341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 10

12.155. Найти область сходимости и область равномерной сходимости, а также сумму рида ~-( 1 1 сп 1 ! сп-~-! =о 3. Свойства равномерно сходищихси рядов. Сформулируем рнд свойств в виде задач. 12.156. Доказать, что если члены равномерно сходншсгосп в области В! функционального ряда (1) умногкить на одну и ту же ограниченную в области В! функцию !р(с), то равномсрнан сходимость рида не нарушится.

12.157. Доказать, что если функции гп(с) непрерывны в области Р! и ряд (1) равномерно сходитсн в этой области, то его сумма г" (я) непрерывна в области .Р!. 12.158. Доказать, что если функции гп(с) непрерывны в области В! и рлд 11) равномерно сходится в атой области, то его мол!но почленно интегрировать по любой кривой 1, целиком лелсашей в з 2. Функциональные рллы области Р„т. е. имеет место равенство п=! иа производных ~~! у'„'(х) равномерно сходится, то исходный ряд и=! можно почленно дифференцировать, т.е. имеет место равенство Для равномерно сходящихся рядов из аналитических функций имеет место Теорема Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда (1), т. е. функции зп(г), являютсл аналитическими в облас!пи Р й нкцпями и в любой замкнутой подобласти Р! С Р ряд (1) схотел равномерно, тес а) сумма ряда (1), т. е. функция з'(г), является аналитической в области Р; б) ряд (1) можно почленно дифференцировать любое число раз, т. е. справедливы равенства У!"!( ) = ~ У!"!( ), 9 =1, 2, ..., ° ~ Р; (2) п=! в) в любой замкнутой подоблас пи Р! С Р полученные в резульпьате дифференцирования ряды (2) сходятсл равномерно. 12.160.

Используя утверждение задач 12.157, 12.158 и теорему тйорера (теорема, обратная теореме Коши), доказать утверждение а) теоремы Вейерштрасса. 12.161. Воспользовавшись формулой Коши для производной и Г ерждением задачи 12.158, доказать утверждение б) теоремы йерштрасса. 12.159*. Доказать, что если на отрезке (а, 5] функции Ях) днфференцируемы, функциональный ряд ~~! /„(х) сходится, а ряд Гл.

12. Ряды и их применение 68 8 3. Степенные ртщы 1. Область сходимости и свойства степенных рядов. Ряд со+ с1(г — го)+се(г — го) +. ° .+сп(г хо) + ° ° ° = ~~' сп(х хо) (1) п=о называется степенным по степеням х — го. В частности, ряд со+с1г+стг +...+с г +...=~ с х (2) Сп+1Х и+1 1пп и+ и Спгп =)х! 1пп —" <1 — сп или 1пп фс„~") = )х! 1пп фс„) < 1.

Отсюда для вычисления радиуса Л круга сходимости получаем соотношения 1 1 11 = или В= Спв1 !пп Г„т1с„) 1пп и — тте сп Пример 1. Исследовать на сходимость ряд (х+ 2)г (г + 2)4 (х+ 2)тп ~~ (х + 2)тп я=1 а Применим признак Даламбера: (х+ 2)зп (х+ 2)гт 4-1) пз 3" ' (и+ 1)т Зп"' является степенным по степеням г. С помощью замены х — хо — — Я ряд (1) сводится к ряду (2). Теорема Абеля. Если степенной рлд (2) сходится в точке х = х1 ~ О, то он абсолютано сходится длл всех г тпаких, что )х) < < ~х1~, причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом крузе ~х( < т < ~х1(. Если же рлд (2) расходится в тпочке х = хз, то он расходится и для всех х таких, что (х! > )гз!.

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является круг с центром в начале координат (с центром в точке хо), радиус которого может быть определен применением либо признака Даламбера, либо признака Коши, т.е. из условий 3 3. Степенные рлды 71 и=1 2. Разложение функций в ряд Тейлора. Имеет место следуюшая Теорема Тейлора. Функция Г(г), аналитическая в круге )г- го( < В, однозначно представимо в этом круге своим рядом Тей- лора Г(г) = ~~~ си(г — го) коэу!уоиииенты которого определяются по уоормулам1) Грй(го) 1 Г Г(у) сЬ~, п=0,1,. ой 2ог1 „I (уу — го) и ь! ~о-*от" <и С л е д с т в и с.

Если функция Г(г) аналитична в области Р и го Е Р, то в круге (г — го~ < В (го, Р), где Л(го, Р) — наименьшее расстояние от точки го до границы области Р или до ближайшей точки г', в которой Г(г) не аналитична, Г(г) может быть представлена в виде степенного ряда У(г) = ~~ си(ав)(г — го)", (3) и=в возффициснты ноторого определяются по формулам о Г~"~(") 1 Г Г( 1) п! 2пс' ,/ (с! — го)"ь' п=0,1, !о-*о!= .<к!*о, и> Если го = О, то ряд Тейлора называют также рлдом Маклорена. ! ) Здесь н далее дпп записи криволинейных интегралов по замкнутому контуру (контурпых интегралов) мы используем обычный знак интеграла.

12.195. п2и )п и Е' '. 12.197. ~~! п1ги'. и=! со 2 12.199. ~ — ', „. и=1 12.201. ~~1 и=1 12.196. ~~! (-1)" (г + 3)". и и+1 и=! 12 199 ) пи(г — 5)и (3п+ 1)!о ' и=1 12.200. ~~У 2" ги . и=о 12.202. зо о 72 Гл. 12, Ряды и их примснснис Пример 2.

Разложить функцию у'(2) = ай 2 в ряд по стспсням 2 (т. е. в ряд Маклорена). е' — с < Так как БЬ 2 = являстся аналитичсской во Вссй плоскости, 2 то по тсоремс Тсйлора сс ряд Маклорсна будст сходиться к ной во всей плоскости. Имсеы (аЬ2)1~"чф = сЬ2, я = О, 1, ..., (аЬ2)1 ьй = айз, и с 1~!.

~2О(О) (12й-ы )(О) Следовательно, с2 = — — О, а сг„.ы = (2я)! ' " (2и+1)! (2я+1)!' н искомое разложение имеет вид 2п-Ь! -' (2и+ 1)!' я=О 3 а м с ч а н и с. Если рассматривать ряд Тейлора функции г'(х) действитсльной переменной, т.е. ряд 11ОМхо) и! а о то для справедливости равенства (3) (при 2 = х и хо —— хо) нсобходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора Л„(х) стрсмился к нулю при п -+ Оо.

Остаточный член может быть записан, например, в форме Лагранжа (т — х )" 1! 17„(х) = ' У~"+О (хо + д(х — хо)), где О < 0 < 1, (и + 1)! или в форме Ьоши (х — хо)"ь'(1 — О)" я.! или в какой -либо другой ф ормс . Пример 3. 1'азложить в ряд Тсйлора по стспсням х функцию е'. а Функция 1(х) = е' бесконечно цифферснцпрусма и (сх)! "1 = с'. Следоватсльно, 71 "1(0) = 1.

111ормула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет внд ь .пь! е' = ~ †' + е~', О < 0 < 1. 1=-О Ы (и+ 1)! З 3. Стгпсггиьгс рлды 73 Цк любом конечном отрезке х Е ( — а, а], а > О, нмссм ]иь! и-1-1 1ПП ]Ли(т)] = 1!П1 Еаи < Си 1!и! = О, и-иии и-7ии (71 + 1)! и-77и (71 + 1)! а потому длп любого г б К ~Ю е'=~ —.

2и и! и=о При решении многих задач рскомендуетсл пользоватьса следующими разлогксниями злемснтарных функций: 2 и ги а) с" = 1 + г + — +... + — +... = х7 —, г Е С. 2! и! г-и и!' п=о 22 гп 2и б) сов 2 = 1 — — +... + ( — 1) — +... = ~~7 ( — 1) —, г Е С. 2! ' (2и)! „(2и)1' гз 2иь! 2из1 в) 21пг =г — — +...+( — 1)и +... = ) ( — 1)и 3! (2и+ 1)! (2и+ 1) ' и=о г Е С. Г)1п(1+ ) =г — + * 2 ги ии гп +( — 1) — +... = ~~7 ( — 1) —, ]г] < 1.

и 71 и=! 2и.1-1 277 ь1 +(-1)и '' +...= ~ ~'(-ци' 2и+ 1 2и+ 1' и — — о з д) агс!я г = г — — + 3 = 1 — г+ г' — г'+ + (-1)лги+ ]г] < 1 1+г П р н м с р 4. Разлогкить в рпд по стспсняы г + 3 функцию! и (2 — 52). ]г] < 1. 77(11 1) 2 н(й 1) .

° ° (77 71 + 1) и е) (1+г)" = 1+772+ 22+.. + 2! и! г + +,+~,- 77(77 — 1)... (77 — и + 1) ]г] < 1, 77 б И~Я и=! в случас, когда а = 7и Е К, функция (1+ г) и' раскладывается по бинол7у ьютона в много шеи, причем разлогкенис имеет место во всей плоскости). гк) при 77 = — 1 иа с) получаем бесконечную геометрическую прогрессию!о знаменателем -г: 74 Гл. 12. Ряды н нх применение а Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмиче- ской функции: 5 !п(2 — бя) = !п(2 — 5(я+3) +15) = 1п17 1 — — (я+3) 17 = 1п17+ !и 1— 17 5 Воспользуемся разложением г) для !п(1+ и), полагая и = — — (з + 3).

17 Так как разложение г) имеет место при ~и! < 1, то наше разложение 5 будет иметь место при — !г + 3~ < 1. Таким ооразом, 17 !п(2 — бг) =1п17+ ~~~ ( — 1)вч' ~ — — (я+3)/ 1, 17 ) п в=1 = !п17 — ~ ~~ — ), (а+3! < —. / 5 л " (я + 3)" 17 ~,17) и г я=1 Заметим, что на действительной оси в точке х = 2/5 ряд расходится (гармонический ряд), а в точке х = — 32/5 по признаку Лейбница сходится.

Следовательно, ( — 32/5, 2/5) — промежуток сходимости на действительной оси. с Часто для разложения функций в ряд удобно пользоваться дифференцированием или интегрированием известных разложений, а при разложении рациональной дроби разложить ее на простейшие. Пример 5. Получить разложение г) для функции /(з) =!п(1+ я). < Имеем где путь интегрирования не охватывает точку г = — 1.

Заметим, что 1 функция — при !г1~ < 1 является суммой геометрической прогрессии 1+ г! со знаменателем -г1, т.е. причем, если )г!! < )г! < 1, то ряд сходится равномерно и его можно 3 3. Степенные ряды дочленно интегрировать. Позтому для з таких, что ~я~ < 1, имеем: 75 0 и-~-1 =Е(- ).— ' п+1 Пример 6. Разложить в рнд по степеням з функцию ~з — 2 + 19 (з — 3)з(2я + 5) а Разложим 1'1з) на элементарные дроби. Имеем П)= + 1 2 2з+ 5 (я — 3)з По формуле суммы геометрической прогрессии 1 1 1 1 „ /2я1" 5 — — — (-), (я! < 3. 2 2 1 2 з — 3 31 ~ 3 3 3 =0 Замечал, что я — 3) (я — 3)з ' и учитывая утверждение б) задачи 12,163, получим 2 2 пап ' (, 3)з-ЗЕ Зп (т! = 3. 1 2 Складывая ряды длн и, имеем 2 + 5 ~ - З)з ' и — 0 1п(1+ ) =)1 Г 51 1+„ 2 и (п+ 1)яп Зх- 3 п=о 00 и ~~п 1 1)пз.! п п=1 76 Гл. 12.

Ряды и их применение Пример 7. Разложить в ряд по степеням х (х Е !3) функцию 1' з!пи у(х) = / — с!и. о га-и и а Зная разложение функции зьчи = у ( — 1) ' (см. разложение (2/с + 1)! в)), имеем и ь а (2/с+1)!' а потому, используя свойство в) задачи 12.163, получаем к ОЭ а ее 1 — '- -"1' ° "-, гь .2ь~-1 ""- Е( ') ~ (2 + )! Е( ') (2 + (2 +1) о а=о о а=о хй!3.