341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике)

СБОРНИК ЗАДАЧ ИО МАТЕМАТИКЕ для втузов Под редакцией А. В. Ефимова и А. С. Поспелова - . Пкзт ' ЕВ с„,у о Москва ~~~р Я~~ Издательство ~~~~~Я Физико-математической литературы 2001 ББК 22.1 С 23 УДК 5Ц075.8) Коллектив авторов: А. В. ЕФИМОВ, А. Ф. КАРАКУЛИН, С. М. КОГАН, А.

С. ПОСПЕЛОВ, Р. Я. ШОСТАК Содержит задачи по основам математического анализа, а также дифференциадьному и интеградьному исчнсдениям функций одной и нескольких переменных, дифференпнадьным уравнениям и кратным интегралам. Краткие теоретические сведения, снабженные большим водичеством разобранных примеров, аозводцют использовать сборник ддя всех видов обучения.

Ддя студентов высших технических учебных заведений. Учебное издание ЕФИМОВ Александр Васильевич, КАРАКУЛИН Анаша «ий Федорович, КОГАН Ссрасй Михайлович, ПОСПЕЛОВ Алексей Ссесеаич, ШОСТАК Родион Яковлевич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ Часть 2 Редактор Л. А. Панюшкина Корректор Т. С. Вайсберг Компьютерная графика М. В. Ивановский Компьютерный набор н верстка Г. М. Красникова ИД № 01389 от 30.03.2000 Гигиеническое заключение № 77.99.02.963,Д.003724.07.01 от 03.07.2001 Подписано в печать 06,11.2001. Формат 60х88/16, Печать офсетная с готовых диапозитивов.

Усд. печ. д, 27. Уч.-изд, д, 30,6. Тираж 7000 экз. Заказ № 486 Издательство Физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский просвект, 13 Отпечатано в типографии ОАО «Внешторгиадат« 127376 Москва, Ипимскак улица, 7 1БВг«5-94052-035-9 (Ч. 2) 1БВ1«1 5-94052-033-2 Ог Коллектив авторов, 2001 © Физматвнт, оформдение, 2001 Сборник задач по математике для втузов. В 4 честях. Ч. 2: Учеб- ное пособие ддя агузов /Под общ. ред.

А.В.Ефимова и А.С.Поспе- лова. — 4-е изд. перераб. и доп. — Мл Издательство Физико-мате- матической литературы, 2001.— 432 с.— 18В«ч 5-94052-035-9 (Ч. 2). ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ Глава 5. Введение в анализ Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.............

Производная 1. Опредеаение производной. Дифференцирование явно заданных функций. 2, Дифференцирование функций, заданных нелепо или параметрически. 3. Производные высших порядков. 4. Геолгетрические и механические приложения производной Дифференциал .. 1. Дифференциал 1-го порядка, 2. Дифференциалы высших порядков Теоремы о дифференцируемых функциях.

Формула Тейлора. 72 77 1. Теоремы о среднем. 2. Правило Лопиталл-Бернулли. 3. г ор- мула Тейлора Исследование функций и построение графиков 1. Возрастание и убывание функдии. Экстремум. 2. Направле- ние выпуклости. Точки перегиба. 3. Асимптомы. 4. Построенве графиков функций Векторные и комплексные функции действительной переменной 1. Определение вектор-функции действительной переменной. 2.

Дифференцирование вектор-функции. 3. Касательнал к про- странственной кривой и нормальная плоскость. 4. Дифферен- циальные характеристики плоских кривых. б. Дифференциаль- ные характеристики пространственных кривых. 6. Колгплекс- ные функции действительной переменной 99 Действительныечисла. Множества. Логическая символппа 7 1.

Понятие действительного числа. 2. Множества и операции над ними. 3. Верхние и нижние грани. 4. Логическая символика Функции действительной переменной............ 1. Понятие функции. 2. Элементарные функции и их графики Предел последовательности действительных чисел ... 25 1. Понятие последовательности. 2. Предел последовательности Предел функции. Непрерывность............... 28 1.

Прелел функции. 2. Бесконечно малые и бесконечно боль- шие. 3. Непрерывность функции в точке. Классификацин та и к разрыва. 4. Непрерывность на множестве. Равномерная непре- рывность Комплексные числа 39 1. Алгебраические операции над комплексными числами. 2. Многочлены и алгебраические уравнения. 3. Предел после- довательности комплексных чисел Оглавление Основные методы вычисления неопределенного интеграла 115 1. Первоабразная и неопределенный интеграл. 2. Метод замены переменной. 3. Метод интегрирования па частям Интегрирование основных классов элементарных функций 126 1. Интегрирование рациональных дробей. 2.

Интегрирование тригонометрических и гиперболический функций. 3. Интегри- рование некоторых иррациональных функдий Смешанные задачи на интегрирование ........... 142 Определенный интеграл и методы его вычисления.... 144 1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. 2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница. 3, Свойства определенного интеграла. 4. Замена переменной в определенном интеграле.

5. Интегри- рование по частям Несобственные интегралы 156 1. Интегралы с бесконечными дределами. 2, Интегралы от не- ограниченных функций Геометрические приложения определенного интеграла .. 162 1. Плошадь плоской фигуры. 2. Длина дуги кривой. 3. Площадь поверхности вращения, 4.

Объем тела Приложения определенного интеграла к решению неко- торых задач механики и физики............... 177 1. Моменты и центры масс цласких кривых. 2, Физические задачи ~3 34 Глава 6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 165 3 1. Основные понятия 185 1. Понятия функции нескольких переменных.

2. Предел и непрерывность функпии. 3. Частные производные. 4. Дифференциал функции и ега применение Дифференцирование сложных и неявных функций.... 1. Сложные функции одной и нескольких независимых переменных. 2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных. 3. Системы неявных и параметрпчески заланных функций.

4. Замена переменных в дифференциальных выражениях Приложения частных производных 1. Формула Тейлора, 2. Экстремум функции, 3. Условный экстремум. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Геометрические приложения частных производных Приближенные числа и действия над ними 1. Абсолютная и относительная погрешности.

2. Действия над приближенными числами 199 214 230 Г л а в а 7. Интегральное исчисление функций одной переменной 115 Ог,тавлеиия 236 236 Глава 13 1. 254 263 267 276 276 304 331 349 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 358 Гдава ~ 1. 3 2. ~ 3. ~ 1 9. Кратные интегралы Двойной интеграл 1 Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных воордииатах.

2. Замена переменных в двойном интеграле. 3. Приложении двойных интегралов Тройной интеграл 1. Тройной интеграл и ого вычисление в декартовых прямо- угольных координатах. 2. Замена переменных в тройном инте- грале. 3. Приложения тройных интегралов Несобственные кратные интегралы 1.

Интеграл по бесконечной области. 2. Интеграл от разрывной функции Вычисление интегралов, зависящих от параметра 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. 2. Несоб- ственные интегралы, зависящие от параметра 10. Дифференциальные уравнения Уравнения 1-го порядка . 1. Основные понятия. 2. Графический метод построения интегральных кривых (метод изоклпн), 3. Уравнения с разделяющимися переменными. 4. Однородные уравнения. 5.

Линейные уравнения. б. Уравнение Бернулли. 7. Уравнения в полных дифференциалах. 8. Теорема о существовании и единственности решения. Особые решения. 9. Уравнения, пе разрешенные относительно производной. 10. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го порядка.

11. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка Дифференциальные уравнения высших порядков..... 1. Основные понятия. Теорема Коши. 2. Уравнения, допускающие понижение порялка. 3. Линейные однородные уравнения. 4. Линейные неоднородные уравнения. 5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. б, Линейные неодноролные уравнения с постоянными коэффициентами.

7. Дифференциальные уравнения Эйлера. 8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравнений. 9 Задачи физического характера Системы дифференциальных уравнений 1. Основные понятия Связь с дифференциальными уравнениями я-го порядка 2. Методы интегрирования нормальных систем. 3. Физический смысл нормальной системы. 4. Линейные однородныо системы. 5. Линейные неоднородные системы Элементы теории устойчивости................

1. Основные понятия 2 Простейшие типы точек покоя. 3. Метод функций Ляпунова. 4, Устойчивость по первому приближе- нию ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ Настоящее издание «Сборника задач по математике для втузов» подверглось значительной перестановке глав и их распределению по томам. В результате первый том содержит алгебраические разделы курса высшей математики, в том числе векторную алгебру и аналитическую геометрию, определители и матрицы, системы линейных уравнений, линейную алгебру и новый раздел — общую алгебру.

Второй том полностью посвящен изложению основ математического анализа, дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, а така«е дифференциальным уравнениям. В третьем томе собраны спепиальные разделы математического анализа, которые в различных наборах и объемах изучаются в технических вузах и университетах.

Сюда относятся такие разделы, как векторный анализ, влементы теории функций комплексной переменной, ряды и их применение, операционное исчисление, методы оптимизации, уравнения в частных производных, а также интегральные уравнения. Наконец, четвертый том содержит теоретические введения, типовые примеры и циклы задач по теории вероятностей и математической статистике. Указанные выше изменения составляют лишь структурную переработку Сборника, никоим образом не затрагивая ни расположения материала внутри соответствующей главы, ни последовательности нумерации примеров и задач. В смысловом отношении авторы внесли только следующие изменения. Во всех разделах Сборника исключены теоретические введения и циклы задач, связанные с численными методами.

Дело в том, что в настоящее время сушествуег целый ряд программных оболочек, каждая из которых реализует достаточно полный набор стандартных методов приближенного решения задач, а основные навыки работы с компьютером можно приобрести уже в школе. Авторы посчитали также необходимым добавить один новый раздел «Основы общей алгебры» и предложить цикл задач по тснзорной алгебре в разделе «Линейная алгебра» в первый, «алгебраический» том Сборника.