341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 9

Ьи > ... и 1пп Ьи = О, а частичные суммы Яи = а! + аз +... + аи, п = 1, 2, ..., ограничены в совокупности, т. е. аь < М длл всех п Е )Ч. Ь=1 Тогда рлд ~ ~аиби сходится. и=1 Пример 12. Исследовать на сходимость ряд а=1 з Очевидно, что в точках х = тх все члены ряда равны нулю, т.е. при х = тл ряд сходится и его сумма равна нулю. Пусть теперь х фО (табл). Подсчитаем сумму и 1 и а!пЬх = — ~~! 2сбп — а!пух = 2сбп — ь ! 2 2 = — '~(- ( --') -- (--').) = 2 х ! 1! сов — — соа ~п + -) х 2 (, 2) х 2 а!и— 2 Отсюда заключаем, что для любых и = 1, 2, ...

и х фО (тоб л) Са !. Числовые ряды 2Л 1! 1 далее, последовательность ~ — у! монотонно убывает и !!!и — = О. П-11О И давим образом, при и фО (п1о!! х) выполнены условия признака Абеля-. а!и 9х дирихлс и потому ряд ~ — сходится. Олсдовательно, ряд сходится й !1=1 при любом х. !> Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды: 12.90.

~ ( — ц" ~1 . 12.91. ~~2 1 (-Ц" Зп — 1 т! ту!пт п=1 п=! СО 12.92. ~ (-Цп " . 12.93. ~ (-Ц" ~ " 7! . и=! и=! 1 1 4 1 4 7 п„,1 4 7...(Зп — 2) 12.94. — — — + —...+( — Ц"~' + 3 3 5 3 5 ° 7 3.5 ° 7...(2п+Ц СО СО п! 12.95. У ( — Цп —. 12.96. ~л ( — Цп п 1 3 5...(2п — Ц п=2 п=1 1 и-1 2З П22! СО ~(- )и-' — "„. 12100. Е( — Цп п=1 п=2 СО СО 2 соа пст п2п 12.101. ~~ 12.102. ',1 (-Ц" —.

п2 п! и.=! и=! 12.103. У, ( Ц п !пи~/!и!пп а1п пот 12.104. ~ (!и 3)" .и 12.106. ~~2 и п=! 12Л22. 2 пп а1п— 12.105*. ~~2 4 п п=1 12Л21. 12.109. п=1 Гл. 12. Ряды и их применение бО Убедиться в том, что к рядам ~ ~ип с указанными ниже члеп=! нами 1й Е уч) нельзя применить признак Лейбница. Исследовать зти ряды на сходимость другими способами. 1 1 12.110*.

изь-! = —, ите =— т/й+ 1+ 1 тЯ+ 1 — 1 1 1 12.111. изь-! = изе =— 3/с+ 2' 36 — 1 1 1 12112 изь-! = — „, изе = — — „. 3" ' 1 1 12.113. изь ! =, изь = — —. ,~2 ' 12.114*. Доказать, что иа сходимости рядов т (а„! и ! )6»(~ и=! и=! следует абсолютная сходимость ряда ~~> а»6», с„ = ~~~ ая6„ яв!, и Е г!.

ь=! Исследовать на сходимость произведение по Коши следующих рядов; Ер 1 и=! 1 и ~~! и и=! 12.115**. ~) — и 1 и2 и=! 12.Пт*. ~~ и 12 116* Е 2 и 1 п=! 12.118*. ~~) — и 1 и и=! 12.119. Доказать, что если ряд ~~! ап сходится абсолютно, а и=! ряд ~~ 6» сходится, то произведение по Коши сходится. Произведением по Ко!ни рядов ~ а„и ~ ~6„называетсн рял ~ с„, »=! и=! »=! члены которого получены по формулам З 2. Функциональные ряды 61 Пусть (оь)ген — произвольная числовая последовательность, Яп = ~) иь — частичные суммы сходящегося ряда ~1 иь, а Л„= в=о в=о иь — остаток этого ряда.

Проверить справедливость со/с=п+1 отношений (называемых преобразованиями Абеля): и и-1 12.120. ~~ иьоь = ~~ь (оь — ои-1)%/с — и/ ~о + оп~ /с=1 Ь=! и и — 1 12.121. ~ иьиь= ,'1 (оь — оь.ь/)(Яь — Я ) + ип(Бп — К ). Ь=тт1 /с=т-1-1 12.122. ~ иьоь= ~~с (иь — иь 1)Ль 1+ и +1 — о„г1„. /с=т+1 п=т+2 12.123. Доказать, что для остатка 21п знакочередующегося ряда (7), удовлетворяющего условиям признака Лейбница, справед- ЛИВО НЕраВЕНСтВО /тт„~ ( апЬ1. 2 2.

Функциональные ряды 1. Область сходимости функционального ряда. Пусть функции у„(г), и б М, определены в области Р. Выражение У/(г) + уг(г) + " + уп(г) + = ~~~ уп(г), г Е Р, (1) п=1 иааывается функциональным рядом. Если длн хо 6 Р числовой ряд Й- ,/'„(го) сходится, то говорим, что функциональный ряд (1) сходится сс 1 а точке го. Если в каждой точке г е Р1 С Р числовые ряды 2 /„(г) п=1 сходятся, то ряд (1) называется сходящимся в области Р1. Критерий Коши. Для того чтобы функциональный ряд (1) был сходящимся в области Р1, необходимо и достаточно, чтобы длл лн/бого г > 0 и лн/бого г Е Р/ существовало /с/ = /с/(г, г) такое, что ~уп-Ь1(г) + /сс<-2(г) + . + /и-ЬП(2)~ и.

г дляесехп>Ж(г,г) ирой. Ил. 12. Ряды и их применение Для определения области абсолютной сходимостн функционального ряда (1) следует воспользоваться либо признаком Даламбера, либо признаком Коши. Именно, если 1я.ь! (я) к-~со 1, (х) или !пп Яя(я)( = 1(я), то для определения области абсолютной сходимости ряда (1) следует решить функциональное неравенство 1(я) < 1, а для определения области расходимости — функциональное неравенство 1(г) > 1. При этом для изучения поведения ряда в граничных точках получаемой области, т.е.

в точках, описываемых уравнением Па) = 1, требуется дополнительное исследование. П ример 1, Найти область сходимости функционального ряда 1 О Так как ((„(х)! = и х > — 2, то, применяя признав пЗ"чУ( +2) Коши, имеем 1 1 1 Пш " = 1пп я — ~ж пЗв, /(т+ 2)я п — ~со 3(х+ 2)!!т ~/й З~!х+ 2 1 17 Следовательно, ряд сходится, если < 1, т.е. при х > — —. 3~/х+ 2 9 17 я-!-! При х = — — получаем знакочередуюшийся ряд т ( — 1)"+' —, который 9 и' и=.! сходится по признаку Лейбница. Такиы образом, область сходииости ряда — полуинтсрвал [-17/9, +со). [> Найти области сходимости на абсолютную сходимость.

12.124. ~ ( — 1)"и *. я=! О!! 12.126. я=! рядов (гс е )й). Исследовать ряды и !/п 12.127. Г ~- и!(х+ 3)" я=! 3 2. Функциональные ряды 12.128. 22 пх. п=1 12.122. 12.130. п=1 12.132. ~2 е " *. 12.131. ~ хп фб —, 2и п=1 12.133. и=' (И + 1)(Х вЂ” 1)п 1 11п1, = —, (1, и >ОО (х 1)и+1н откуда заключаем, что рпд сходится абсолютно вне круга радиуса 1 с центром в точке 1, т.е. при )х — 2! > 1, на окружности )х — 2) = 1 рнд, бчевидно, расходится. > Найти области абсолютной сходимости рядов (х Е С): 12.134, ~~2 .

12.135. п=1 п=1 2п ОО 12.136. ~~1 . 12.137. ~ ьlпе "'. п=1 п=1 СЮ ОО 12.138. 21 — е "' . 12.139. ~~2 пеи'. и=1 п=! ОО 12.140*. ',1 ( — 1)пи '. 12.141*, ~~1 ~ .) п=1 п=1 и 12.142*. ~ ~ ) . 12.143*. ~ п=1 2. Равномернан сходимость. Сходлп1ийся в области Р1 функциональный рнд (1) называется равномерно сходящимся в втой области, если для любого е > 0 найдется у = Л(е) такое, что длл остатка ряда (1) В.(х) = ~„ Ь(х) Ь=и-~-1 Пример 2.

Найти область сходимости функционального рада Е ,х~С. (х — 1)" п=1 .а Применнл признак Даламбера, можем записать неравенство Гл. 12. Ряды и их применение 64 при всех и > М(е) и х Е Р~ имеет место оценка )В„(х)( < е. Критерий Коши равномерной сходимости. Длл того чтобы функииональнььй рлд (1) бььл равномерно сходлилиисл в области Рм необходимо и достаточно, чтобы длл любого е > О суи!ествовало Ф = РУ(е) такое, что длл всех и > Ф(е) и х е Р~ вьтолнллись неравенства !~„ь~(х) +~„~ьг(х)+... +~„+„(х)~ <е, р= 1, 2, Пример 3. Найти область сходимости ряда сумму ряда и показать, что во всей области сходимости ряд сходится неравномерно. < Так как частичные суммы ряда имеют вид ( ) ~~,'( ь ьы) ! ьз-~ ь=о то можем заключить, что 1цп 5„(х) существует только при )х) < 1 и в и — >оь точке х = 1, т.

е. областью сходимости ряда является область Р~ — — (х!!х! < 1 и х = 1), причем сумма ряда равна 5(х) = !пп 5„(х) = ! ( 1 при )я~<1, ь->ьь ~ О при х = 1. Остаток ряда В„(х) = 5(х) — 5„(х) имеет вид ) х"+ при )х! < 1, 1 О при х=1. Отсюда заключаем, что существуют ео > О и Х(ео) такие, что для любого н > Х(ео) найдется х„такое, что )х„! < 1, но (Рс„(х„)! > ео. Так, 1 1 например, выбирая ео — — — и х„= —,еч'", !о„— произвольно, имеем 4 1 1 (В„(х„)! = — > —. Это означает, что во всей области сходимости Р~ равномерной сходимости нет. Заметим, однако, что в любой области з 2.

Функциональные ряды 1)„= (х))х! < г < 1) рлд будет сходитьсц равномерно, так как длн !па любого е > О найдетгп !ч' = !ч'(г) = — такое, что длн всех х б 11„и !пг и > Х(в) имеем )Йь(х)! = )х!ь'"' < г"+' < г. > Признак Вейерш трасса. Пусть !руин!!иоиальиьгй рлд (1) сходится в вблас!аи В!, и пусть суи!сствует сходящийся зиаквпвлвжи!пельиый числовой рлд ~~ а.„такой„что для всаг, х Е О! и для и > Лр и=! члены ряда (1) удивлен!воряют условию )Уь( )! <«' Тогда рлд (1) сходни!ся абсолютно и равномерно в области Р!.

Рнд ~ ~аи называетсн мажорируюигим длн рада (1). в Прил!ер 4. Найти область сходимостн ркда 7 —, и показать, что ~ нх в=\ в этой области ряд сходится равномерно. О Воспользуемся прианаком Даламбера. Имеем и+~па !пп = )х!. +, (и + 1)тхп !Следовательно, в круге )г! < 1 рнд сходится. На границе круга, т.е. прн )х! =- 1, получаем сходпшийсп рнд: )х)и я=! и=! Значит, исходный рнд сходитсн в замкнутом круге )х! < 1. Но так как длп всех )х! < 1 !У (х)! = — т < —, !х! 1 нт их' то рнд сходится абсолютно и равномерно, !ь Найти область сходимости и область равномерной сходимости Указанных радов (х Е К, х Е С): ОО г 1)иь! 12.144.

ч! ( — 1)ин *. 12.145. ~~! 00 ( 1)и 12.146. У ™. 12.147. ~~! и=! и=! Гл. 12. Ряды и их применение 66 епс [ 1)п 12.148. 1 —. 12.149. > ( — 1)п п=! п=! 00 12.151. 5 с гг(,с + 2)п п=! п=! Х Оз 2 12.152*. Доказать, что рнд Г 2 , т б К., сходитси абс ~ (1 + тг)п' '' =о салютно во всех точках, но не равномерно в любом промежутке, внутри или на границе которого находится точка,т, = О. СО г п 12.153. Доказать, что рид у (-1) 2 , т, Е К, сходится (1. !, 2)п' '' п=о абсолютно и равномерно на всей числовой оси, тогда как рид из абсолютных величин членов данного ряда (рлд задачи 12.152) на всей числовой оси сходится неравномерно. 12,154. Используя принцип максимума модуля аналитической функции, доказать, что если члены ряда (1) явллютсл аналитическими в области Р функциями и непрерывными в замкнутой области В = В+ Г и если рлд 11) сходится равномерно на Г, то он сходитсл равномерно в замкнутой области В (вторая теорема Вейерштрасса).