341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 5

Найти поток вектора а = 2х1 — у1 через часть поверхности цилиндра х2+у2 = В2, х ) О, у ) О, О < г ~< Н, в направлении рнешней нормали. 11.89. Найти поток вектора а = х21 + у21 + а2)с через часть 2 2 поверхности параболоида — (х + у ) = а, г < Н, в направлении Внутренней нормали. 11.90. Найти поток вектора а = х21 — у21 + 221 через часть 9феры х2 + у2 + 22 = В2, х ) О, у ) О,'а > О, в направлении Внешней нормали. 11.91. Найти поток вектора а = х1+ у1 — 2г1с через всю поВерхность куба )х! < о, )у! < о, ф < а в направлении внешней йормали. 11.92. Найти поток вектора а = 2х21+ Зу21 + 221 через всю р* . * /Р+у < ( /2 — — у р ешней нормали. 11.93. Найти поток вектора о = х1+ у1 + а)с через часть по- 2 2 иерхности параболоида 2 = — (х — у2), вырезаемую плоскостями 'х = В, а = О, х = О, ориентированной в соответствии с направлением орта 1с. 11.94.

Найти поток вектора а = х21+ у21 + Лс через часть Гл. 11. Векторный анализ 28 поверхности параболоида г = — 1х — у ), вырезаемую цилиндром Н г г х~ + у~ = ге~, ориентированной в соответствии с направлением орта !с. '3' 3. Соотношения между различными характеристиками скалярных и векторных полей 1. Дивергенция векторного поля и теорема Гаусса — Остроградского. Дивергенцией !или расхождением) векторного поля а = а(г), обозначаемой через Йга, называется скалярная величина, равная пределу отношения потока векторного поля а через замкнутую поверхность Ер к величине ир объема тела, ограниченного этой поверхностью, прн ор -+ О, т.

е. при условии, что поверхность стягивается в точку Р: 1 Ю (Йна)р = !нп — Я(а, Ио'). »г-»о ор Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля, «исходящего» из точки Р, т. е, мощность источника (при («!!га)р > О) или стока (при («!!га)р > О), находящегося в точке Р. В трехмерном евклидовом пространстве дивергенция непрерывно днфференцируемого поля выражается следующим образом: да, дав да, с)!та = — + — + —.

дх ду д. ' Теорема Гаусса-Остроградского. Лоток векторного поля а1г) через замкнутую поверхность Е» лежащую в этом поле, в направлении ее внешней нормали, равен тройному интегралу по области Г, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции этого векторного поля, т.е.

фь, «) = Я «»».. П р и м е р 1. Используя теорему Гаусса — Остроградского, найти поток Н вектора а = х~1+у~)+яэг!г через всю поверхность С тела — (хг+уз) < Лэ < г < Н в направлении внешней нормали. а Имеем «!!та = 3(хэ + уг) + Лг. Поэтому (а йг) = (3(х~+у~)+Рьэ)с!о. з 3. Характеристики скалярных и векторных полей 29 Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам. Уравнение поверхности примет вил 2 = Нт /Л, 2/ 2 г; и и | (з(х + уг) + нг) 41и = сер (зг~ + нг) г41г ог = о о нг / 2'~ = 2л)1 (Зг + Н )~ Н вЂ” — ) тс6.

= Г г г/ Нг~ Нг ) о — ( 1Н4+ 2Нггг З, 4) глг — „НН4 С, Нг 1 о 11.95. Найти 411т (хуг + у21 + гх)с). 1+1+ 14 11.96. Найти 411ч ' (х+у+2)2 11.97. Найти дивергенцию векторного поля а = х уз+ту 1+2 к 2 ' 2' г в точке Р(2, 2, — 1). 11.98. Найти ливергенцию градиента скалярного полн и =. Зугг в Р(1, — 1, Ц. 11.99. Магнитное поле, создаваемое электрическим током силы Г, текущим по бесконечному проводу, определяется формулой Н(Р) = Н(х, у) = 2Г . Вычислить 4)1ч Н(Р). У!+ хз х'+ у' 11.100.

Найти дивергенцию векторного поля а = ~с, г), где с— .постоянный вектор. 11.101. Найти сйч (г[с, г]), где с — постоянный вектор. Используя теорему Гаусса — Остроградского, решить следующие згадачи: 11.102. Доказать, что поток радиус-вектора г через любую ку.сочно гладкую замкнутую поверхность в направлении внешней огормали равен утроенному объему тела, ограниченного атой по:ВЕРхностью. 11.103. Найти поток вектора а = х 1 + у З вЂ” 2 Й через всю з з з поверхность куба О < т < а, О < у < о, О < 2 < а в направлении Внешней нормали.

11.104. Найти поток вектора а = г/г через всю поверхность сферы хг + у + 22 = Н~ в направлении внешней нормали. Гл. 11. Векторный анализ 30 11.105*. Найти поток вектора а = 2х1 + ус' — г)с, направленный в отрицательную сторону оси Ох, через поверхность части параболоида уз + гз = Нх, отсекаемой плоскостью х = Л. 11.106. Распространить понятие потока и дивергенции на случай плоского (двумерного) поля и сформулировать теорему Гаусса— Остроградского для этого случая. 11.10Т*. Используя решение предыдущей задачи, преобразовать циркуляцию вектора по замкнутому контуру Ь в плоском поле в двойной интеграл по площади, ограниченной этим контуром. 11.108.

Найти с помощью теоремы Гаусса — Остроградского поток вектора а = хзу1+ худ + хуг)с через всю поверхность тела хз + уз + гз < Нз, х > О, у > О, г > 0 в направлении внешней нормали. 11.109. Найти поток вектора а = хзу1 — худ+ !хе+у )г)с через всю поверхность тела х~ + у~ < ге~, 0 < г < Н в направлении внешней нормали. 2. Вихрь векторного полн. Теорема Стокса. Вихрем векторного поля а = а!г), обозначаемым гаса, называется вектор, который в.каждой точке Р дифференпнруемости поля определяется следующим образом: 1 (аргоса)р = !пп — ~ !а, с!г).

в( -(О ор эф с, Здесь в — единичный вектор произвольного направления, !р — малый замкнутый контур, окружающий точку Р, лежащий в плоскости, перпендикулярной к вектору в и обходимый в положительном по отношению к вектору в направлении, ог — площадь области, ограниченной контуром !р, предел ищется при условии, что контур !р стягивается в точку Р. В трехмерном пространстве гога через декартовы прямоугольные координаты вектора а = а,1+ аз)+ а,к выражается следующим образом: Теорема Стокса. Циркуллаил ди(с(ферениируемого векторного полл а по произвольному кусочно гладкому замкнутому контуру Ь равна потоку вектора го1а через поверхность С, ограниченную этим контуром ул !2) Гл.

11. Векторный анализ 32 Но так как эллипс имеет полуоси а = Вь42 и 6 = Л, то (а, Дг) = Знй-. С 11.110. Найти гос хуз(х(+ 93 + х)с). 11.111. Найти гос (Р(х, 9)(+ фх, у)З). 11.112. Показать, что магнитное поле Н(Р) (см. задачу П.99) в области своего определения является бсзвихрсвым. 11.113. Найти ротор поля (а, с], если а = хз) + 9~3 — хаасс и с = 1 — 1 + 21с. . 1 4- Ю 4- *1 11.114. Н У *'-';у'-';*' Ф' 11.111'с Ж р р 1 У .«р = ьр 1 + ьртз+ьр,1с вокруг оси, проходящей через начало координат.

Найти вихрь поля скоростей этой среды. 11.116. Вывести формулу Грина (см. ответ к задаче 11.107), применяя теорему Стокса к двумерному векторному полн> а = = аи( + а„З. 11.117. Пользуясь формулой Грина, убедиться в том, что площадь су' плоской области Р, ограниченной кусочно гладким контуром Ь, можно найти при помощи любого из трех следующих 1 (' интегралов: я = хр(9 = — рс(х = — ~> хору — рс(х. 2 ( ь ь ь 11.118. Используя последнюю формулу предыдущей задачи, найти плошади фигур, ограниченных следующими кривыми: а)* петлей Декартова листа хз + рз — Захр = О; п2 82 б) эволкртой эллипса х = — соз' с, 9 = — э1п с (а и б — полуз . з с с оси эллипса, с = ~/оз — бз). 11.119.

При помощи теоремы Стокса найти циркуляцию вектора а = з 1+ х~З + 9 )с по сечению сферы х + 9 + г = .К плоскостью х + у + х = Л в положительном направлении относительно орта 1с. 11.120. Найти циркуляцию вектора а = зз( + хзЗ + уз(с по сечению гиперболоида 2хз — 9~ + гт = гст плоскостью х + 9 = О в положительном направлении относительно орта ь Проверить при помощи теоремы Стокса.

11.121. Найти циркуляцию вектора а = уз(+ хуЗ + (х~ + р~)1с по контуру, вырезаемому в первом оптанте из параболоида хх + + у = (сх плоскостями х = О 9 = О, г = П в положительном 3 3, Характеристики скалярных и векторных лолой 33 направлении относительно внешней нормали параболоида. Проверить при помощи теоремы Стокса. 3. Оператор Гамильтона и его применение. Все операции векторного анализа можно выразить при помощи оператора Гамильтона — символического вектора ч (читастсл — набла), опредсляемого равенством .д .д д '7 = ' — +3 — +К вЂ”.

дт ду дз Применял известные операции умножения вектора на скаляр, скалярного и векторного произведения двух векторов, находим: .ди .ди ди ди бган и =! — +3 — + П вЂ” = ~7и; — = (в, бгаг(и) = (и, 'ч'и) = (а, й)и; дт ду дл ' дь. да, да, да. сйча= — '+ — а+ = =(~7, а); дт ду дг П д д д = ['7, а]. дх ду дз аь а, а, ди По аналогии с производной по направлению от скалярной функции— да вводится понятие производной по направлению единичного вектора в от векторной функции а(г). Именно, да — = (в, ~7)а = (в, бгаг) а,)1+ (в, бгаба, )д + (в, бгас) а,)П = да да,.

да„. да = — *)+ — "3+ =П. дл да да Производные по направлению прогжвольного (нс единичного) вектора с отличаются от производных по направлению единичного вектора только тем, что в них входит дополнительный скалярный множитель ~с(; (с, ~7)и = (с, бгаг(и), (с, "7)а = (с, бтра,)1+ (с, бгаб а„)) + (с, цгаг) а,))г. С помощью оператора Гамильтона удобно выполнять дифференциальные операции векторного анализа над сложными выражениями (произведение лвух или более скалярных функций, произведение скалярной функции на вектор, скалярное и векторное произведения векторов и т.п.). Гл.

11. Векторный анализ 34 Следует лишь помнить, что это оператор дифференцирования произведения. Пример 4. Найти градиент произведения двух скалярных функций и и о. а Имеем етая(ио) = 57(ио) = о(ио) +»7(ио) (стрелка указывает функцию, на которую «действует» оператор).

Но »7(ио) = о'Ги = о бга»)и, г7(ио) = и'7о = и бган о. Таким образом, бга») ио = ойта»(и+ нега»1о. с Пример 5. Найти гас[а, с], где с — постоянный вектор. О Так как по известной формуле векторной алгебры [а, [Ь, с]] = (а, с)Ь— « — (а, Ь)с, то, учитывая соотношение [»7, [а, с]] = О, имеем: гог [а, с] = [»7, [а, с]] = [~7, [а, с]] + [7, [а, с]] = ( о, с) а — (»7, а)с. Но ( ч', с) а= (с, »7) а, а это есть производная вектора а по направлению вектора с.

Далее, ('7, а)с = с(»7, а) = с йч а. Таким образом, гос [а, с] = (с, '7)а — с йча. ~> Выполнить следующие дифференциальные операции (с — постоянный, а и Ь вЂ” переменные векторы): 11.122. Найти йч (си) и йч (аи). 11.123'*. Найти Кгаг((а, с) и Кгаг) (а, Ь).

11.124. Найти йч[а, с] и йч[а, Ь]. 11.125*. Найти гоГ (си), гоб (аи) и го$ [а, Ь]. 4. Дифференциальные операции 2-го порядка. Можно образовать пять дифференциальных операций 2-го порядка: 1) йч дгаг(и = (57, Ч)и = 'Оэи = г5 и (лапласиан функции); 2) гос бга») и = [»7, »7]и; 3) дгаг(йч а = »7(~7, а); 4) йг гас а = (57, [~7, а]): 5) гоггога= [»7, [»7, а]]. Кроме того, операцию»7э можно применять и к векторным полям, т.е. рассматривать операцию »7эа.