и 35 — немепкий. Английский и французский языки знают 20 студентов, английский и немецкий — 8, французский и немецкий — 10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из аудитории. Рассмотрим следующие события: Е = 1вышедший знает английский язык), Г = 1вышедшяй знает французский язык), Р = [вышедший знает немецкий язык). а) Указать все пары независимых событий. б) Установить, являются ли события Е, Г и Р независимыми в совокупности. 18.180. Производится два последовательных извлечения по одному шару без возвращения из урны, содержащей т1 белых и щэ черных шаров. События: А = 1первый шар белый), Гл. 18. Теория вероятностей 40 В = (второй шар белый).

Показать, что Р(В/А) = = Р(В'), т1+ тг — 1 где В' = (вынутый шар белый) — событие, наблюдаемое в новом эксперименте, состоящем в выборе наудачу одного шара из урны, состав которой изменен в соответствии с условием события А. Указанный метод вычисления условной вероятности называется методом вспомогательного эксперимента. а Так как эксперимент представляет собой схему выбора без возвращения и с упорядочиванием, то Ф(11) = А~ц+„„, Ф(АВ) = Аг„,. Следовательно, М (АВ) Аг, т» (тг — 1) о~ (Й) А„„».т, (тг + тг) (т» + тг — 1) Аналогично находим Р(А) = Р(АВ+АВ) = Р(АВ)+Р(АВ) = А,'„, С1 Ст т,(т,+гп,-1) А„, +„, А~т».т, (т, + тг) (т1+ гпг — 1) Подставляя полученные выражения в формулу (б) для вычисления условной вероятности, получаем Р(В/А) = и первая часть равенства (*) доказана.

Лля доказательства второй части равенства (ь) заметим, что согласно условию события А один белый шар удален из урны. Новый (вспомогательный) эксперимент состоит в том, что из оставшихся т» + тг — 1 шаров наудачу извлекают один шар. Вероятность, что он окажется белым (событие В'), определяется по классической формуле Р(В') = —, и (В') т М (й') т1 + тг — 1 * что и доказывает вторую часть равенства (*). С В задачах 18.181-18.185 вычислить указанные условные вероятности методом вспомогательного эксперимента.

18.181. Найти вероятность Р (В/А) в условиях эксперимента, описанного в примере 12. З 1. Случайные события 18.182. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета, при условии, что не вынут синий шар. 18.183. На шахматную доску наудачу ставятся два слона — белый и черный. Какова вероятность того, что слоны не побьют друг друга при условии, что белый слон попадет на одно из крайних полей доски? 18.184. Известно, что 5 % всех мужчин и 0,25 % всех женшин — дальтоники. На обследование прибыло одинаковое число мужчин и женщин. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина? 18.185.

На шахматную доску наудачу ставят две ладьи. Вычислить Р (В/А), если А = (ладьи попали на клетки разного цвета), В = (ладьи побьют друг друга). 18.186. Доказать, что для любого эксперимента любое наблюдаемое событие А не зависит от события й. Объяснить этот результат. 8. Вероятности сложных событий. Слолснелм событием называется наблюдаемое событие, выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических операций. Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляется по правилам, основу которых составляют: формула умнолсення вероятностей Р (АВ) = Р (А) Р (В/А) = Р (В) Р (А/В), (9) формула сложения вероятностей Р (А+ В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ).

(10) Формула (9) справедлива, если Р (А) > О, Р (В) > О, и позволяет вычислять вероятность совместного осуществления событий А и В в тех случаях, когда условная вероятность считается известной (из дополнительных опытов) или определяется методом вспомогательного эксперимента. Формула умножения для произвольного числа событий записывается следующим образом: Р(АгАг А ) =Р(А1)Р(Аг/Аг) . Р(А /А1Аг ° А — г) (11) Формула (11) справедлива, если все входящие в правую часть условные вероятности определены. Формула сложения для п слагаемых записывается в виде +~~~ Р(А,А Ае)+ ° +( — 1)" 'Р(АгАг ...А„).

(12) 1<1<я Гл. 18. Теория вероятностей 42 Если события Ам Ат, ..., А„независимы в совокупности, то вероятность осуществления хотя бы одного из них проще вычисляется не по формуле сложения (12), а с помощью формулы умножения: Р(А~+Аз+ +Ав) =1 — Р(А~+Аз+ +Ап) = =1 — Р(А1)Р(Аг) Р(А ) (13) П р имер 14. В продукции завода брак составляет 5% от общего количества выпускаемых деталей. Для контроля отобрано 20 деталей. Какова вероятность того, что среди них имеется хотя бы одна бракованная? 0 Для любой детали из продукции завода вероятность быть бракованной равна по условию р = 0,05 = Р(Аь), 9 = 1, 2, ..., 20, где событие Аь = (9-я по счету извлеченная деталь бракованная).

Очевидно, нас интересуег событие А~ + Ат + + Аго В условиях отлаженного технологического процесса можно считать что события Ам Ат, ..., Ато независимы в совокупности. По формуле (13) получаем то Р(А~+Аг+' +Ага) =1 — ЦР(Аь) =1 — 0,95те 0,64. > а=1 Пример 15. В условиях эксперимента, описанного в задаче 18.179, вычислить вероятности следующих событий: А = (вышедший знает или английский нли французский язык), В = (вышедший не знает ни одного языка). а Так как А = Е+Г, то, используя формулу сложения (10) и данные задачи 18.179, получим Р(А) = Р(Е) + Р(Г) — Р(ЕГ) = 0,5+0,4 — 0,2 = 0,7. Для вычисления вероятности события В = ЕУГ используем правила де Моргана и формулу сложения для трех событий: Р(В) = Р(ЕУГ) = Р(Е+ Ю + Г) = 1 — Р(Е+ Ю + Г) = = 1 — (Р(Е)+Р(Р)+Р(Г) — Р(ЕР) — Р(ЕГ) — Р(РГ)+Р(ЕПГ)) = 0,08. > 18.187. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится: а) с возвращением; б) без возвращения.

18.188. В условиях эксперимента, описанного в задаче 18.176, вычислить вероятность событий ВГ, АГ и АВГ. 18.189. Только один из и ключей подходит к данной двери. Найти вероятность того, что придется опробовать ровно й ключей (?с < п) для открывания данной двери. З1. Сл чайные события 43 18.190. Студент может уехать в институт или автобусом, который ходит через каждые 20 мин, или троллейбусом, который ходит через каждые 10 мин. Какова вероятность того, что студент, подошедший к остановке, уедет в течение ближайших пяти минут? 18.191.

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р~, для второго стрелка равна рэ. Стрелки произвели по одному выстрелу в мишень. Считая попадания в мишень для отдельных стрелков событиями независимыми, найти вероятности следующих событий: А = (ни одного попадания в мишень), В = (ровно одно попадание в мишень). 18.192. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что корреспондент примет первый вызов, равна 0,2, второй — 0,3 и третий — 0,4. Па условиям приема события, состоящие в том, что 1-й по счету вызов (1 = 1, 2, 3) услышан, независимы.