341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 8

выполнялось неравенство (Я».~„— о») = )и»+г + и„от+ . + и„ор( ( с. Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то 1пп и„= О. 1 Пример 1. Показать, что ряд г сходится, и найти его сумму. 1 а Так как дробь представима в виде х(х+ 1) 1 1 1 х(х+1) х х+ 1 Гл. 12.

Ряды и нх применение то частичную сумму ряда можно записать следующим образом: 1 1 1 1 1 юл + + + + + 1 2 2 3 3.4 !п — 1)п п(п+1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1 — — + — — — + — — — +...+ + — 1 2 2 3 3 4 п — 1 п п п+1 п+1 Следовательно, 1 !пп Яи со !пп 1 — = 1, и-ссю исоо 'с п + 1( т.

е. заданный ряд сходится и его сумма равна 1, !> Пример 2. Исследовать на сходимость ряд у с!" и в случае схол=е димости найти его сумму. ~ Имеем ~„= 1+ 1+ е'+... + о"-'. Если с! = 1, то Я„= и, т.е. !пп Я„= со, и, следовательно, ряд расходится. Пусть теперь су ф 1, тогда 1 — су" 1 с!и 1 — е 1 — д 1-е Положим су = те'т, тогда с1" = тие'ии. При О < т < 1 имеем !пп су" = !пп тие'ию = О, исоо л-соо ,и т.е. !пп — = О, откуда 1пп 5„= . Если же т > 1, то т — > ео и-соо 1 — с! лссо 1 — с! и, следовательно, конечного предела !пп —, а значит, и предела пос! и-+сю 1 — су следовательности частичных сумм не существует. Наконец, при т = 1 и !о фО !щог! 2х) предел !пп е'"сс = 1цп (соапсгс+1а!пп~ср) и -+ оо и — мо !а потому и предел 1пп Я,) также не существует.

л-+со Таким образом, ряд ~~ с!л, члены которого составляют бесконечную л=о геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем с1, сходится при )с!! < 1 и его сумма равна и расходится при )д! > 1. !и 1 — д 3 1. Числовые ряды 49 Пример 3. Доказать, что гармонический ряд 1 1 1 ~ 1 1+-+-+...+ — +...=7— 2 3 и йи и=! расходится, хотя его члены стремятся к нулю прн и -~ оо. < Рассыотриы разность частичных сумм с номерами 2и и и. Имеем 1 1 1 К2п ~п + + + и+1 и+ 2 2п Заменяя каждое слагаемое меньшей величиной 1/2п, получаем 1 1 1 1 1 Ктп ~п ) + + .

+ = и 2п 2п 2п 2п 2' Это неравенство означает, что при р = и для гармонического ряда не выполняется критерий Коши и, следовательно, ряд расходится. С Показать, что следующие ряды сходятся, и найти их суммы: СО 1 00 12.1. 12.2. 7 п(п+ 1)(п+ 2) х 4пз — 9 12.3. ~~ 1 12.4. ~~ 2п+1 (2п — 1) (2п + 1) х. п(п2 — 1) 12.5*. соз 1п 12.6. (1 + 1)п п=! п=о Используя критерий Коши или необходимый признак сходи- мости ряда, установить расходимость следующих рядов: 12.7.. 12.8. Я!' ~о' ' ',;-2' 00 п 12.9. '> ( — 1)", 12.1О.

~ — „. п=! и=! ОО 12.11. ~~! . 12.12. ~~! п2п !/п + 1п п=! и=! 12.13. Доказать, что если члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число, то его сходимость не нарушится. Гл. 12. Ряды и их применение бО 12.14. Доказать, что если ряды ~~ и„и ~ оп сходятся и их п=1 п=! суммы соответственно и и о, то сходится и ряд ~ (и„+ и„), прин=! чем его сумма равна и+о.

Привести пример, когда обратное утверждение не имеет места. 12.15. Доказать, что отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость этого ряда (но влияет на сумму!). )и1! + (из! + ... + (ип! + ... = ~~ !ип!. п=1 (3) Если ряд (1) сходится, а ряд (3) расходится, то ряд (1) называется условно сходли1инся.

П ризнаки сравнения рядов. Если лены рлда (1) для всех и > Хв (М > 1) удовлетворлют условию !ип! < Ьп, причем ряд ~~ бп п=1 сходится, то ряд (1) сходится абсолютно. Если хсе для п > Ю! члены РЯда (1) УдовлетвоРлют Условию 0 < сп < )ип(, пРичел! Рлд сп расходится, то ряд (3) расходи!вся, 1п. е. рлд (1) не сходитсл п=1 абсолютно. 1 Пример 4. Зная, что ряд ~ сходится (см. пример 1), , п(п+1) 1 установить сходимость ряда ~ п~ п=1 ° ~ Так как у — = ~ , то, учитывая неравенства , пэ (и+1)э п=1 п=о 1 1 < и = 1, 2, ..., (и -!- 1)э п(п -!- 1)' 1 по признаку сравнения убеждаемся в сходнмости ряда р —.

[и ~ пэ п=1 2. Абсолютная и условная сходимоеть. Признаки абсолютной сходи- мости. Ряд (1) называется абсолютно сходяи1имсл, если сходится ряд из модулей членов этого ряда, т.е. сходится ряд 3 1. Числовые ряды ип О < 1пп — < +со, и Соя либо оба сходятся, либо оба расходятся.

п=1 Исследовать на сходимость ряд !по ряды 2 ип п=! Пример 5. Е Зпт — 2 и" + 5п и=! (4) 1 О Так как ряд 7 — сходится (см, пример 4) и так как л л п2 п=1 Зпэ — 2 1 1пп =: — =ЗЛО, — и!+ 5п ' пт то ряд (4) такгке сходится. с Пример б. Исследовать на сходимость ряд 2п+5 Зп — 2п п=! (5) з Так как 2к+5 1 2 2 и- пь Зпэ — 2п п 3' 1 а гармонический ряд ~ — расходится (сь1, пример 3), то и ряд (5) п=1 расходится. С Признак Даламбера.

Если члены ряда (1) таковы, чп1о существует конечный предел ипч! 1пп и-!ьь и, На практике более эффективным оказывается следующий !ю Предельный признак сравнения. Если ряд~ о„сходится и=! ип абсолютно и существует конечный предел 1пп — = ц < +со, то Оп ряд (1) также сходится абсолютно. Если же члень! рядов ип и оп-- дейс1лв а тельные положительные !исла и Гл.

12. Ряды н нх прнмененяе 52 то при 0 < ! < 1 ряд (1) сходится абсолютно, при ! > 1 — расходится, а при ! = 1 требуетсл дополнительное исследоеание. Пример 7. Исследовать на сходнмость ряд пз Š—,". и=1 (6) пз (и+ 1)з < ИМЕЕМ ии = —, ии 11 — —, Н ии 11 (П + 1)З2и 1 !пп — = !пп = — < 1. и-пьь Пи и-пьь 2пм1ПЗ 2 /2п+бь1 " а Имеем ии = (ь — ), поэтому ~,Зп — 1) Следовательно, данный ряд сходятся. С Прк нспользованнн признака Коши бывает полезна слелуюшая у7ормула Стирлинга: ,Пьп и! = 1/2нп ~ — ) е м", 0 < В < 1.

е Пример 9. Исслеловать на сходнмость ряд 2".и! и=! Таким образом, ряд (6) сходятся. > Признак Коши. Пусть 1пп Ци„! = 1. Тогда если О < ! < 1, тао рлд (1) сходится абсолютно, если ! > 1, рлд (1) расходится, а при 1 = 1 требуется дополнительное исследование. Пример 8. Исследовать на сходнмость ряд з 1. Числовые ряды 53 а! Имеем: 11'и 2 е 2 = — !пп (2ли)а .е а ' = — < 1, е е /(х)дх, а > 1. Т а Пример 10. Выяснить, при каких значениях параметра р сходится рлд Дирихле Й-„, 1 и=1 1 а Так как функция Г"(х) = — удовлетворяет условиям интегрального ха признака Коши, то исследование сходимости ряда Дирихле сводится к -1-СО ! дх исследованию сходимости интеграла у! —. Но 1 !пп !пЬ =+со Ь вЂ” а-ьси при р= 1, Ьь-а — — — = +со 1-р 1-р !пп ь-а-Ььа при 0<р<1, ( 1 1 ~ 1 11п1 ь ь 1,р — 1 (р — 1)Ьь 1/ Р— 1 при р>1.

Отсюда заключаем, что ряд Дирихле сходится при р > 1 и расходится прир<1. !ь т.е. ряд сходится, С Интегральный признак Коши. Пусть функиил у(х) положительна и монотонна при х > 1, и пусть длл всех и Е Я имеет место равенство у'(и) = ~и„~. Тогда числовой ряд (3) сходится (т. е. рлд (1) сходится абсолютно) или расходится одновременно с несобстпвенным интегралом Гл. 12.

Ряды и их применение 54 Используя признак сравнении или предельный признак сравнении, исследовать на сходимость следующие рады: 12.19. ~, . 12.20. ~- Зтт — 2 г-, (211 — 1)2 СО 1 з . 12.22. Г Зпз — 1' „, / ( .~ц( ~т! п2+3 12.23. ~~У аш —. 12.24. ,'1 и 4 з+бп' п=1 и=! Ое Ое 12.25. ~З п2 18е —. 12.26. ~ ут(2 агс!8 —,. — п 12 ' п=з п=1 12.27. ,'1 12.28.

~~! е " . п=2 п=1 12.29. ~ 2п СОЭ,~тП + 1 ат.1~П1 12.30. '(11+ 1)3" пг и=! и=! Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость следующие ряды: п2+ 5 п 12.31. ~~у, . 12.32. п=1 и=! 3 12.33. — + 1 12.34. ~~т и=! 12.36. '~ ' 3 5... (2п + 1) 1 4... !Зп — 2) (3 +1).' 12.35. ~ 8 пг п=! 12.37. 1 3 5... (2п — 1) 22п (П вЂ” 1)! и=2 3 5 — + 1 4 2 ь! п! 12.16. Доказать, что всякий абсолютно сходящийся ряд является ридом сходпщимси. 12.17. Доказать, что члены сходящегося рида можно группировать, не меняя их порядка, произвольным образом.

12.18. Доказать, что члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлать произвольным образом; при этом сумма рида не изменится. 3 1. Числовые ряды 55 ии 12.39. $ ~- и!(е — 1)и П=1 аш '4и 12.38. Е 3" П=1 Используя признак Коши, исследовать на сходимасть следующие ряды: Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость следующие ряды: 00 12.49.

т ' х и1п2и' П=2 00 12.51. и!пи П=2 Исследовать на сходимость ряды: 12.22. 2 ( ) 12.55. ~~1 П=1 12 21. 1 и+1 — 1п 1/и и — 1 из+ 1' (-Г 00 и 12.59. т ~-', (2и — 1)и 0=1 12.42. 2 — (1 4-) п=1 12.44. 2 lт ( П=1 12.44. 2 „- = ( П=1 -"Й( ."Г 2 12.41. 2 (1 4 !) и=! 12.42. 2 — (14 — ) и=! 12.45. ~~1 т! ~агсейп -) и и=1 !4 П2, п,22 21+1 ' 3й — 1 12.48. 2 ( ) .

12.54. П=2 12.56. и=! 12.58. ~ п=1 12.60. ~~2 Гл. 12. Ряды и их применекие 12,61. 100+, +... + + .. 100 103 100 103... (97+ Зп) 1 5 1 5 9...(4п — 3) 1 11 1 11 21 1 11 21... (10п — 9) 1262. 1+ —,+, +...+ + (2!! — 1 ! 1 1 5 1 5 9 1 5 9...(4п — 3) 2246246810(4п — 2)!! 12.64. ~ ..

12.65. ~ ~ — ) ,А+1 —,й: 1 1= Ы вЂ” 1! "1"-0 п.'!/4 ' ' ' 1п ! 1) п=г и=г 12.66. г (1,— „, — ! (а — „,)). е=! 12.68. ~! вп— 2пг и=! 2 5 2.5 8 2 5 8...(Зп — 1) 1273. 2+ — + „+...+ +.. 1.5 1 5 9 1 5 9...!4п — 3) птоо 12.74. г а=! 12.78. + 14147 100 100 102 100 102 104 1 4 Т... (Зп — 2) + + 100 102... (98+ 2п) 12.6Т. (2п)! СО / 12.69.

,'! 1п ~ 1+ — ). пг) ' е=! 3" и' 12.Т1. и=! 12.70. ~ п1пп1и!вп и=3 12.72*. , ~л 12.75. ~ 1и ~ 1+ -). 1! п) И=! 12.е, г ( 3 1. Числовые ряды 57 12.79. ~г п=1 12.81. ~~1 п=2 12.82. ~ и=1 12.85. ~~1 п=1 3 ' ' ' з 3 и(, г/иг — 3/72) 1 ит/)и' и л-' (311+ 1)(2,/и — 1) 12.84. ~г п=1 (2+1)п и ~ 1 12.86. 1 2" ~ (и — г) 1/и 1 12.87. Исследовать на сходимость ряд Ъ при разин(1п и)п п=2 личных действительных значениях р и сг.

1 12.88. Исследовать на сходимость ряд 2 '-' ио(1п и)" (1п (и гг) д =3 при различных действительных значениях р, сг и,9. 12.89. Убедиться в том, что признак Даламбера неприменим к СО 2" ' 2" РЯДУ,~ Ип, ГДЕ иэе 1 = — ~ ,иэн = †„, тОГДа КаК ПРИЗНаК КаШИ п=1 показывает, что этот ряд сходится.

1 3/и+1 3. Признаки Условной сходимоети. Признак Лейбница. Пусть члены ап энакочередунггаегося ряда аг — аг + аэ — ал +... + ( — 1)""'ап + .. (7) дейсгпеительны, могготонно убыоингт, пь. е. (8) аг > аг » ... ап > . (9) !ио ап = О. и-гоп ( 1)п-г-г гг=1 Тогда ряд (7) сходитсц причем для его суммы 5 имеет место оценка 8<аг. П р и м е р 11. Исследовать на сходимость ряд Гл. 12. Ряды и их применение 58 1 1 1 З Так как аи = — > = аие1, и = 1, 2, ..., и !пп — = О, то и и+1 " ' ' ''''' и- п выполнены условия (8) и (9), и данный ряд сходится. Ряд из абсолют- 1 ных величин членов, т.е, ряд ~ —, расходится. Следовательно, ряд и' и=1 (-1) — сходится условно, с и-1-1 1 п и=! Признак Абеля — Дирихле. Пусть члены последовательносспи (Ьи) монотонно убывают: Ь! > Ьт »...