341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 2

Сюда относятся такие разделы, как векторный анализ, элементы теории функций комплексНой переменной, ряды и их применение, операционное исчисление, методы оптимизации, уравнения в частных производных, а также интегральные уравнения. Наконец, четвертый том содержит теоретические введения, типовые примеры и циклы задач по теории вероятностей и математической статистике. Указанные выше изменения составляют лишь структурную пеРеработку Сборника, никоим образом не затрагивая ни расположения материала внутри соответствующей главы, ни последователь- »»ости нумерации примеров и задач.

В смысловом отношении авторы внесли только следующие изз«енения. Во всех разделах Сборника исключены теоретические Ьведения и циклы задач, связанные с численными методами. Дело и том, что в настоящее время существует целый ряд программных »болочек, каждая из которых реализует достаточно полный набор стандартных методов приближенного решения задач, а основные навыки работы с компьютером можно приобрести уже в школе. Авторы посчитали также необходимым добавить один новый раздел <Основы общей алгебры» и предложить цикл задач по тензорной алгебре в разделе «Линейная алгебра» в первый, «алгебраический» том Сборника.

Это связано с тем, что круг идей и методов общей :алгебры все глубже проникает в наукоемкие отрасли промышлен- Предисловие ности и, следовательно, становится необходимой частью образования и подготовки специалистов по инженерным специальностям. Кроме отмеченного выше, авторами выполнена стандартная техническая рабата по исправлению ошибок, описок и других неточностей, учтены также все замечания, возникавшие в процессе работы с предыдущими изданиями Сборника. А.

В. Ефимов, А. С. Поспелов ОТ АВТОРОВ б ноября 2001 года умер Александр Васильевич Ефимов — один из авторов и бессменный титульный редактор всех четырех изданий настоящего Сборника задач. До последних дней своей жизни он продолжал активно работать над подготовкой рукописи настоящего издания к печати. Авторский коллектив Сборника выражает глубокие соболезнования 'семье и близким Александра Васильевича.

Глава 11 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 31. Скалярные и векторные поля. Градиент 1. Геометрические характеристики скалярных и векторнъзх полей. пусть Р— область в пространстве двух, трех нли п измерений. Говорят, что в области Р задано скаллрное поле, если в уэ задана скалярная функция точки и(Р) = и(хм хз,..., х„) = и(г),называемая функцией йоля (г — радиус-вектор точки Р(хм хз,...,х„)). Если каждой точке Р й ьэ поставлен в соответствие вектор а(Р) = а(г), то говорят, что Ь области 1У задано векторное поле, определяемое векторной функцией а(Р = а(хм хг, ..., х„) = а(г). ростейшими геометрическими характеристиками скалярных полей являются линии уровнл и(х, у) = С в пространстве двух измерений, поверхности уровнл, или эквипотенииольные поверхности, и(х, у, з) = С в пространстве трех измерений и гиперповерхности уровнл и(хм..., х„) = С в пространстве и ) 3 измерений.

Простейшими Р. ометрическими характеристиками векторных полей являются векторе линии и векторные трубки. Векторной линией называется лнжня, касательная к которой в каждой точке имеет направление соотВетствуюшего ей вектора поля. Векторные линии для векторного поля ва = а,(+ аи) + а,к определяются системой дифференциальных уравне!ний дх йу дз а,(х, у, г) ат(х, у, з) а,(х, у, з) ' аналогично для плоских и многомерных полей). Векторной трубкой зывается поверхность, образованная векторными линиями, проходями через точки некоторой лежашей в поле замкнутой кривой, не соадаюшей (даже частично) с какой-либо векторной линией.

Определить вид линий или поверхностей (гиперповерхностей) (уровня следующих скалярных полей: 11.1. и = уз + х. 11.2. и = ху. 11.3. и = у/х. 11.4. и = х + у + г. 11.5. и = х2+у2 хз 118 и = х2+уз з 11.Т. и = хз + хз + хз + х4 11.8. и = х, + хг + хз + хв. Найти векторные линии следующих полей: 11.9, а = уз — х3. 11.10, а = х( — у1. 11.11.

а = у! +1. 11.12. а = г = хв+ у1+ х)с. 11.13. а = (г, с) (с — постоянный вектор). Гл. 11. Векторный анализ 10 з Пусть с = а1 + 6) + с1с. Тогда 1 3 а=[г,с]= х у г а Ь с = (су — Ьг)1+ (аг — сх)] + (Ьх — ау)И. Дифференциальные уравнения векторных линий поля а имеют следующий вид: йх йу йг су — Ьг аг — сх Ьх — ау Умножая числитель и знаменатель первой дроби на х, второй на у и третьей на г, находим хйх уйу сху — Ьхг ауг — сху Ьхг — ауг Складывая почленно и используя свойство пропорции, окончательно вы- водим: йх йу йг хйх+уйу+гйг су — 6г аг — сх Ьх — ау О Следовательно, хйх+уйу+гйг = О, или й(х +у +г ) =О. Отсюда получаем, что ха+у + С Аналогично, умножая числитель и знаменатель первой дроби на а, второй на 6, третьей на с и складывая почленно, находим йх йу йг айх+Ьйу+сйг су — Ьг аг — сх Ьх — ау О Следовательно, айх+ Ьйу+ сйг = О, или ах+ Ьу+ сг = Сг.

Таким образом, уравнения векторных линий имеют вид < ха+ уз+ гг = Сг (С1 > О), ах+ Ьу+сг = Сг. Векторные линии полн а представляют собой окружности, являющиеся сечениями сфер хг + уг + г~ = Сг плоскостями ах+ 6у + сг = Сг, перпендикулярными вектору с. 1> з 1. Скалярные и векторные поля. Градиент 1с 11.14.

а = — + — + —. х у х 11.16. а = (у — х)1+ (я — х)2 + (х — у))с. 11.16. а = х1е1 + хтет + хве4. 11.17. Найти векторную линию поля а = — у) + хт + Ыс, прохо- дящую через точку Р(1, О, О). 11.18. Найти векторную линию поля а = хз1 — уз2 + хъ(с, про- ходящую через точку Р(1/2, — 1/2, 1), 11.19. Определить вид векторных трубок: а) в задаче 11.12; б) в задаче 11.15.

2. Производная по направлеюпо и градиент скалярного поля. Пусть е = сов сг 4+сов Я+сов у 14 — единичный вектор данного направления в, го — — хо1+ уо) + яо14 — радиус-вектор точки Ро(хо, уо го). Производная скалярного поля и(Р) в точке Ро по направлению в, обозначаемая через ди —, определяется соотношением дв ди, и(го + тв) — и(го) — = !ип дв ° о т и характеризует скорость изменения функции и(Р) в направлении в. ди Ярокзводная — вычисляется по формуле дв ди) ди ди ди — — сова+ — совД+ — сов ~. (1) дв ~ дх ду дя Градиентном скалярного поля и(Р), обозначаемым символом лгал и, Иазь1вается вектор, проекциями которого на координатные оск являются соответствующие частные производные функции и(Р), т.е.

ди. ди. ди цгаби = — ) + — ) + — 1с. дх ду дх (2) ;аналогично определяется производная по направлению н градиент для ~Ь-мерных скалярных полей. Исходя из выражения производной по направлению (1) и определения градиента (2), доказать следующие свойства градиента. 11.20. Производная поля по направлению в равна скалярному произведению градиента поля на единичный вектор данного направления, т. е. равна проекции градиента на данное направление д — = (бгас(и, в) = (бгас(и)сое~р, дв где ~р — угол между градиентом и вектором в.

Гл. 11. Векторный анализ 12 11.21. Направление градиента есть направление наибыстрейшего возрастания функции поля. 11.22. В каждой точке паля градиент направлен цо нормали к соответствующей поверхности уровня в сторону возрастания потенциала поля, т. е.

ди )бгайи) = —, до' где и — направление нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции поля. 11.23. Пусть и = и(х, у, г) и о = о(х, у, з) — дифференцируемые функции, с — постоянная. Доказать следующие соотношения: а) бгай(и+ о) = йгас1и+ 8гас1о; б) 8тай(с+ и) = ягайи; в) пгай(си) = сбгайи; г) бгай(ио) = обтайи+ ибгайо (см. пример 4 3 3); д) бгай(и") = пийя 'бгайи; /их ндгайи — ийгайо е) нгай Н = ,о~О. Ю о2 Найти градиенты следующих скалярных полей: 11.24. и = )г).

11.25. и = 1п)г). 11.20. и = (а, г); а — постоянный вектор. 11.27. и = (а, г)(Ь, г); а, Ь вЂ” постоянные векторы. 10.28. и = )[а, г))~; а — постоянный вектор: пу. ° = ~.~ =,Рта'тя. п~- 11.29. (8тайи(т), г) = и'(т)т. 11.30. [8гайи(т), г) = О. Найти производные от следующих полей в заданных точках по заданному направлению: 2 2 11.31. и = х~ + — у в точке Ро(2, -1) по направлению вектора РоРы где Рс(6, 2). 2 1 2 11.32. и = — х2 — — у + г в точке Ро(2, 1, 1) по направлению х — 2 у — 1 х — 1 прямой = = в сторону возрастания поля.

1 О 2 11.33. и = хс, + х2~ — хз~ + хс в точке Ро(1, 3, 2, — 1) по направлению вектора а = 2ес + ез — 2е4. З 2. Криволинейные и поверхностные интегралы 13 11.34. Найти производную скалярного поля и = 1/~г~ по направлению его градиента. х' у' 11.35. Найти производную скалярного поля и = — + — +— о2 б2 с2 в точке Р(а, б, с) по направлению радиус-вектора втой точки. 11.36. Найти угол между градиентами паля и = хз + 2у~ — гз в точках Р1(2, 3, 1) и Рз(1, — 1, 2). 11.37. Найти скорость и направление наибыстрейшего возрастания поля и = хуз в точке Ро(1, 2, 2). 11.38.

Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня поля и = х~ + 2ху — 4уз в точке Ро(1, 1, — 1), направленный в Сторону возрастания поля. 11.39. Найти стационарные тачки поля и = 2хз — 4ху + уев — 2уз+ бз. Убедиться в ортогональности линий уровня полей: 11.40. и = х2 — уз, е = ху. 11 41 и 2х2 + у2 о у2(х Убедиться в ортогональности поверхностей уровня следующих полей: 11.42. и = х~ + у — з~, о = ха + уз. 11.43. и = х + у~ — 2г~, и = худ. 11.44. и = х, + хз — хз — х4, о = х|хз+ хзх~, ш = х1х4 — хгхз. 2 2 2 2 Найти семейство линий наибыстрейшего возрастания для следующих полей: 11.45.