341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 8

Значение Аггг, удовлетворлюшее условию О < Агпг < 2к, называетсл главным значением аргумента и обозначастсл сигзволом агл г. В некоторых случаях главным аначением аргумента называется зна- чение Агдг, удовлетворлюшее условию — к < Агдг < -г. Из соотношений (4) следует, что длл всякого комплексного числа г справедливо равенство г = ~гНсаяр+1я1пу), называемое глриганометринескай формой числа г.

П р и м с р 1, Представить в тригонометрической форме комплексное число г = — 2+ 2гь/3. < Имеем ь13 42 Гл. 5. Введение в анализ поэтому главное значение аргумента равно агдг = 2т/3 и, следова- 2т 2т1 тельно, г = 4 соа — + 1сйп — ) . ~> 3 3) Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости: 5.435. — 1.

5.436. 1 — зз/3. 5.437. — — + 1 —. Л 2 2 1 — 2 я, к 5.438.. 5.439*. — соа — + 1а1п —. 1+1 7 7 5.440. вш — +1сов —. 5.441. 1+ сов — +1вйп —. 3 3 7 7 Комплексное число х — 19 называется сопрлженныи комплексному числу г = х + 1у н обозначается символом Уь Доказать следующие равенства: 5.442. г + г = 2 В.е г и г — г = 211зп г. 5.443. (г) = г. 5.444. ~г! = (г!.

5.445. г1 + г2 =- г~ + г2. 5.446. г1г2 = г122 и ( — ) = —. 5.447. гг = ~г~ . 2 г2 г2 5.448. Вычислить: т2 а) г~г2 и ( ), если г1 = 1 $Я, г2 = ъ~З+1; г2 — 2 б) гн92 и —, если г1 = 3+ 21, гз = 2+ 22'. гз 5.449. Пусть р(г) — произвольный многочлен с действительными коэффициентами. Доказать, что для любого г Е С верно равенство р(г) = р(г).

Решить следующие уравнения: 5.450. Ц вЂ” г = 1 + 2С 5.451. (г! + г =- 2 + з. 5.452. Доказать равенства и выяснить их геометрический смысл: г1| 1М а)! 1Ы=! з! Ы, ! — (= —; г2 1г21 угз 'з б) Агбг1 + Агбг2 = Агб(г~гг), Агбг1 — Агбгэ = Агб ( — ) г2 (равенства б) понимаются в смысле равенства множеств — см. с.

9). Э 5. Комплексные числа Выяснить геометрический смысл следующих преобразований комплексной плоскости: 5.453. г -э г — 2. 5.454. г — 1 г + (3 — 1). 5.455. в †1 1тт2 5.456. э -+ — (1 — 1)ж 5.457. в -+ — г. 5.458. в -+ 2ж 2 5.459. э — т . 5.460. г — + Х 1 — 1 5.461. Доказать, что: а) величина )г1 — вэ! равна расстоянию на комплексной плоскости между точками М1 и Мэ, изображающими комплексные числа г1 И Эг', б) (э1+э2) < К~э11+!з2~ и (е1 в2~ > |1э1! 1э2О (неравенства треугольника).

Каков геометрическийсмысл этих неравенств? 5.462. Доказать тождества: а) )г1+ ге)~+ )г1 — гэ1~ = 211э1)~+1ээ) ) (каков его геометрический смысл?); б)* 1в1/+1гэ ! 2 + ъуэ1зэ! +! 2 ъ В задачах 5.463 — 5.473 дать геометрическое описание множеств всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим условиям: 5.463. Пе з > О. 5.464. 0 < 1т г < 1. 5.465. )1щ г! < 2. 5.466. (в! < 1.

5.467. )з + 1( = 2. 5.468. 1 < 1в + 2) < 2, 5.469. (в! > 1 — Вс ж 5.470. )в — 1( = )г + 2). 5.471. О < аг8 г < тг/4. 5.472. )тг — агбар) < 1г/4. 5.473. э = Г. г — 1 5.474. Пусть г ф — 1. Доказать, что Ве = О ео )в( = 1. в+1 Пусть д — произвольное действительное число. Символом еее обозначается комплексное число сов ~р+ т в|в 1т. С помопп ю этого обозначения всякое комплексное число г = ф1сов~р+1сйп~р) может быть записано в иокозательной форме э = (э1е'". Представить в показательной форме следующие комплексные числа; 7+ 241' 5.475.

5.476. 5 — 121. 5.477. — 3 — 41. 5.478. — 2+1. 5.479. в1па — 1соэа. 5.480. э1па+1(1 — сова). Гл.5. Введение в анализ е'"+е '" сов ьг = 2 егл — е " ап!ф = 2г 5.484. Доказать формулу Муавра: если в = ге'~, то в тв ти или, в тригонометрической форме, з" = т (сов7ир+1вшпу). Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения: (1+ )5 5 485 (1 + 1)1о 5 488 ,)з ' 5.487. ( ~ .

5.488. (1 + 1)а(1 — 1~/3) 5.489. Доказать равенства: пл , пх; а) (1+4)" = 2"~г ~сов — +1яп — ); 4 4 пп , пат б) (~/3 — 1)п = 2п ~сов — — 1аш — ) 6 6) 5.490. Используя формулы Эйлера, выразить через косинусы и синусы кратных дуг функции: а) сова р; 6) вша ~о. Используя формулу Муавра, выразить через сов уг и в1п уг следующие функции: 5.491. совЗ~о. 5.492. вшЗр. 5.493. сов4~р. 5.494. аш4уг.

5.481. Доказать, что символ е'т обладает следующими свойствами: а) е'гл" = 1 (Чп Е .Е): б) е'~ = е '"'; ею1 в) е'т1 е'~'~ = ей1'1+»1~ и —. = ейт' ~ г~. егег 5.482. Данные числа я1 и яг представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними: г а) х1 хг, — ', если в1 = 2ч'3 — 21, зг = 3 — З~ 31; б) х~~хг, —, если з1 = — ъ'2 + 1чГ2, хг = ч'8 — 1~/8. вг Л1 5.483. Доказать формулы Эйлера я 5.

Комплексные числа 45 Пусть а = ге'т, а ф О, — фиксированное комплексное число. Тогда уравнение г" = а, н Е И, имеет в точности п различных решений го, тн ..., л„ы причем вти решения даются формулой ;20 .. ~+2~) 1 = О, 1, ..., и — 1 (здесь,~г — действительное положительное число). Числа ль, й = = О, 1,..., и — 1, называются корнями гмй степени из комплексного числа а н обозначаются символом ~/а. Пример 2. Найти все корни 3-й степени из числа а = — 2+ 21~/3. 2~г 2л'1 0 Так как а = 4е' я = 4 ~соя — + г сбп — (, то 3 3(' (фа)ь = ч'4е ~ / = 64 (соя1 — + — й) +1сбп( — + — к) ~, ~д 3 ) 19 3 )/' где к = О, 1, 2. 2л. 2л '1 При )с = О: (тра)о — — Я соя — + 1яй1в 9 9~' 8т, 8т'1 При 9 = 1: Ца), = ч'4 соя — +1яш— 9 9)' 14л, 14т '1 При й = 2: (тзгга)т = О'4 соя — + гя1п —, с. д 9). 5.495.

Найти и изобразить на комплексной плоскости все корит 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы. Найти все значения корней: 5.496. тгг. 5.497. ф-1. 5.498. ~9. 5А99. ~/-1~~~~. ББОО. г2 '$+2~. 5ЛО1. г — 1 — '. 5.502. г1 -'; ЫЗ. 5.503.,'/$2 — 2Ф) 5.504. Доказать, что квадратные корни из комплексного числ могут быть найдены по формуле /Я + х /Гя~ — х 1 ьгя = ~/х+19 = ш 11 + зябну~ 2 2 ) Гл. 5. Введение в анализ Использование показательной формы комплексных чисел во многих случаях значительно упрошает вычисления. П р и и с р 3. Привести к виду, удобному для логарифмирования; В(Эг) = яш ар+ яш 2~р+... + я1пяд, ~р у- 2лпц т б Ж. з Тап как гбп ~р = 1п1 е'", то, используя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем: Я(~р) = 1ше'и +1»по'»4 + .

+ 1гпе'"е = 1ш(е'е + е'ге +... + е'"") = д .и ,и е'е(1 — е'"е) е 4 +' г "(е ' г "' — е'г ") ег(е г — ег) яш(яр/2),п»1 я1п(п~р/2) я1п((п+ 1)/2)|р 1ше' г "= и. я)п (ьг/2) яш (р/2) Привести к виду, удобному для логарифмирования: 5.505. сояуо+ соя 2р+ соя Зуо+... + совгир. 5.506. соя~р+ соя Зр+ соя5~р+... + соя(2п — 1)уэ. 5.507. вша+ яшЗ~р+ ашба+... + яш(2п — 1)~р. 2. Многочлены и алгебраические уравнения. Многочленом (полиномом или целой рациональной функцией) п;й степени называется функпия вида (5) р„(г) = а„г" + а„ 1г" + ...

+ а1» + аа, где г б С, ао, оы, а„— коэффипиенты (вообше говорл, комплекс- ные), причем а„ф О, и е К Уравнение алг" + а„,гл +... + а1г+ ао = О, ан ~ О, (6) называется алгебраическим уравнением и-й степени. Число га, для которого р„(га) = О, называется корнем многочлена (5) или уравнения (6). Теорема Гау сса (основная теорема алгебры). Всякий много- член ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообше говорл, комплексный). Число га являетсл корнем многочлена р„(») в том и толька в там случае, когда р„(г) делитсл без остатка на бином г — га, т.е. Рп(г) = (» — го)ди 1(г), где д„ 1(г) — многочлен (и — 1)-й степени.

Если ро(г) делится без остатка на (г — га)ь, к > 1, но не делитсл на (г — га)"ы, то га называется корнем кратности Й многочлена р„(г); при этом ро(г) = (» — а)'у -ь( ), где д„ ь(го) Ф О. 3 5, Комплексные числа 47 Теорема Гаусса может быть уточнена следующим образом: много- член и-й степени имеет ровно и корней, если каждый корень считать сгполько раз, какова его кратность.

Если коэффициенты многочлена (5) — действительныс числа и «о —— = хо +1уо — его комплексный корень, то сопряженное число «о — — хо— — 1уо — также корень этого многочлена, причем корни «о и Уо имеют одинаковую кратность (см. задачу 5.449). Пусть многочлен р„(«) имеет корни «и ««, ..., «(т < п) кратностей соответственно /см й«, ..., й (к1+ к«+... + й = п). Тогда его можно разложить на линейные множители, т. е. справедливо тождество р («) а (««~)ь~ (««г)ьь (««)ь Если при этом коэффициенты многочлена — действительные числа, то, объединяя скобки, соответствующие комплексно сопряженным корням, можно разложить этот многочлен в произведение линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами.

Пример 4. Найти корни многочлена «в+ 2««+1 и разложить его на мноязители. з Так как «в+2««+ 1 = (««+1), то корнями этого многочлена являются корни 3-й степени из — 1; «з =-1; к, я 1 т/3 «« = соз — +1з!и — = — +1 —; 3 3 2 2 ' к ., я 1 ~ГЗ «з = соз — — 1з1п — = — — 1 —. 3 3 2 2 При этом каждый корень имеет кратность к = 2. Разложение этого многочлена на линейные множители имеет вид г 2 «в + 2«з + 1 = (« + 1) « — — + (в Объединяя последние две скобки в один сомножитель, получим разложе- ние на множители с действительными коэффициентами в+2 з+1 ( +цз( э +цз Решить квадратные уравнения: 5 508 «г + 2«+ 5 = О 5 509 4«з — 2«+ 1 = О 5.510. «з + (5 — 21) «+ 5(1 — 1) = О.