341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 3

Множество верхних граней длн полуинтервала [О, 1) — это множество [1, +ос) с наименьшим элементом, равным 1. Поэтому япр [О, 1) = 1, причем 1 ф [О, 1). С другой стороны, наименьший элемент длл рассматриваемого множества [О, 1) существует и равен О. Множество нижних граней — это множество [ — со, 0] с наибольшим элементом, равным нулю, который и являетсп точной нижней гранью полуинторвала [О, 1).

Таким образом, шш [О, 1) = 1пу[0, 1) = О. г 5.72. Доказать, что приведенное выше определение точной верхней грани эквивалентно следующему: Число М есть точнан верхняя грань множества Х в том и только том случае, если: 1) х < М длн всех х Е Х; 2) длп всякого я > 0 найдетсл элемент х Е Х такой, что х > > М вЂ” я. 1 1 1 5.73.

Пусть Х = (1, —, —, ..., —, ...~. '2'3' 'гь' а) Указать наименьший и наибольший элементы этого множества, если они существуют. б) Каковы множества верхних и нижних граней для множества Х? Найти япр Х и шу Х. Длп следующих множеств найти шахХ, пппХ, япрХ и 1пуХ, если они существуют: 1 5.74. т, = (т. Е К[х = —, и Е Ы~.

5.75. Х = [ — 1, 1]. 5.76. Х = 1х Е У [ — б < х < О). 5.77. Х = 1х Е 51[х < 0). 5.78. Х =- (х Е К [ х = —; т, гь Е г[ и т < и). и' 5.79. Пусть Х вЂ” - множество всех рациональных чисел, удовлетворяющих условию г < 2. Показать, что множество Х не имеет 2 наибольшего элемента. Найти япр Х. з1. Действительные числа. Множества. Логическая символика 15 5.80. Пусть Х С К вЂ” произвольное ограниченное множество. Доказать, что множество — Х = (х ~ — х Е Х) также ограничено и справедливы равенства зпр( — Х) = — АХ, шГ( — Х) = — эпрХ. 5.81.

Пусть Х, У С К вЂ” произвольные ограниченные сверху множества. Доказать, что множество Х+У=(гЕК~з=х+у, хЕХ, уЕУ) ограничено сверху и эпр(Х+ У) = эпрХ+ впрУ. 5.82. Пусть Х С К вЂ” ограниченное сверху и У С К вЂ” ограниченное снизу множества. Доказать, что множество Х вЂ” У=(эЕК)г=х — у, хЕХ,уЕУ) ограничено сверху и эпр(Х вЂ” У) = зпрХ вЂ” АУ. 4. Логическая символика. При записи математических рассуждений целесообразно применять экономную символику, используемую в логике. Мы укажем здесь лишь несколько наиболее простых и употребительных символов.

Пусть с«, 1», ... — некоторые вь«сказа«аания или утверждения, т. е. повествовательные предложения, относительно каждого из которых можно сказать истинно оно или ложно. Запись с«означает «не с«», т.с. отрицание утверждения о. Запись о =~ Д означает: «из утверждения о следует утверждение Р» (» — символ ия«пликации). Запись с««» 1» означает: «утверждение с«эквивалентно утверждению ф», т. е. из с«следует 1» и из Д следует с«(<» — символ знвиеалентпности). Запись о Л ф означает «о и 1»» (Л вЂ” символ конъюнкции).

Запись г»Ч )1 означает «о или ф» ('»' — символ дизъюннции). Запись '«'х б Х о(х) означает: «для всякого элемента х б Х истинно утверждение с«(х)» (ч'— наантор всеобщности). Запись 3 х б Х с«(х) означает: «существует элемент х б Х такой, что для него истинно утверждение о(х)» (л — квантер существования). Если элемент х б Х, для которого истинно утверждение о(х), не только существует, но и единствен, то пишут: Ч! х б Х о(х). Гл. 5. Введение в анализ П р и м е р 4.

Используя логическую символику, записать утверждение: «число М есть точная верхняп грань множества Х». з Утверждение М = акр х означает, что выполнены условна: а) > х Е Х (х < М) (т.е. М вЂ” верхняя грань множсства Х); б) > А Е К (Чх Е Х (х < А) => А > М) (т.е. М вЂ” наименьшая из верхних граней множества Х). Условие б) может быть записано также в следующей эквивалентной форме (см.

задачу 5.72); '>'е > О В х б Х (х > М вЂ” с). С Пример 5. Используя логическую символику, сформулировать принцип математической индукции. < Пусть а — некоторое утверждение, имеющее смысл для всех п е И. Введем множество А = (и Е И/а(п)), т.

е. множество всех тех натуральных чисел, для которых утверждение а истинно. Тогда принцип математической индукции моа>но сформулировать слецующим образом: ((1 Е А) Л (и Е А =» (и + 1) б А)) => А = И. (3) Так как запись а(п) означает, что утверждение а истинно для числа и Е И, то утверждение (3) можно записать и иначе: (а(Ц Л (а(п) =Ь а(и+ 1))) »'чп Е И а(п) С Пример 6. Записать отрицания высказываний; э'х Е Ха(х) н Вх б Х а(х). «э Отрицание высказывания Чх Е Х а(х) имеет вид Эх Е Х а(х) (сушествует элемент х Е Х такой, для которого утверждение а(х) ложно).

Иначе говоря, для любого утвержденил а истинно следующее высказывание: Чх Е Х а(х) С> В х Е Х а(х). Аналогично 3 х Е Х а(х) Ф>»Ух Е Х а(х). ~> Пример 7. Используя логические символы, записать утверждение: «функция у': Х вЂ” «К, Х С К, непрерывна в точке а Е Х>, а также его отрицание. з Исходное утверждение: Чс > 0 Вб > 0 > х Е Х ()х — а( < б ~ ( у(х) — Ди) ( < с) (для любого с > 0 найдется б > 0 такое, что для любого числа х Е Х, удовлетворяющего, условию )х — а! < б, выполняется неравенство Д(х)— — у(а)! < я), Отрицание этого утверждения: Вс>0 '>«б>0 ЭхЕХ Ох — а~ <бЛ)Дх) — у(а)! >с) (сугцествует с > 0 такое, что для любого б > 0 найдется число х Е Х, удовлетворяюгцее условинм (х — а! < б и ц(х) — у(о)) > с), г> Э 2.

Функции действительной перемолкой Прочитать приведенные ниже высказывания, выяснить их смысл и установить, истинны они илн ложны (символами тя у, х, а, 6, с всюду, где это специально не оговаривается, обозначены действительные числа). 5.83. а) э' х Л у (х + у = 3); б) 3 у Ч х (х + у = 3); в) Зх, у (х + у = 3); г) Ч х, у (х + у = 3).

584. Зх, у(х>у>ОЛх+у=О). 5.85. э'х, у (х < у) с=> 3х (х < х < у). 5.86. 'бт, у (хэ ф 2у~). 5.87. Ч х (х~ > х с=> х > 1 Ч х < 0). 5.88. Ч х (х > 2 Л х > 3 с=ь 2 < х < 3). 5.89. Лх (ъЯ < х). 5.90. а) Ма, 6, с (3 х (ах + Ьх + с = 0) <=> 6~ — 4ас > 0); б) Чая Ь, с(Чх (ахт + Ьх + с > 0) л-~ ЬЭ вЂ” 4ас < 0 Л а > 0). 591.

а) аЬЗаЧх(ха+ ах+ Ь > 0); б) Ч ЬЧ а 3 х (х~ + ах + 6 = 0); в) ЗаЧЬЛх(ха+ ах+ 6 = 0). Установить точный смысл приведенных ниже высказываний и записать их с использованием логической символики, сформулировать и записать их отрицания. 5.92. а) Число хо есть решение уравнения Дх) = О. б) Число хо есть единственное решение уравнения )'(х) = О.

в) Уравнение у(х) = 0 имеет единственное действительное рашен не. 5.93. а) Множество Х С К ограничено сверху. б) Число иь есть наименьший элемент множества Х. в) Множество Х имеет наименьший элемент. 5.94. а) Число т Е а является делителем числа и е 7., или в краткой записи: т )и. б) Если число и Е У делится на 2 и на 3, то оно делится на б. в) Число р Е И простое. 3 2. Функции действительной переменной 1.

Понятие функции. Пусть Р— произвольное множество действительных чисел. Если каждому числу х Е Р поставлено в соответствии некоторое вполне опрсделенное действительное число З'(х), то говорят, что на множестве Р определена числавал функцил у. Множество Р называется областью опредвленвл, а множество Е = (у Е К ~ у = Дх), х 6 Р) — - множеством значений числовой функции З.

Символически функция записывается в виде 1: Р -~ Е или у = Дх). Гл. 5. Введение в анализ 18 Наиболее распространенным является аналитический способ задания функции. Он состоит в том, что с помощью формулы конкретно устанавливается алгоритм вычисления значений функции у = Дх) для каждого из значений аргужекгиа х. В этом случае область определения функции обычна не указывают, понимая под нею то множество значений аргумента х, для которого данная формула имеет смысл (естлесгявеккал область определения функции).

П р и м е р 1. Найти область определения и множество значений функции Дх) = 1/~(1 — хэ, <з Естественной областью определения этой функции является множество Р = 1х ( )х( ( 1) = ( — 1, 1), а мнолсеством значений — мнолсество Е = = Ыи>1) =[1,+-).'с ' Пусть функция у: Р— ~ Е такова, гго для любых хм хэ Е Р из условия х~ ф хэ следует Дх~) ~ Дхэ).

В этом случае всякому числу д с Е может быть поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число х Е Р такое, что Дх) = у; тем самым определена новая функция у- ': Е -~ Р, называемая обратной к заданной функции у'. Пусть заданы функции 1: Х вЂ” > У и д; У вЂ” > Л. Их комяозичиеб 1или сложной фуккчкей, полученной последовательным применением функций у и д) называется функция 6 = д о 1: Х вЂ” > Я, определяемая равенством 6(х) = дух)), х с Х. 5.95. Найти функциональную зависимость радиуса Л цилиндра от его высоты Н при данном объеме 1г = 1.