341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 6

Вторая и четвертая операции приводят к нулю: гогйгаби = ['«7, '»7]и = О, йчго»а = (17, [»7, а]) г— а О. З 4. Специальныс виды векторных полей 35 Ото слсдУет из всктоРного смысла опеРатоРа сг: в пеРвом слУчае фоР- цельно мы имеем векторное произведение двух коллинсарных векторов, а во втором — смешанное произведение комппанарных векторов. 11.126. Получить выражения для с(гчрас1и = сг и, дгас) с(ггг а = г7(г(7, а), гоСгоСа = [г7, [г7, а]], г72а с72п г+ ~рсзо 3+ г72о )с через производные скалярного или векторного полей. 11.127.

Найти рас(с)ггга, если а = хзг+ узы+ 221с. 11.128. Найти гоС гоС а, если а = ху21+ гув21 + зх21с. 11.129. Найти туза, если а = (у2 + з2)х1 + (х2 + х2)у1 + +(.2+уз)2 11.130. Найти с(гч рас) (ип). 11.131. Найти Пгас)с)гч(ис) и Пгас)с(гга(иа) (с — постоянный, а — переменный вектор).

11.132. Найти гоС гоС (ис). 3 4. Специальные виды векторных полей 1. Потенциальное векторное поле, Векторное поле а = а(г) называется иотеипиильиыж, если вектор поля а является градиентом некоторой скалярной функции и = и(Р): а(г) = расСи(Р). Функцию и(Р) в эталс случае называкгт пстсипиолои векторного поля. Необходимым и достаточным условием потенциальности дважды диффсренцируемого в односвязной области полн а(г) является равенство нулю вихря этого поля: гог.а = О. (2) Пример 1. Проверить, что вихрь трехмерного векторного поля а = йгасСи тождественно раасн нулю (функцию и(Р) предполагаем дважды дифференцирусмой).

дц. ди. ди ° з Тагг как а = ради = — г + — г + — 1с, то, учитывая равенство дх ду де смешанных производных 2-го порядка, получаем гос а = гос 3гас( и = — — — — — г + д д д д Гл. 11. Векторный анализ 36 В п. 4 предыдущего параграфа вто равенство было получено с использованием свойств символического вектора набла. Потенциальное поле обладает следующими свойствами.

1. В области непрерывности потенциала пола линейный интеграл от вектора поля, взлтый между двумя точками полл, не зависит от пути интегрированил и равен разности значений потенциала поля в конце и начале пути интегрированна (а, ссг) = (бгас)и, с)г) = с1и = и)В) — и(.4) (3) А л л (использована легко проверлемая формула (бгас1 и, ссг) = аси). 2. Циркуляция вектора полн по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области непрерывности полл, равна нулю. 3. Если поле а потенциально, то потенциал поля и(Р) в произвольной точке Р может быть вычислен по формуле (3): и1Р) = (а, с)г) + С, А (4) да, да.

— ' = = =О, дх дх да, да„ вЂ” ' = —" = — 2у, ду дх дав да, —" = — '=2х. дх ду Следовательно, гос а = О. За путь интегрирования примем ломаную ОАВР, где 0(0, О, 0), А(Х, О, 0), В(Х, 1; 0), Р(Х, 1', Я). Находим: л в в и(Х, 1; Я) = (а, с1г) + С = (а, с)г) + (а, с)г) + (а, с)г) + С, олвв А и (а. с)г) = 2ху с1х+ (х~ — 2уг)с)у — у~ сЬ. причем С = и(А), что легко получается подстановкой в (4) вместо переменной точки Р фиксированной точки А. Для вычислении интеграла (4) можно выбрать любой путь — проще всего в качестве такого пути выбрать ломаную со звеньлми, параллельными осям координат, соединяющую точки А и Р. За точку А удобно принимать начало координат (если оно лежит в области непрерывности поля).

Пример 2. Найти потенциал поле а = 2ху1+ (хт — 2уг)3 — уЧс. О Убедимсл, что поле потенциально: 3 4. Специальные виды векторных палей Так как на [ОА] имеем у = з = О, ф = сЬ = О, О < х < Х, то л (а, пг) = О. с Аналогично, на [АВ] имеем х = Х, г4х = О, з = О, сЬ = О, О < у < У, поэтому и У (а,ог)= Х Ву=Х У. л о На [ВР] имеем х = Х, у = У, пх = ф = О, О < з < Я, значит, Р г (а, Дг) = — Уг с(з = -1'гЯ. Таким образом, и(Х, У, Я) = ХгУ вЂ” 1'гЯ+ С. Возврашалсь к перемен- ным х, у, з, получаем и(Р) = хгу — у~с+ С.

~> Замечание. Изложенный метод отысканил потенциала полл применяетсл при решении таких эквивалентных рассмотренной задач математического анализа, как восстановление функции двух, трех и и переменных по их полным дифференциалам, а также при интегрировании дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Найти потенциалы следующих плоских и трехмерных полей: 11.133. а = (Зхгу — уз)) + (хз — Зхуг)1. яп2х сов 2у )+ соз2хз1п2у 1 11.134.

а— 11.135. а = (уз — ху)(+ хг— 11.136*. а = [ — — — ~ 1+ 1— г / з у 2уг'1 11.137". а = ~ — — — — — ) (уг г хз) г — + ухг 3 + (х, +, гз)К 2 г з+ г У' х х 2хз''1 . 1+ ( )3+ ( хг гг уз ) Гл, 11. Векторный анализ 11.138*. Доказать, что во всюду непрерывном потснциалг нам векторном поле векторные линии нс могут быть замкнутыми.

х) — р 11.139. Убедитьсл в потенциальности полл а =, . Опрс- : 2 + У2' делить его особую точку и се циклическую постоянную. 11.140*. Доказать сформулированное выше свойство о том, что циркуляция по замкнутому контуру, окружаюшему особую точку, нс зависит от формы контура. 11.141*. Воспользовавшись формулой (4) длл определения потенциала поля, убедиться в том, что потенциал плоского поля, имеющего особые точки, будет многозначной функцией. 2.

Соленоидальнае поле. Векторное поле а = а(г) называстсл соленоидаю ным, если дивергенция этого полл равна нулю: с11ч а = О. Длл трехмерного полн это условие маасно переписать в виде да, да, да. Йча= — "+ — + = =О. дх др дг (5) В таком палс в силу теоремы Гаусса-Остроградского равен нулю поток вектора поля через любую замкнутую поверхность. Исключение мажет быть только в случае наличии в таком поле особых точек (в которых нектар полн нс определен и дпвсргснцил полл, сели ес апрсдсллть в такой точке при помощи формулы (1) э 3, отлична от нулл).

В этом случае поток через захссснутуча поверхность мосвет быть отличен ат нулл, но будет иметь одно и та все значение длл всех замкнутых поверхностей, окружающих данную группу особых точек. Пример 3. Доказать, что длл любого дважды диффсрснпируемого трехмерного векторного поля а = а(г) поле вихрей солсноидально.

э Имеем Если в плоском потенциальном поле есть точки, в которых поле терлет свойство непрерывности (так называемые особые точки), то циркуллцил по замкнутому вонтуру, окруасающему тассун~ точку, маскст быть отлична от нуля. В этом случае циркуллцил по контуру, обходлщему данную особую точку один раз в положительном направлении, нс зависит от формы контура и называется циклической постоянной относительно данной особой точки. Аналогичными свойствами обладают трехмерныс поля с особыми линилми, вдоль которых поле терлст свойство непрерывности.

З 4. Специальные виды векторных полей 39 учитывая равенство смешанных производных 2-го порядка, получаем д /да. да, 1 д /дах да:~ йчгоса = — 1 — ' » + — ~ — * — =/ + дх ~ ду Д.,) ду (, д. Дх,) д /да„да,1 + — ~ /— — — *(~=0. ~ дг 1, дх ду ( В и. 4 предылущего параграфа это соотношение доказано с помощью оператора набла. 11.142.

Доказать,что в соленондальном поле поток вектора через замкнутую поверхность, не содержащую внутри особых точек, равен нулю. Проверить соленоидальность следующих полей: 11 143 а (хзу+ уз)1+ (хз ху2)) 11 144 а ху21+ х2у) (х2+ уз)г)с 11.145. н = — 1+ — 3— у . (х+ у) 1пг 1с. уг хг ху 11.146. а = + х( — у» (х2 — у~)г»с Г 2 + 2 (х2 .» у2)З/2' 11.147'. Доказать, что в соленоидальном поле поток вектора полн через поперечное сечение любой векторной трубки (определенный в одном и том же направлении) сохраняет постоянное значение. 3. Лапласово (или гармопнческое) поле. Векторное поле называется ланласевым (или гармоническим), если оно одновременно и потенциальное, и соленоидальное, т.е, если гога = О и йча = О. (б) П р и м е р 4.

Доказать, что потенциал и двумерного или трехмерного лапласова поля является гармоническеи" функцией двух или трех ди ди дзи ди ди переменных (т. е. — + — = 0 или, + — + — = 0) . Дхг Дуэ Дхг Дуэ Дгэ 0 Действительно, имеем д и д и йгса = йчцгаг»и = + — = 0 дхэ дуз для двух переменных, ди ди дэи йча = йчцгзби = — + — + — = 0 дхз дуэ дг' для трех переменных. Гл. 11. Векторный анализ 40 1с 1 хэ+ щ+ «1с Йг а = дгвс1 — = Й йтас1 2 2 2312 3' х2 + у2 + «2 !х + у + « ) г Но зто — вектор силы пригн кения. Действительно, он направлен к центру притяжении, поскольку — г/г — единичный вектор радиус-вектора точки Р(г),направленный к началу. координат, а его модуль равен Цг, 2 т.е.

обратно пропорционален квадрату расстояния от центра притнжсг ния. Покажем, что с1!га = — асс!1г — =- О. Имеем: г3 эс 7' (х2 + у2 + 2)312 ' да, х« + у2 + «2 — Зх« у« + «2 — 2«2 (т« + у2 + «2)3/2 г3 Аналогично, да, х« + уа — 2«2 = = — lс д« г3 да, х«+ «2 — 2у« — — эс и потому — '+ — + — = — — (1У +« — 2х )+(х +« — 2У )+(«~+12~ — 2«2)) =О. дх ду д«г3 Итак, поле сил тяготении дапласово. 1> 11.148. Доказать, что плоское векторное поле, потенциалом ко- тарОГО СЛужИт фуНКцнц и =!ПГ (Г = „ээХ2 + уз), ЛаПЛаСОВО. 11.149*.

Для гармонических в области С функций и и ю дока- зать следующие формулы Грина: Л" дю а) Я и — сэо =- (Пгас! и, Пгас! и) с)о У дп Ь' С (первая формула Грина), б) и — — пэ — с!о = О 5 (вторая формула Грина), П ример 5. Показать, что потенциал поля сил тяготения, возникающего в пространстве, скруп аюшем некоторую точечную массу, равен 1сээг !й > 0 -- коэффициент пропорциональности) и что поле сил тнготснин лапласово. сэ Поместим начало координат в центре притлжения. Тогда 3 5. Првьюненнс криволинейных координат в векторнолг анализе 41 в) Я) г)а = 2 (Кгаг)и, Кгас)иг) гги й' д(ию) У ди у и (третья формула Грина). Являются ли гармоническими следующие функпии: 1 1 11.150.

и = — = г. / г+ 2 11.151. и = т — х = ~/хг + у2 — х 11.152. и = Ах+ Ву+ С. 11.153. и = Ахг + 2Вху + Суг. 11 154 и = Ахз + ЗВх2у+ ЗСхуг 1 Вгуз 11.155. и = Ах+ Ву+ Са+ В. 11.156. и = аых + аггуг + аззл~ + 2аггху + 2аг эха + 2агзул. 11.157. и = агых + агггу' + азззх + Загггх у + Заызх х + з з 3 2 2 + Загггхгу + Заггзу а+ Загззхх + Загззух + баггзхух. .