341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 5

Таким свойством, например, обладают опыты по извлечению наулачу определенного числа шаров из урны, содержащей заданное количество неразличимых иа ощупь шаров. (Отсюда и название — схема урн.) 18.66. В магазин поступило 30 новых цветных телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается один телевизор для проверки. Какова вероятность, что ан не имеет скрытых дефектов? 20 Гл.18. Теория ве оятностей 18.67.

Автомат изготавливает однотипные детали, причем технология изготовления такова, что 5% произведенной продукции оказывается бракованной. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность события А = (деталь бракованная). 18.68. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности следующих событий: А = (число очков равно 6), В = = (число очков кратно трем), С = (число очков четно), Р = (число очков меньше пяти), Е = (число очков больше двух). Подбрасываются две игральные кости. В задачах 18.69 — 18.71 найти вероятности указанных событий. 18.69. А = (числа очков на обеих костях совпадают), В = = (число очков на первой кости больше, чем на второй).

18.70. С = (сумма очков четна), Р = (сумма очков больше двух). 18.71. Е = (сумма очков не меньше пяти), Е = (хотя бы на одной кости появится цифра 6), 6 = (произведение выпавших очков равно 6). Подсчет числа элементов тех или иных подмножеств множества й часто облегчается благодаря следующей формуле. Число элементов прямого произведения множеств равно произведению числа элементов составляющих множеств, т.е.

Л(Й1 к Йэ и и Й,) = М(Й1) И(йэ) ... М(й,). 18.72. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность следующих событий: А = (число одинаково читается как слева направо, так и справа налево (как, например, 13531)), В = (число кратно пяти), С = (число состоит из нечетных цифр).

18.73. 1 сентября на первом курсе одного из факультетов запланировано по расписанию три лекции по разным предметам. Всего на первом курсе изучается 10 предметов. Студент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова вероятность успеха в данном эксперименте, если считать, что любое расписание из трех предметов равновозмажно? 18.74.

Зенитная батарея, состоящая из я орудий, производит залп по группе, состоящей из т самолетов. Каждое из орудий выбирает себе цель наудачу независимо от остальных, Найти вероятность того, что все орудия выстрелят по одному самолету. 18.75, Пяти полевым радиостанциям разрешено во время учений работать на шести радиоволнах.

Выбор волны на каждой станции. проиаводится наудачу. Найти вероятности следующих э 1. Случайные события 21 событий: А = (при одновременной работе всех пяти радиостанций хотя бы две волны не совпадут); В = 1будут использованы рааличные радиоволны). 18.78. На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи — белую и черную. Какова вероятность того, чта ладьи не побьют друг друга? 18.77.

Каждое из 8 вычислительных устройств обслуживается одним оператором. В штатном составе вычислительного центра имеется 6 операторов. Назначение оператора на данное вычислительное устройство производится наудачу. Найти вероятность того, что первые шесть вычислительных устройств будут обслужены. 5. Номбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме. Решение вероятностных задач на классическую схему часто облегчается использованием комбинаторных формул. Каждая из комбинаториых формул определяет общее число элементарных исходов в некотором опыте, состоящем в выборе наудачу т элементов из п различных элементов исходного множества Е = (ем еэ, ..., е„). При этом в постановке каждого такого опыта строго оговорено, каким способом производится выбор и что понимается под различными выборками.

Существуют две приндипиально различные схемы выбора. В первой схеме выбор осуществляется без возвращения элементов (это значит, что отбираются либо сразу все т элементов, либо последовательно по одному элементу, причем каждый отобранный элемент исключается из исходного множества). Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательным перемешиванием исходного множества перед следующим выбором.

После того как выбор тем или иным способом осуществлен, отобранные элементы (или их номера) могут быть либо упорядочены (т.е. выложены в последовательную цепочку), либо нет. В результате получаются следующие четыре различные постановки эксперимента по выбору наудачу т элементов из общего числа н различных элементов множества Е. Схема выбора, приводящая к сочетаниям. Если опыт состоит в выборе т элементов без возвращения и без упорядочивания, то различными исходами следует считать т-элементные подмножества множества Е, имеющие различный состав. Получаемые при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят название сочетания иэ я элементов ко т, а их общее число М (Й) определяется по формуле С и! и (и — 1) ...(н — т + 1) (2) т! (и — т)! Для чисел С„, называемых также биномиояьныни коэдбфиииентоми, справедливы следующие тождества, часто оказывающиеся полез- 22 Гл.

18. Теория ве олтностей ными при решении задач: С„= С„" (свойство симметрии), С„", = С~э + С„" ', Со = 1 (рекуррентное соотношение), Со+С„'+ +С„" = 2" (следствнебиномиальнойформулыНьютона). Пример 7. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти вероятности следующих событий: А = (в полученной выборке ровно одно изделие бракованное), В = (в полученной выборке нет ни одного бракованного изделия). З Ззнумеруем изделия числами от 1 до 10, и пусть множество номеров Еэ —— (1, 2,..., 7) соответствует годным изделиям, а множество номеров Еэ = (8, 9, 10) — бракованным изделиям. Согласно описанию эксперимента производится выбор без возвращения и без упорядочивания трех элементов нз множества Е = Е~ 0 Ег = (1, 2, ..., 10). Поэтому М (й) = Сзо — 120.

Событию А благоприятствуют только такие исходы, когда один элемент выборки принадлежит Еэ, а остальные два элемента — множеству Ем По формуле прямого произведения множеств получаем, что число всех таких исходов М (А) = Сз . С~т = 63, поэтому Р(А) = — = —. М (А) 21 М (й) 40 Событию В благоприятствуют только такие исходы, когда все трн отобранных элемента принадлежат множеству Ем поэтому Ф (В) = Сэ = = 35. Отсюда следует, что Р(В) = — = —. ~> М(В) 7 Л (й) 24 18.78. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Какова вероятность, что среди них окажется по крайней мере одна кость с шестью очками? 18.79.

Из десяти первых букв русского алфавита наудачу составляется новый алфавит, состоящий из пяти букв. Найти вероятности следующих событий: А = (в состав нового алфавита входит буква а), В = (в состав нового алфавита входят только согласные буквы). 18.80. Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают пять человек на предстоящую конференпию. Найти вероятности следующих событий: А = (будут выбраны одни третьекурсники), В = (все первокурсники попадут на конференцию), С = (не будет выбрано ни одного второкурсника).

3 1. Случайные события 23 18.81. Из урны, содержащей т!+тт шаров, из которых т! белых и то черных, наудачу отбирают т шаров (т < шш (т!, тт)) и откладывают в сторону. Найти вероятности следующих событий: А = (все отложенные шары белые), В = (среди отлаженных шаров ровно Й белых; Й < т). 18.82 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = (вынут хотя бы один белый шар), 0 = (вынуто не менее й белых шаров; /с < т). 18.83.

Для уменьшения числа игр 2п футбольных команд, среди которых 2 призера предыдущего чемпионата, путем жеребьевки разбиваются на две подгруппы (первую и вторую) по и команд в каждой. Какова вероятность д„того, что обе команды-призеры попадут в разные группы? 18.84. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти вероятности следующих событий: А = (в полученной выборке все карты бубновой масти), В = (окажется хотя бы один туз), С = (появятся равно 2 пики). 18.85. Из урны, солержащей т! шаров с номером 1, то шаров с номером 2, ..., т, шаров с номером в, наудачу без возвращения извлекается п шаров.

Найти вероятности событий: А = (появится пг шаров с номером 1, по шаров с номером 2, ..., и, шаров с номером в); В = (не появятся шары с номерами 1 или 2). 18.86. Два равных по силе противника играют матч из и партий в теннис. Каждая партия заканчивается выигрышем, либо проигрышем одного из участников. Все исходы данного матча считаются равновероятными. Найти вероятность того, что первый игрок выиграет ровно т партий (т < и). Схема выбора, приводящан к размещенинм.

Если опыт состоит в выборе т элементов без возвращения, но с упорядочиванием их па мере выбора в последовательную цепочку, то различными исходами данного опыта будут упорядоченные т-элементные подмножества множества Е, отличающиесн либо набором элементов, либо порядком их следования. Получаемые при этом комбинации элементов (элементарные исходы) называютсн раэмеи4еиилми из п элементов ио т, а их общее число определяется формулой и! М(й) = А„= С„.т! = ' = п(п — 1) ... (п — т+1). (3) (и — т)! В частном случае т = п опыт фактически состоит в произвольном упарндочивании множества Е, т.е, сводится к случайной перестановке элементов всего множества.

При этом?1' (й) = А„"= и!. Пример 8. Множество Е состоит из 10 первых букв русского алфавита. Опыт состоит в выборе без возвращения 4 букв и записи слова в порядке поступления букв. Сколько 4-буквенных слов может быть получена в данном опыте? Какова вероятность того, что наудачу составленное слово будет оканчиваться буквой а? Гл.18. Теория вероятностей 24 э М (й) — число всех 4-буквенных слов в данном опыте — равно числу 4-элементных упорядоченных подмножеств нз 10 элементов, т.е. Я(й) = А4о --10 9 8 7 = 5040. Пусть событие А = (наудачу составленное слово нз 4 букв множества Е оканчивается буквой а). Число элементов множества А равно числу способов разместить на трн оставшиеся места по одному символу нз 9 (символ а исключен нз рассмотренна, поскольку его место уже определено); хаким образом, М (А) = Аз э9 8 7 504 М (А) 504 1 Р(А) = с М (й) 5040 10 Числа 1, 2, ..., 9 записываются в случайном порядке. В задачах 18.87 — 18.89 найти вероятности указанных событий.