341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 3

Это возможно в том и только в том случае, когда А С В н одновременно В С А. А + В (объединение множеств) — сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий А или В (не исключающее логическое «нли«). АВ (пересечение множеств) — произведение событий.

Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий А и В (логическое «и>), Таким образом, события А и В несовместны, если АВ = 8. А — В (множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В) — разнос«ль событий. Это событие, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит. А = Й вЂ” А (дополнение множества А до Й) — противоположное сабы«яие.

Это событие, состоящее в том, что А не происходит (логическое отрицание). Система г подмножеств множества Й такая, что в результате применения любой из описанных операций к любым двум элементам системы снова получается элемент данной системы, называется алгеброй (или булевой алгеброй — по имени английского математика Дж. Буля (1815 — 1864)).

Под наблюдаез«ь событием понимается такое подмножество множества Й, которое одновременно принадлежит и булевой алгебре У'. Таким образом, класс наблюдаемых в данном эксперименте событий, вообще говоря, уже класса всех подмножеств множества Й. Если, например, В С Й, но В ф .г', то событие Л по определению не наблюдаемо в данном эксперименте. Такое определение наблюдаемого события согласуется с введенным ранее эмпирическим понятием случайного события как наблюдаемого результата эксперимента. Для экспериментов с конечным числом исходов множество всех под-, множеств Й, включающее пустое множество й«, составляет алгебру. Поэтому лля таких экспериментов любое подмножество множества Й может интерпретироваться как наблюдаемое событие. В тех случаях, когда Й вЂ” счетное или непрерывное множество, необходимо потребовать, 12 Гл.

18. Теория ве оятяостей чтобы поле событий, состоящее из бесконечного числа наблюдаемых событий, было замкнуто относительно алгебраических операций над счетным числом событий. Система подмножеств множества Й, удовлетворяющая этому условию, называется о-алгеброй, а соответствующее поле событий — борелевским нолем событий.

Пример 3. Игральная кость подбрасывается один раз. Наблюдаемый результат — число очков на верхней грани. События А, В, С, Р, Е, Е описаны в примере 1. Описать состав и выяснить смысл следующих событий: Ег — — В, Ез = С, Ез — — АВ, Е« — — А+ В, Ез —— А — В, Ев = Е + В, Ет = ЕЕ. < В обозначениях примера 1 напишем состав указанных событий, используя определение соответствующей алгебраической операции: Ез —— = 1«оз, ы«, ыв) — выпало четное число очков; Ез — — («оы шз, шз) — выпало число очков, не большее трех; Ез = («оз) — выпавшее число очков нечетко и кратно трем; Е« — — (ыг ыз «оз «ов) — выпавшее число очков или нечетко, или кратно трем; Ез = АВ = Ез, Ев = й« + В = В = Й.

с Пример 4. Рассмотрим снова случайный эксперимент, описанный в примере 2. Составляет ли множество всех квадрируемых подмножеств множества Й алгебру событий? а Будем говорить, что область Я С Й квадрируема, если она имеет площадь, понимаемую в смысле меры Лебега. Из свойств меры Лебега вытекает, что объединение, пересечение и дополнение конечного или счетного числа квадрируемых подмножеств некоторого квадрируемого множества на плоскости являются квадрируемыми множествами. Отсюда следует, что система г квадрируемых подмножеств множества Й образует о-алгебру для данного эксперимента '). с При доказательстве некоторых утверждений в алгебре событий очень полезной оказывается геометрическая иллюстрация событий, трактуемых как попадание точки в область, соответствующую этому событию.

Условно изображая события в виде различных областей на плоскости, получаем так называемые диаграммы Венна. Пример 5. Доказать, что операции сложения и умножения событий ' обладают следующими свойствами: а) А + В = В+ А, АВ = ВА (номмутативность); б) (А+В)+С = А+(В+С), А(ВС) = (АВ) С (ассоциативность); в) (А+ В) С = АС+ ВС (дистрибутивность умноз«гения относительно своз«гения). З Свойства коммутативности а) и ассоциативности б) непосредственно вытекают из определения операций сложения и умножения, поскольку события «произошло хотя бы одно из ...

«и «произошли все вместе... « не зависят от порядка участвующих событий. Докажем, что событие (А+ В) С тождественно событию АС+ ВС. Пусть «о к (А+ В) С. Это ') Если квадрируемость области ка плоскости понимать в смысле меры Жордана, как зто обычно делается в курсе математического анализа, то система квадрируемых по Жордвку подмножеств множества Й может ке составить о-алгебру. Одквка, если рассматриваются такие кростейшке области ка плоскости, для которых обе меры совпадают, то использование для определения плошадей этих областей интеграла Римана вместо интеграла Лебегв ие приводит к ошибкам.

З 1. Случайные события значит, что ы Е С и принадлежит по крайней мере одному из событий А или В. Но тогда ы принадлежит хотя бы одному из событий А С или ВС, т.е. ы 6 АС+ ВС. Наоборот, пусть ы Е АС+ ВС. Тогда и 6 АС или ы 6 ВС. Следовательно, ы 6 С и, кроме того, принадлежит по крайней мере одному из событий А или В, т.е. ы Е (А+ В)С. Тем самым тождественность левой и правой частей доказана. Проиллюстрируем свойство в) диаграммами Пенна. Пусть события означают: А = (попадание в квадрат), В = (попадание в круг), С = = (попадание в треугольник).

Соответствующие области изображены на рис. 1. Горизонтальной штриховкой отмечена область, соответствующая событию АС, вертикальной — событию ВС, косая штриховка соответствует событию АС + ВС. [> Рис. 1 В задачах 18.12-18.17 доказать справедливость следующих тождеств: 18.12. А+ А = А, АА = А, А+ о = А, Ао = И, Ай = А, А+й=й. 18.13. А + А = й, й = з, Т~ = й, АА = и. 18.14. а) А+ В = АВ, АВ = А+ В (правила де Моргана). б) Обобщить правила де Моргана на произвольное число я событий.

18.15**. АВ+С = (А+С)(В+С) (дистрибутивнасть сложения относительно умножения). 18.16. А — В = АВ. 1817а (А+В) В А АВ АВ А В Замечание. Этот пример показывает, что «приведение подобных членов» в алгебре событий недопустимо. 18.18. Пусть А, В и С вЂ” события, наблюдаемые в эксперименте, причем А и В несовместны. Показать, что события АС и ВС также несовместны. 14 Гл. 18. Теория вероятностей 18.19.

Показать, что: а) если А С В, то выполняются соотношения АВ=А, А+В=В; б) из справедливости любого из соотношений (1) следует АСВ. 18.20. Пусть А и  — наблюдаемые события в вксперименте. Показать, что событие А+ В можно разложить на сумму несовместных событий следующими способами: а) А+ В = А+ (В— — АВ); б) А+ В = АВ+ АВ + АВ; в) А+ В = А + ВА.

18.21*, Показать, что если А С В, то В С А. 18.22. Показать, что если В С А, то (А — В) + В = А. Доказать тождества: 18.23. (А + В)(А + В) = А. 18.24. (А+ В)(А+ В)(А+ В) = АВ. 18 26, (А+ ВС)(В + АС)(С+ АВ) = АВС+ А В С. 18.26*. АС вЂ” В = АС вЂ” ВС. 18.2Т". (А — В) + (А — С) = А — ВС. Симметрическая ровность двух событий АйВ определнется следующим образом: АЬВ = (А — В) + ( — А).

Доказать следующие тождества: 18.28. АЬВ = (А+ В) — АВ. 18.29. АЬВ = АВ + А В. 18.30. АЬВ = (АВ) Ь(АВ). 18.31. Пусть С = АЬВ. Доказать, что АЛС = В. 18.32. Найти случайное событие Х из равенства Х+ А+Х+А = В. 18.33ее. Доказать, что А — В = О тогда и только тогда, когда А С В. 18.34*.

Очередной посетитель входит в зал музея, где уже собралось 2ят человек, и начинает отыскивать знакомых среди собравшихся. Интересующие нас события: А = (среди собравшихся найдется я человек, знакомых посетителю), В = (среди собравшихся найдется и человек, не знакомых посетителюу. Доказать, что события А + В и А — В + В достоверные. Пусть А, В, С вЂ” три события, наблюдаемые в данном зксперименте. В задачах 18.35-18.37 выразить указанные события в алгебре событий. Э 1. Сл чайные событии 15 18.35. Я1 — — (из трех событий А, В, С произойдет ровно одно), Р1 = (из трех событий А, В, С произойдет ровно два).

18.36. Вэ = (из трех событий А, В, С произойдет хотя бы одно), Рэ = (из трех событий А, В, С произойдет не меньше двух). 18.37. Еэ = (из трех событий А, В, С не произойдет ни одного), Рэ = (из трех событий А, В, С произойдет хотя бы два), С = (из трех событий А, В, С не произойдат хотя бы одно).

18.38. Поражение боевого самолета может наступить или в реаультате поражения обоих двигателей (события 111 и йэ), или в результате попадания в кабину пилота (событие К). Производится длительный обстрел самолета из зенитного орудия. Любое попадание в соответствующий агрегат приводит к его поражению. Пусть событие А = (поражение самолета).

а) Описать множество элементарных исходов. б) Записать А в алгебре событий как непосредственно с помощью событий Р1, Рэ и К, так и через элементарные исходы. в)** Получить из второй записи первую путем допустимых алгебраических преобразований. 18.39. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 2. Событие Аь = (элемент с номером й вышел нз строя), й = 1, 2, 3, 4. Событие В = (разрыв цепи). Выразить событие В в алгебре событий Ан Аэ, Аэ, А4.