341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 7

у"(х) = з)их. 5.383. у'(х) = агсащх. Задана функция у'(х). При каком выборе параметров, входящих в ее определение, у(х) будет непрерывной? 5.384. у(х) = х~ 1, х = 1. х — 1 А, (х — 1, х< 1, 5.385. у(х) = ( ~ах+1, х < з./2, 5.386. )'(х) = '1 в)их+ б, х > и/2.

Если в точке хв нарушено хотя бы одно из условий а)-в), то хв называетсн точкой разрыва функции у = у(х). При этом различают следующие случаи: а) !пп ! (х) существует, но функция не определена в точке хв или нао-ооо рушено условие 1пп у'(х) = г"(хв). В этом случае хв называется точкой о-ово устрани инго раэрьэва функции. б) 11ю г(х) не существует. Если при этом существуют оба одно*-ооо сторонних предела !пп 1(х) и !пп ! (х) (очевидно, не равные друг *,-;-в *-о 'о — О другу), то хв называется точкой разрыва 1-гв рода. в) В остальных случаях хо называется точкой разрыва 2-ео рода.

з 4. Предел функции. Непрерывность Найти точки разрыва фуги«ции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»: 5.387. /(2:) = 1 (Зх — 5) хг(х — ц ' 5 388 /(х) = Зх — 5 ' (1+х)" — 1 5.389. /(х) =, и Е Р(. 5.390. /(х) = — а)их. 5.391. /(х) = 1 — хзгп —. 1 5.392. /(х) = ЗсП« * ). » х 5.393. /(х) = (х+ 1) агсЦ вЂ”. 5.394. /(х) = 1 (х+ 2( т. агс18 (х + 2) 31Пс — 2) 5.395. /(х) = —. 5.396.

/(х) =- — !и Згрс 2) +1 х 1 — х 1/х — 1/(х + 1) 1 — соа х - 1/(х 1) 1/х ~( — хг 2*, — 1 <х< 1, 5 399. /(х) = х — 1, 1 < х < 4, 1, х=1. 5.400. /(х) = 1 2/х, О <х< 1, 4 — 2х, 1<х<2,5, 2х — 7, 25<х<4. 5.401. /(х) = -и/2 < х < к/4, х=п/4, соа т,, 1, г ,„2 т. 16' 5.402. /(х) = и/4 < х < к. 5.403. Доказать, что вес точки разрыва ограниченной монотонной функции являются точками разрыва 1-го рода.

4. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность. Функция у = /(х) называется непрерывной на мнпзссстве Р, если она непрерывна в ьагвдой точке а к Р. Она называется равномерно непрерывнпй на мнппссстпс Р, если для любого е > О сушсствуег чигло В( ) > О таКОЕ, Чта дЛП ЛЮбЫХ Х, Хп Е Р ИЗ НСрааспетаа )Х' — Хп) < О(в) следует )/(х') — /(хп)! < е. Теорема Кантора. Если функция д = /(х) непрерывна на отрезке (а, Ь), тп пна равномерно непрерывна на этпм отрезке. Гл. 5. Введение в анализ Ь.404. Доказать, что если у = у"(х) — непрерывная на [а, 6) функция., то она: а) ограничена на [а, 6]; б) достигает на [а, 6] своих верхней и нижней граней (те ар е- ма Вейерштрасса); в) принимает на любом интервале (а', 6') С [а, 6] все промежу- точные значения между у(а') и у(6') (теорсма Коши).

5.405. Доказать, что если функция у = у(х) непрерывна на [а, +оо) и существует конечный 1пп у(х), то эта функция ограх->+со ничсна на [а, +оо). 5.400. Показать,что функция 1 П ) яй-, хФО, О, х= О, принимает на любом отрезке [О, а] все промежуточные значения между у(О) и у(а), однако не является непрерывной на [О, а). 5.40Т. Доказать, что всякий многочлен нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень. 5.408. На языке «е-Ь сформулировать утверждение: функция у = у (х) непрерывна на множестве Р, но не является равномерно непрерывной на этом множестве.

В качестве примера рассмотреть следующие функции: а) ) (х) = 1/х, Р = (О, 1]; б) у(х) = 1бх, Р = (О, 10]; в) )'(х) = эй1 —, Р = (О, 1]. 5.409. Доказать, что если функция у = у(х) непрерывна на [и, +оо) и существует конечный 1пп у" (х), то эта функция рав- Х вЂ” ~+О0 номерно непрерывна на [а, +оо). 5.410.

Полазать, что неограниченная функция ~(х) = х+ э1пх равномерно непрерывна на всей оси -оо < х < +оо. Следующие функции исследовать на равномерную непрерыв- ность на заданных множествах; 5.411. з (х) =, Р = [ — 1, 1]. 5.412. Дх) = 1п х, Р = (О, 1]. 5.413. Дх) = —, Р = (О, и).

1 5.414. у'(х) = е' соэ —, Р = (О, 1]. 3 5. Комплексные числа 39 5.415. у(х) = агс1дх, Р = 14. 5.416. ~(х) = т«гх, Р = [О, +оо). 5.417. у(х) = хзгпх, Р = [О, +оо). '3 5. Комплексные числа 1. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексными числами называются всевозможные упорядоченные пары 2 = (х, у) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умноженил: (Х1, У1) + (Х2, У2) = (Х1 + Х2, У1 + У2), (хг, у1)(хг, уг) = (хгхг — угуг, хгуг+ хгуг). (1) (2) (х, у) = (х, О) + (О, 1)(у, 0).

(3) Если теперь комплексные числа вида (х, О) отождествитьг) с действительными числами х, а число (О, 1) обозначить символом г, то равенство (3) принимает вид д = х+1У и называется алгебраической формой комплексного числа 2 = (х, у). 5.415. Доказать, что операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами: а) 21+ 22 = хг + 21 (коммутатианость сложения); б) (Х1+ хз) +ха = х1+ (хг+аз) (ассойиатианость сложения); в) 21хг = хзхг (коммутотисносгпь умножения): г) (21хг)хз = 21(хгхз) (ассоииауниеность умножения); д) х1(22 + хз) = 2122 + хухз (закон дистрибутивности). ) Та есть установить взаимно адназпачпае соответствие (х, О) <-«х между мнажестпамп ((х, О) [х Е П) и ««.

Из (1) н (2) следует, чта эта соответствие «сохраняет аперапнв«: (хг, О) + (хг, 0) = (хг+ хг, О) 1-1 хг + хг, (21, О) . (хг, О) = (хгхг, О) с~ хгхг. Множество всех комплексных чисел обозначается символом С. Действительные числа х и у называютсл дсйстаитсльааи и мнимой частями кол«плексного числа 2 = (х, у) и обозначаются символами Ее 2 и 1щ д соответственно. Два комплексных числа 21 = (Х1, у1) и 22 = (хг, уг) называются раань«ми толыю в том случае, когда Х1 —— хг и уг = уг.

Из определений (1) и (2) следует, что всякое комплексное число (х, у) может быть ааписано следующим образом: Гл. 5. Введение в англаиз (2+ 1)2 = 4+ 4л+ лэ = 3+ 4л, (1 — 21)(2+ 1) = (1 — 21)(3+ 4л) = 3 — 2л' — 8лэ = 11 — 2л, откуда окончательно получаем (1 — 2л)(2+ 1) + 5л = 11 — 21+ 51 = 11+ Зл. с 5.421. (2+ Зл)(3 — л). 5.422. (1+ 21)2.

5.423. (1 — 1) — (1+ л)з. 5.424. (2л — 12) + (1 — 31)з. 5.425. 1+1 а Результат может быть получен непосредственно по формуле из задачи 5.419. Заметим, однако, что (1+ л)(1 — л) = 2 есть действительное число. Поэтому, умножая числитель и знаменатель заданной дроби на 1 — л, находилс 2 — 1 (2 — л)(1 — 1) 1 — 31 1 3, 1+ л. (1+ л)(1 — 1) 2 2 2 5.427. (1 — 1)(3 — л) ла + 2 5.429. 3+2 лчэ+1 1 1 5.426. + —, 1+42 4 — л 5.428. 3 — 1 5.419.

Доказать что: а) лУам з2 Ф 0 Э з (зэх = яг) ( число а называетсц частным от деления аг на а2 и обозначаетсл символом — ); З2 б) если аг = жг +(уг и х2 = т2+ лУ2, то зг хгх2 + У1У2 У! т2 — х1У2 2 2 2 2 22 тг+ у2 т2 + Уг В задачах 5.420-5.429 выполнить указанные операции, представив результат в алгебраической форме.

5.420. (1 — 2()(2+1)2 + 51. о Задача состоит в том, чтобы заданное комплексное число представить в форме х + лр. Для этого можно воспользоватьсн непосрелственно формулами (1) н (2), однако этот же результат можно получить следующим образом. Как показывают свойства операций, перечисленные в задаче 5.418, при сложении и умножении комплексных чисел, представленных в алгебраической форме, с ними можно обраьцатьсн как с биномами вида а+ лЬ, учитывая дополнительно, что 12 = (О, 1) (О, 1) = ( — 1, О) = — 1. Поэтому 3 5.

Комплексные числа 41 ) ) = г7-2)'-у а 'в' 1 сая~р = — —, 2' яш~р = —, Найти действительные решении следующих уравнений: 5430. (1+1)х+ ( — 2+ 51)у = — 4+ 171, 5 431. 12((2х+1)(1+1) + (х+ у)(3 — 21)) = 17+ бя1 Решить следующие системы линейных уравнений: 5.432. (3 — 1) гг + (4 + 21) гз = 1 + 31, (4+ 21)г~ — (2+ 31)гг = 7 5.433. (2 + 1) гг + (2 — 1) гз = 6. (3 + 21) гг + (3 — 21) гз = 8. 5.434. ягг + гз = 1. (1+ 1М + (1 — 4)гг = 1+1. Если на плоскости введена лекартова прлмаугальнал система коор- динат Оху, то вслкому комплексному числу г = х + уу может быть поставлена в соответствие некоторая точка Л1(х, у) с абсциссой х и ординатой у.

При этом говорлт, что точка М(х, у) изабрллжает ком- плексное числа г = х + 1у. Плоскость, на которой изображаютсл комплексныс числа, называется комплексной плоскостью, ось Ох — дебспгвительнои" осью, а ось Оу —. мнимой осью. Число г = вГхг+ уз называется модулем комплексного числа г = = х+1у и обозначается символом (г!. Модуль числа г равен расстоянию точки Л1, изображающей это число, от начала координат. Вслкое решение д системы уравнений Х у соя са =, гбп ~р = (4) ~хг + г' ~ г +,„г называетсл аргументном комплексного числа г = х + уу ф О. Все ар- гументы числа г различаютсл на целые кратные 2к и обозначаются единым символом Аглг. Каждое значение аргумента совпадает с ве- личиной:р некоторого угла, на который следует повернуть ось Ох до совпадения г радиус-вектором ОЛ1 тачки Л1 (при этом д ) О, если пово- рот совершается против часовой стрелки, и ~р < О в противном случае).