341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 9

5 511 «г + (2« — 3) «+ 5 — 1 = О. Решить двучленные уравнения: 5 512 «з 1 О 5 513 «з + 1 О 5.514. (« + 1)4 — 16 = О. 5.515. (« + 1)4 + 16 = О. Гл. 5. Введение в анализ Решить биквадратные уравнения: 5.516. ли +18лг+ 81 = О. 5.517. л4+4сг+ 3 = О. 5 518 ла + 9лг + 20 = 0 5.519. л' — (1+1)лг + 2(1+1) = О.

Решить трехчленные уравнения: 5 520 ло + 4лз + 3 0 5 521 за+ 15лс 16 0 5.522". Показать, что все корни уравнения с 1 + (х (1 + 1а) (а Е К) 1 — (х (1 — (а) действительны и различны. Следующие многочлены разложить на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами: 5 523 .4 — 1 5 524 .4 + 1 5 525 .л +,г + 1 5.526.

л4+4лз+11лг+14з+10; известен один корень лс = — 1+1. 5.527. л + л + л — л — л — 1; известен двукратный корень с 4 3 г 1 Д л1 = зг = --+1 —. 2 2 5.528. л~ + 6лз + 9лг + 100; известен корень л1 = 1 + 21. 1пп ли и — ~ос Пп1 уи = и-~ос 5.529.

Пусть хи сс Ке ли и уи = 1гп ли. Доказать, что = а ~ оо тогда и только тогда, когда 1шс хи =- йео. и и — ~со = 1гпа. 5.530. Пусть !пп ли сс о. ~ ео и Пш юи сс Ь у'= сю. и — ~ос и->ос что: а) 1пп (ли+юи) = а+ 6; б) 1пп лиюи сс аб. и->со и — ~со Доказать, 5.531. Пусть 1пп ли = а ф оо и 11п1 юи = б ~ О.

и — >со и — ~со ли а что 1пп — = —. и — и Юи Ь Доказать, 3. Предел последовательности комплексных чисел. Число а нааывают пределом последовательности комплексных чисел (ли)иек и пишут 1пп с„= а, если для любого е > О существупг помер Х(е) такой, по и->со при и > Х(е) выполняется неравенство ~си — а) ( е. Последовательность (си)„ен называют сходлпсепсл к бесконечностпи и пишут 1пп си = со, если для любого Е > О существует номер М(Е) и — ~ос такой, что при и > Х(Е) выполняется неравенство )с„! > Е. 3 5. Комплексные числа !О Вычислить пределы: 1 1 — 1п 5.532.

1пп 2 — т + — (1 + 1)) . 5.533. 1!щ — — —. и — т 'т и )' ' ' и тсо 1+1п' 5п 1пз , (и+ 21)(3+ 71п) и со 3п+ 2 из+ п — 41 и — тсо (2 — 1)пз + 1 и' л 5.536. !пп 1 + — ) . 5.537. 1пп — е'и 4 . т — к 'т и и 5.538. 1пп (21)п. 5.539. !ип 2и + г 1 —— и — тсо тт-тсо 'т и// (1 1 5.540. 1пп ~ — — — +... + — т ~, 51 25 (51)" / п к 5.541. 1!ш 2 — „.

5.542. 1!ш '! пе4п — +1 ~ 1 + — ) ). и ...3' пи ~ п ~, и) ) п / 3+ 2г~т и 5.543. 1пп 2;, „. 5.544. 1пп ~1+ ) п-тоо ь о (2 — 31)" и-тоо ~ п ) Доказать, что следующие последовательности ограничены, но расходятся: 2 — п 5.545. зи сл г". 5.546. з„= ( — 1)и +1 2+и , ттл 1 5.547. ги = 1 + — ~ е' З . 5.548. зи ло — !г" + ( — 1)и). п) 2 Показать, что следующие последовательности неограничены, но не сходятся к бесконечности: ли 5.549. зи со и(1 + ги).

5.550. зи = (е' 2 — 1) 1п п. 5.551. Пусть ти = )зп! и трп = агб го. Доказать, что 1пп ги ол и и — тсо (О < (а! < оо) тогда и только тогда, когда 1пп ги = !а! и 1пп три =: и тоо тт — т со = аг8 а (при надлежащем выборе области главных значений аргументов). Результат задачи 5.551 часто используется при вычислении пределов комплексных последовательностей. Пример 5. Пустыр — действите пьное число (то ~ 0) . Доказап„чттт !у'1" !пп ! 1+ — /! = созсо+1сйпзт = е'". п/ Гл.

5. Введение в анализ 50 З Рассмотрим две действительные последоватедьности: 1+ 1+ 2 р„= агд 1+ — ) = нагл ~1+ — ) = наго«8 —. Вычислим нх пределы: 2 2у 2 е д«п) аппп 1+ г) — е зн н — >со и-~ос 1 1 д, агой (у/н) 1нп у„= 1пп пагсг8 — = у !нп = Ф. и-~ -к П -и р(П Отсюда получаем 11гв 1+ — ) = 1 (сов~р+гв|вр) = е'~. 1> 6р'1" И-~ОО 5.552. Пусть « = т + гу. Доказать 1см.

пример 5), что Пгп (1 + 1 ох1сов у + 1 в1гг у) ех-~-1в ех — нг Доказать сходимость следуюпгих последовательностей и найти их пределы: 5.553. «„= «", )«( < 1. 5.554. «„= гг«", )«( < 1. 5555 «и —— 1+«+... +«",!4 <1. в 5.556. «„= „, )«( ) 1. «2н ' 1+ «г +... + «~1 5.557. Вычислить 1ин „', если )«1! < 1 и )«2~ < 1. в '~1+«2+ ° ° +«2 5.558. Пусть 1пп «„= а ~ оо. Доказать, что «г + «2 + ... + «„ 1нп = а. в — ~Ох и Глава 6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 0 1.

Производная 1. Определение производной. Дифференцирование явно заданных функций. Пусть Ь|(хо, Ьх) = у" (хо + Ьх) — ((хо) — прираи!ение 4ункиии у = 1(х) в точке хо, соответствующее прираи!гнию аргумента йх. Производной 1-го порядка (или первой производной) функции у = у" (х) в точке хо называется предел у,( ) Ь|(хо, Ах) л* о т1х Числа Л ((хо, Ьх) а* — о Ьх Ьу(ха, Ьх) + ' ох'"~.о называются соответственно левой и правой производными функции у = = т'(х) в точке хо. Для существования производной у'(хо) функции 1(х) в тачке хо необходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая производные в втой точке существовали и совпадали, т, е.

т' (хо) = (.ь(хо). Пример 1. Найти !' (О) и у' (О) для функцеш т'(х) = (х!. З Имеем по определению (ххх! — Ьх У' (О) = 1нп — = !пп — = — 1 лх-~-о Ьх ох-> — о т1х у' (О) = )нп = !нп — = 1. (Ьх), Ьх лх-~+о с1х ох~+о т1х Заметим, что функция у (х) = )х! не имеет производной в тачке то = О. с> 52 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Производная функции у (х), рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией. Процесс нахождения производной называют также дифференцированием. Таблица производных основных элементарных функций: 1.

(х')' = ах' ', а ~ О. 2, (а*)' = а* !па, а > О; (е*)' = е*. 1 1 3. (?об, х)' = 1од, е —, а > О, а ~ 1; (!п х)' = —. х х 4. (я?пх)' = соях. 5. (соях)' = — я1пх. 1 6. (ббт)' = 1 7. (стбх)' =— я1п х 1 8, (агссйп х)' = — (агссоя х)' = 1 9. (агс18х)' = — (агсс18х)' = 1+ хэ' Правила дифференцирования функций: ?. Пусть С вЂ” постоянная и ?(х), д(х) — дифференцируемые функции. Тогда; 1. (С)' = О.

4, (уд)' = у'д+ ?9'. 2. (? + 9)' = ?'+ д'. 5, ( - ) =,, д ф О. у.г"'! ' Гд — 9'.? 9 9 Я'(хо) = 9'(Уо)У'( о) (2) (иравило дифференцирования сложной функции). Пример 2. Найти производную функции я =!ода (агся?пх). 0 Пола~ая я = 1одэ у и у = агся?их, имеем 1 е'(у) = ?обэ е — и у 1 у'()= у — — ~. Отсюда, согласно (2), получаем 1обэ е 1 агсяш х ~/? — хт 3. (С ?)' = С ?'.

Н. Пусть функция у = ? (х) имеет производную в точке хо, а функция Я = д(У) имеет пРоизводнУю в точке Ув = У(хо). Тогда сложнаЯ фУнкциЯ г = 9(?(х)) в точке хо имеет производную, равную 3 1. Производная 53 Найти Ь1 (хо, Ьх), если: 6 1 ((т) = хз хо = 1, Ьх = 0,1. 6.2. ((х) = ~Гт,, хо = О, Лх = 0,25. 6.3. ((х) = 18х, хо = 100, Ьх = — 90. Найти Ь((хо, Ьх) как функцию Ьх, если: 6.4. ((х) = я!пх, хо = —. г Имеем Ьу ~ —, Ьх~ = Яш — + Лх — Яш Ьх (л Ьх1, г Ьх = 2яш — соя ~ — + — ) = — 2сйпг —. 2 !2 2) 2 6.5.

((х) = хг, хо = -1. 6.6. 1(х) = е', хо = 1. 6 7,((х) = !одг(х), хо = 1. Пользуясь только определением производной, найти (~(х): 6.8. ((х) = с18х. а Имеем: с!8 (х + Лх) — с!8 х сйп ( — Ьх) (с!8 х)' = !!ш !'нп Ьх — ~О Ьх ах-~о Ьхя(ах я!и (х+ Ьх) 1 1 = — !'пп г вх-~ояшхяш(х+Ьх) яш х 6.6. ((х) = —,. 6.10.

((х) = ъ~х. 1 6.11. ('(х) = 2 '. 6.12. ((х) = !одг х. 6.13. Известно, что ((0) = 0 и существует предел !пп —. ((х) х-~о х Доказать, что зтот предел равен ('(0). 6.14'. Доказать, что если ((х) имеет производную в точке то, х,((хо) — хоУ(х) то !пп = зх(хо) — хо( (хо). х — ~хо х — хо Длн заданной 1'(х) найти (' (хо) и (+(хо): 6.15. ((х) = !х — Ц + ~!х + 1(, хо = х1.

(х, х<1, (х) ~ г хо=1 г+2х, х) 1, 54 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной З Имеем У'(1) = !!ю йх) -~(1) !пп = 1 *-~4 — о х — 1 * — ~4 — о х — 1 (1) = !4п4 ~(х) — !'(1), х2 + 2х — 1 1пп — = — !пп (х — 1) = О. о. ь-М+О Х вЂ” 1 х-ч14-О Х вЂ” 1 х-ч1+О ГО, х< 6.17. 1(х) = ~ -~х2!пх, х> 6.18.

1(*) = /1— о, х 6.19. Дх) = 1 + е~!* О, О, хо = О. =О, хэ — — О. 6.29". Показать, что функция 1 2( ) ~хэ!и —, хфО, )О, т=О, 6.33. у = (~/х — 1) — + 1 . 6.34. у = З~хз — 2~/хз 4 ~/х / непрерывна при х = О, но не имеет в этой точке ни левой, ни правой производной. Найти производные следукпцих функций: 2 4 5хь 6.21. у = 3 — 2х+ — х4. 6.22. у = — —. 3 я2 1 1 1 х — 1 6.23. у = — — — — —. 6.24. у = х х2 хэ х+1 х2+ 1 6.25. у = . 6.26. у = (х2 — 1)(х2 — 4)(х2+ 9). 1+ зх2 1 6.27. у = 6.28.

у = ~/2н з+3 ~з/~22 а+ Ъх 6.29. у = —, + —. 6.30. у = ~хз Ъ ' С+ 4)Х 2 1 2+ ьУх 6.31. у = 6.32. у = 2х — 1 х 2 — ~/х 56 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 6.73. у = 1одз1п2х. в.я. у = ~" в**'ь"З 6.75. у = 1п агс!8 тьь1+ хт. 6.76. у = !п (х + т/ат + хз), Найти производные гиперболических функций: е* — с х 6.77. а!ьх = (гиперболический синус), 2 ех+е х' 6.78.