341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 67

10.3Т8. у = Сг сов(2!п)х!) + + Сг яп (2 !п (х!) + 2х. 10.379. у = Сгхз + — — 2 !их + —. 10.380. у = С 1 хг 3 Сг + Сгх + Сзхз. 10.381 у = Сг + Сг !п )х) + Сзхз. 10.382. у 1 = (2х + 1)(С4 + Сг!п)2х+ 1!). 10.383. у = — вЬх. 10.384. у = вЬ 2в вЬх сов х — — 10.385. у = — — (единственное решение). 10.386. Нет реше- вЬ 1 с4п1 ний. 10.387. (х — 2) + у = 5. 10.388. у = 1 — вЗпх — совх. 10.389. у = ~е — е. * х . 10.390. у = — — х- + х !их. е — 1 2 Ответы и указания 427 па+со, Л Л Гй 10.391. х = е ' ~асозД1+ яп Д ~, где а = —,,3 = ~/ — — аг. 13 )' 2т 'г пг д~х дт Указание. Уравнение имеет вид т — +Л вЂ” +(сх = О.

Йг <Й + Л Л 10.392.х = е иг а сЬ 111 + зЬ )Й), где а = †, Д = ~(аг + — . Д )' 2т' 'г' т ~Рх дх Указание. Уравнение имеет вид — + Л вЂ” — Ьх = О, ьнг щ оо 10.393.а) г = асЬыг; б) г = — зЬый Указание. Уравнение имеет вид ,ь...)' — = ы г. 10.394. т = ае " сЬыЛ/Г+1ггг+ зЬы~ггГ+1ггг г а /~+ г 3 10.395. Т = — 1п(9+ ~/80) и Зс. Указание. Уравнение имеет вид ,гд д в д д — — -в = —, где з — путь, пройденный за время 1 концом опускаю~г 9 9 2дяп301 — 60 lдяпь~дР шейся части цепи. 10.396. х = (см).

Указад — 900 Дгх ние. Если х отсчитывать от положения покоя груза, то 4 — = 4д— ц~г — Й(хо + х — у — 1), где хо — расстояние точки покоя груза от начальной точки подвеса пружины, 1 — длина пружины в состоянии покоя, поэнгх тому Ь(хо — 1) = 4д и, следовательно, 4 — = — Ь(х — у), где й = 4д, 11г д = 981 !сг. Е гу 1 1 11г 10.397. 1 = е Ы~ )(гы — — ) соз (уы -1Дсы))'+ дг ),), Сы) ус 4Ег 1 1 Вг шс ) ~~~~~ ~ ~а~ ~ ьс 4е'~+ Е //1 + г 11 — — уы солюс+ Вяпыг (1/(Сы) — Ты)'+ дг (Лси (Рг Й 1 Де У к а з а н и е. Дифференциальное уравнение цепи: г, — + — + — г = —.

г(1г г)1 С (гг ' Е де 10.398. г = — 1яп , <г Имеем — = Еы созоЛ. Дифференциаль2е,~Хс' й г(гг' 1, ное уравнение цепи: Š— + — г = Еы созый Обшее решение соответ,(гг С 1 1 ствующего однородного уравнения; го = С1 соз 1+ Сг яп чгХС Лс ' 428 Ответы и указания Частное решение линейного неоднородного уравнения имеет ьид г = с!! = !(Ассами!+Вз!пы!). Тогда — = !( — Аызпгы!+Высозы!)+Ассам!+ Й +Вз!пыг, —; = !( — А з совы! — Вы з!пы!)+( — 2Аыз!пы!+2Высозы!). г г г ' 4гг гг~г г Подставляя в уравнение выражения г и —, и учитывая, по Еы~ — — = <йг С = О, получим тождество Ц вЂ” 2Аыз!пы! + 2Высозы!) = Еысо«х1, Е Е ! откуда А = — О, В = —.

Следовательно, г =- — !яп . Общее 2В 2Ь огХС 1 1 Е 1 решение: 1 = Сг сов =1+ Сгзш !+ — !з!п $,. Вычисляя о'ЬС ~/ХС 2ь т/ЕС г!з Сг ', 1 Сг 1 Е 1 — — яп !+ соз ! + — Ссоз !+ 4г чгХС ХС ' 'ХС ' ЯСС 2ВьгХС Е 1 + — яп г и используя начальные условия, найдем С1 — — Сг = О.

2Х огХС Е 1 Искомос частное решение: з = — 1яп 2В т/ХС 10.399. з = — — сов~аз!пы! + — !сов(я!+ р). 10.400. х + у г г 2ыЬ 2Ь = гг — 2г(у — ху'), х + уу' = гх' — г'(у' — ху'). 10.401. Уу' + гг' = О, г,г Их ~~у дг Ни Йх уг + 2хзг' = хгг' . 10.402. — =-— 10.403.

— = и хух — гз ' 1 ду Й~ Но Йо г!х г!р ~!з Пи до — — — — — 10.404. — — = — =- — = — = уг ' Йо ~1~ г)х г!р Аг яи Й, ело — 10.405. — = — = — =- — = — = го+! !+о 1 о и 2У вЂ” г и х+у — г г!х йу Аг г)! г!и 0о г!и 10.406. — = — = — — — — 10.412. Сгхг = 1 ! хг — иа с+и до и, -ху = 2!.ЬСг, уг = С1(2Г+Сг). 10.413.х = Г +См у" = ! +Сг. (С1 + Сг — х)г . (С, — С + х)г 10.414. Уг =, гг — — 10.415. х 2(Сг — х) ' 2(Сг — х) = !п/Сз(С~!+ Сг)), у = !и/Сз(Сг!-! Сг)/ — См г — — (С| + !)1+ Сг. 10.416.хг + уг + г- .=- С~у, х =. С р. 10.412. х =- С г, у = С е' + — .

Сг 10.418. г — 2у = С„ 2~(Б — х — у т у = С . 10.419. тг = С,ег' + Сгс г', 1 уг = С,ег' — Сге г'. 10.420. у = х+, е х'*, г = Сгес"; у = С С. з =х-е~, г=е '. 10.421.х=СУ, уз=- —,„+С; ==у, уз=-х. +1. Ответы и указания 429 10.422. а) Да; б) нет. У к а ванне. Соотношение ~р(», х, у) = С явластгя первым интегралом системы х', = »»(», х, у), у» =,»г(», х, у) тогда и д д~ дз только тогда, когда — + »»(», х, у) — +,(г(», х, у) — = О.

д» ' ' дх ' ' ду 10.423. 2ег "= хг+(у Цг 10 424 уз+Зз»(тг 1) 10 О 10425 у = х(1+!и т»»Ц). 10.426. (у — х)г + хг = 1. 10.427. у = С~х»з'»г + + Сгх' "г, г = х'г 'С»(2+ з/2) + х »' 'Сг(2 — з»»2). 10.428. у = С» Сг С» + Сгх, г = 2Сг + †. 10.429. т = С1» + †, у = — С»» + х '' ' С' + —. 10.430. х = —, у = Сге — —. 10.431. х = С»е + Сге Сг Сг , С» »г ' »г ' р = С»е' + 2С ег' 10.432.

х = ЗС»ег' + Сге"', у = Сгег' + з-Сгем; х = Зег», у = ег». 10.433. х = ез»(С» сов 2» + Сг яп2»), у = ея ((С» — Сг) в!и 2» — (С» + С ) сов 2»); х = ея(сов 2» — яп 2»), у = 2ез' яп 2». 10.434. х = е ~~ (С» сов 3» + Сг яп 3»), — г» У = —,е Я((4С» — ЗСг) сов 3»+ (ЗС» + 4Сг) Яп 3»). 10.435. х = (2С»»+ 2Сг + С»)е ', у = (С»»+ Сг)е С 10.436. х =. (С»»+ Сг)е з', у .= — С»С+ — — Сг е з', х = 2»е у = (1 — 2»)е . 10.437. х = Сге + е» ~Сг сов — »+ Сзяп — ».

», я .. г»' т/3 ь»3 'т 2 2,] ' т»З ,/з, у = С» е' + -е '»г ! (Сз ~/3 — Сг) сов — » — (Сгз»»3 + Сз) яп — » ~, з = 2 2 2,) ' — »г ,~з БАГЗ ~ = С, е' + -е '»г ( (Сгз»»3 — Сз) яп — » — (Сз т» 3 + Сг) сов — » ); х 2 2 2,/' У = г = е'. 10.438. х = С»ег' + Сге ', У = С»ег' + Сзе з = С»есн — (Сг + Сз)е ', х = е" + е ', у = ег' + е ', з = е"— — 2е '. 10.439. х = С» + ЗСгег', у = — 2Сгег'+ Сзе ', з = С» + + Сге㻠— 2Сзе 10.440. х = С»е + Сгем + Свез», У = С»е' + 2С еЯ 2 5 г = 2С»е'+ Сгег'+ 2Сзез'.

10.441. х = 2С,ег'+ Сге з' — -» — —, 3 18' » 1 у = С»е~' + ЗСге з' — — — —. 10.442. х = (Сг сов»+ С яп» вЂ” 1)е', 2 12 »г»з Р = (С» в»п», — Сг сов»)е'. 10.443. х = С» + Сг» + — + — — Зе'~ ег', 2 3 430 Ответы и указания у = Сэ — — + Ст1+ — — 2е ( е Са у ээ я 3 2 10.444. х = Сэ сов1+ Са яп1 — 1сов1, у = (Са — Сэ) совС вЂ” (Сэ + Ст) яп1+ 1(сов1+ яп1). 10.445. х = Сэ сов1+ Ств!п1+ 181, у = — Сэ вш1+ Стсов1+ 2.

10 446. х = 3(С« еа' + Све я) + Св сов 21+ С< яп 21, у = 2(С<е «+ Све ~~) — 2(Сз сов 21+ С< в«в 21). Указание. Искать решение системы в виде х = Аеьэ, у = Веьэ. а(1 — 2 ') За(1 — 2 ') 10.44У. х = 4 ' 4 у = Указание. Система диф- ференциальных уравнений: х = Йэ(а — х — у), у = Йт(а — х — у). й еоэ/ш .

" х "у 10.448. х = асов — 1, у = яп — 1; — + — = 1. Указаат эиет нне. дифференциальные уравнения движения: <их = — э<ах, ту = = — кту. 10.449. Неустойчиво. 10.450. Устойчиво. 10.451. Неустойчиво. 10.452. Асимптотически устойчиво. 10.453. Асимптотически устойчиво, если а < — 1/2; устойчиво, если а = — 1/2, и неустойчиво при а > — 1/2. 10.454. 1, = — «ээ + /э(1, вэ + «еэ(1), ., х„+ «э„(1)) = Р;(1, ам ..., х„), э = 1, 2, ..., п. Указание. Преобразовать систему (1) к новым пере- менным, полагал хэ = х; — щ, э = 1, 2, ..., и.

10.455. Точка покоя х; = О (э = 1, 2,..., и) системы дифференциаль- ных уравнений устойчива, если длп любого е > О найдетсн б(е) > О так п кое, что из неравенства 2 х((1о) < б'(е) следует 2 х((1) < в при всех «=э <=1 <« 1 > 1о. Если, кроме того, выполнено соотношение 1пп 2 х((1) = О, э-ч- то точка покои системы асимптотически устойчива. Точка покоя не- устойчива, если найдутся е > О и номер э такие, что при любом б > О нз неравенства /х,(<о)/ < б следует !хэ(«)/ > е длп некоторого 1 > 1о. 10.456.

Неустойчивый фокус. 10.457. Седло. 10.458. Неустойчивый фо- кус. 10.459. Устойчивый узел. 10.460. Устойчивый узел. 10.461. Устой- чивый узел. 10.462. Ни прн каких а. 10.463. /а/ > 2. 10.464. а < О, (а/ > ф/ — случай большого <отрицательного тренияэ, точка покоя — неустойчивый узел; а < О, !а/ < уэ/ — случай «отри- цательного тренин«, точка покоя — неустойчивый фокус; а = О, точка Ответы и указания 431 покоя устойчива — центр; а > О, )а) ( ф), точка покоя — устойчивый фокус; а > О, (а) > ф), сопротивление среды велико, точка покоя— устойчивый узел. Указание.

Заменить уравнение эквивалентной нормальной системой х = р, у = — 2оу — Фх. 10.465. Указание. Использовать запись частного решения однородной системы при различных значениях характеристического корня. 10.466. Неустойчива, 10.467. Устойчива. 10.468. И = х~ + у~; устойчива. 10.469. Г =- ха + ут; неустойчива. 10.470. Г = х~ Е р":, устойчива. 10.4Т1. И =. ха+уз; неустойчива. 10.4Т2. И = 2хт+ут; устойчива. 2 т 10.473. И = у — -„хт; неустойчива. 10.474. Устойчива.

10.475. Неустойчива. 10.476. Неустойчива. 10.47Т. Устойчива. 10.478. Устойчива. 10.479. Неустойчива. 10.480. Ъ' = Зхз Ч 4ут; асимптотичсски устойчива. .